金融數(shù)學(xué)(第四章)第十講定價(jià)模型

現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)理論與模型浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系李勝宏shli@2023/2/41第四章資本資產(chǎn)定價(jià)模型與套利定價(jià)理論本章前言第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念第三節(jié)

資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論第四節(jié)套利定價(jià)模型第五節(jié)CAPM與APT模型應(yīng)用實(shí)例練習(xí)題2023/2/42

本章前言資本資產(chǎn)定價(jià)模型與套利定價(jià)模型是當(dāng)代資本市場(chǎng)中具有非常重要地位的資產(chǎn)定價(jià)理論。資本資產(chǎn)定價(jià)理論從Markowitz資產(chǎn)組合理論出發(fā)，從市場(chǎng)角度對(duì)資產(chǎn)定價(jià)進(jìn)行研究，并且得到了非常簡(jiǎn)潔易用、同時(shí)富有金融含義的資產(chǎn)組合定價(jià)公式。另一方面，套利定價(jià)理論從漸進(jìn)無套利假設(shè)出發(fā)，利用無套利思想和相對(duì)定價(jià)方法，得到了多因子線性形式的定價(jià)公式。相比于資本資產(chǎn)定價(jià)模型，由于套利定價(jià)理論中不涉及到對(duì)市場(chǎng)組合有效性的檢驗(yàn)，因此在實(shí)證中獲得了更多的支持。2023/2/43

本章前言本章的結(jié)構(gòu)如下：首先介紹資本資產(chǎn)定價(jià)模型的基本假設(shè)以及市場(chǎng)組合的概念，并基于上述假設(shè)給出資本資產(chǎn)定價(jià)模型的理論推導(dǎo)，隨后將討論模型產(chǎn)生出的一些常用概念和指標(biāo)，例如Beta系數(shù)、Treynor比率等。然后，第三節(jié)將嘗試放寬資本資產(chǎn)定價(jià)模型的部分基本假設(shè)。接下來將介紹套利定價(jià)模型。首先介紹單因子模型與多因子模型，然后討論套利定價(jià)模型的基本假設(shè)并給出嚴(yán)格理論推導(dǎo)，并將套利定價(jià)模型與資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)行了全面的對(duì)比。作為資本資產(chǎn)定價(jià)模型和套利定價(jià)模型的應(yīng)用實(shí)例，本章最后將介紹指數(shù)復(fù)制技術(shù)與Fama-French多因子模型。2023/2/44第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

作為第四章的開始，本節(jié)著重從理論角度討論資本資產(chǎn)定價(jià)模型。首先討論其基本假設(shè)以及與Markowitz資產(chǎn)組合理論的比較，隨后介紹資本資產(chǎn)定價(jià)模型中最重要概念——市場(chǎng)組合，并且將其與Markowitz資產(chǎn)組合理論建立聯(lián)系，最后將給出資本資產(chǎn)定價(jià)模型的理論證明。2023/2/45第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

4.1.1從Markowitz資產(chǎn)組合理論到資本資產(chǎn)定價(jià)模型第三章在Markowitz資產(chǎn)組合理論框架下，討論了投資者對(duì)于證券投資組合的最優(yōu)選擇和構(gòu)建問題，得到了經(jīng)典的前沿邊界，同時(shí)也給出了可行資產(chǎn)組合和前沿邊界資產(chǎn)組合收益率之間的關(guān)系。特別地，在存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形中，任何可行資產(chǎn)組合的超額期望收益率都等于一個(gè)前沿資產(chǎn)組合的超額期望收益率乘以相應(yīng)的Beta系數(shù)。這樣一來，任意可行資產(chǎn)組合的定價(jià)都可以利用前沿資產(chǎn)組合給出，這無疑大大簡(jiǎn)化了資產(chǎn)組合的定價(jià)問題。2023/2/46第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

但上述定價(jià)方法也有其一定的局限性。首先，由于不同投資者對(duì)各基礎(chǔ)資產(chǎn)的收益率和方差的估計(jì)可能不同，因此上述方法得出的定價(jià)公式只是對(duì)單個(gè)投資者成立。同時(shí)，定價(jià)公式中的前沿資產(chǎn)組合選擇有很大的任意性：一方面，并非所有前沿資產(chǎn)組合的信息在市場(chǎng)上都能得到；另一方面，選擇不同的前沿資產(chǎn)組合便可能得到不同的定價(jià)公式，因此上述方法得到的定價(jià)公式缺少統(tǒng)一性。最后，也是Markowitz資產(chǎn)組合理論固有的局限性之一，就是模型中包含很多假設(shè)，并且其中不少假設(shè)都缺乏其合理性和實(shí)證支持。2023/2/47第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

為了解決上述問題，Markowitz的學(xué)生Sharpe、Lintner和Mossin在經(jīng)典資產(chǎn)組合理論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步地研究了市場(chǎng)均衡條件下資產(chǎn)收益和風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，得到了著名的資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）?？梢哉f，資本資產(chǎn)定價(jià)模型是現(xiàn)代金融學(xué)的核心內(nèi)容，它具有簡(jiǎn)潔的形式和合理的金融意義，在理論和實(shí)際應(yīng)用意義上均作出了重大的貢獻(xiàn)，被推崇為體現(xiàn)了證券市場(chǎng)本質(zhì)的經(jīng)典經(jīng)濟(jì)模型，其中的一些概念時(shí)至今日仍在證券行業(yè)廣泛使用。2023/2/48第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

CAPM相對(duì)于Markowitz資產(chǎn)組合理論最為關(guān)鍵的改進(jìn)之一，是它從市場(chǎng)的角度來研究資產(chǎn)組合的定價(jià)。CAPM模型中引入了市場(chǎng)組合這一反映整個(gè)市場(chǎng)投資選擇的概念，并根據(jù)市場(chǎng)組合是前沿組合這一推論，利用市場(chǎng)組合期望收益率及相應(yīng)Beta系數(shù)給出市場(chǎng)中資產(chǎn)組合的定價(jià)。同時(shí)，在CAPM模型中得到的一些量，例如Beta系數(shù)、Sharpe指標(biāo)等有著合理的經(jīng)濟(jì)解釋。然而，CAPM模型也有著其局限性。其中最為關(guān)鍵的一點(diǎn)就是市場(chǎng)組合均方有效性檢驗(yàn)的問題。研究表明，CAPM模型的檢驗(yàn)等價(jià)于市場(chǎng)組合均方有效性的檢驗(yàn)，而后者是不可行的。因此，CAPM缺乏實(shí)證證據(jù)支持。同時(shí)，在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，市場(chǎng)組合的可觀測(cè)性也存在問題。此外，建立在Markowitz資產(chǎn)組合理論上的CAPM模型也同樣有著假設(shè)不太合理的問題。2023/2/49第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

為了避開CAPM模型中市場(chǎng)組合有效性檢驗(yàn)的問題，Ross（1976）提出了套利定價(jià)理論（ArbitragePricingTheory，APT）。從模型假設(shè)來看，套利定價(jià)理論采用了基于無套利假設(shè)的相對(duì)定價(jià)法，而非Markowitz資產(chǎn)組合理論以及CAPM模型中的均衡定價(jià)法，因此，APT模型放松了CAPM模型中一些必須的假設(shè)。從結(jié)論來看，APT是一種多因子線性定價(jià)模型，它在形式上與CAPM模型類似：利用一些“因子”的線性表示給出資產(chǎn)組合的定價(jià)。此時(shí)的“因子”不必再是市場(chǎng)組合期望收益率，因此APT模型不再需要對(duì)市場(chǎng)組合的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)，從而在實(shí)證檢驗(yàn)方面取得了較大的進(jìn)展。2023/2/410第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

4.1.2資本資產(chǎn)定價(jià)模型的基本假設(shè)CAPM模型所得到的簡(jiǎn)潔的定價(jià)公式，離不開一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件。由于CAPM模型建立在Markowitz資產(chǎn)組合理論基礎(chǔ)上，其中一部分假設(shè)條件是Markowitz資產(chǎn)組合理論假設(shè)的繼承；另一部分假設(shè)是CAPM模型所特有的假設(shè)，它們使CAPM模型在資產(chǎn)組合定價(jià)方面相對(duì)于Markowitz資產(chǎn)組合理論更上一個(gè)臺(tái)階。本節(jié)將給出并介紹這些基本假設(shè)。2023/2/411第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

假設(shè)1～4繼承了3.2.3中Markowitz資產(chǎn)組合理論的假設(shè)，為了方便起見，此處重新敘述如下：假設(shè)1市場(chǎng)中有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，它們的收益率分布對(duì)于每個(gè)交易個(gè)體已知（個(gè)體可以根據(jù)相關(guān)信息給出估計(jì)），并且它們的均值方差存在，均值不全相等，協(xié)方差矩陣非退化。假設(shè)2市場(chǎng)上資產(chǎn)的交易不存在摩擦，即不存在任何形式的交易成本，包括交易費(fèi)用與市場(chǎng)流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)造成的交易成本。并且假設(shè)市場(chǎng)上允許對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行賣空，即允許資產(chǎn)投資權(quán)重為負(fù)數(shù)。另外，還假設(shè)資產(chǎn)無限可分，即可以買入或者賣出任意小份額的資產(chǎn)。市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的，單個(gè)個(gè)體的投資行為不會(huì)影響資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。假設(shè)3市場(chǎng)交易個(gè)體按照均值-方差準(zhǔn)則進(jìn)行投資，即其期望效用函數(shù)完全或者近似地用資產(chǎn)收益率的均值方差表示。并且假設(shè)投資個(gè)體行為遵循二階隨機(jī)占優(yōu)，即在期望收益率相同的情況下偏好風(fēng)險(xiǎn)小的資產(chǎn)（組合），在風(fēng)險(xiǎn)相同的情況下偏好期望收益率大的資產(chǎn)（組合）。假設(shè)4所有市場(chǎng)交易個(gè)體均有相同的單期投資期限。2023/2/412第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

假設(shè)5～6為經(jīng)典CAPM模型所必須附加的假設(shè)。假設(shè)5市場(chǎng)中存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并且其市場(chǎng)買賣價(jià)格相等。假設(shè)6所有市場(chǎng)交易個(gè)體對(duì)市場(chǎng)中所有資產(chǎn)收益率分布的看法一致，即任一資產(chǎn)收益率的均值與協(xié)方差在所有個(gè)體看來都是相同的。2023/2/413第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

經(jīng)典的CAPM模型將資產(chǎn)組合的期望收益率利用無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率和市場(chǎng)組合收益率線性表示，而假設(shè)5恰好保證了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的存在性。當(dāng)然，后面將會(huì)放松這一假設(shè)，在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下給出類似的結(jié)論——零Beta-資本資產(chǎn)定價(jià)模型。假設(shè)6確保所有個(gè)體的資產(chǎn)組合前沿邊界和有效前沿邊界均相同，也就是說，市場(chǎng)中存在唯一的前沿邊界和有效前沿邊界。這一假設(shè)在一定程度上將Markowitz資產(chǎn)組合理論對(duì)投資個(gè)體的組合選擇特征刻畫推廣到宏觀市場(chǎng)層面，使得CAPM模型得到了適用于整個(gè)市場(chǎng)而不僅僅是單個(gè)個(gè)體的結(jié)論。最后再來看一下假設(shè)3。投資特征滿足假設(shè)3的個(gè)體一般被稱為“Markowitz型投資者”。由于Markowitz資產(chǎn)組合理論模型考慮的最優(yōu)問題是在期望收益率一定時(shí)使方差最?。ɑ蛘叻讲钜欢〞r(shí)使期望收益率最大），因此Markowitz資產(chǎn)組合理論所給出的是對(duì)于Markowitz型投資者的組合投資決策刻畫。在CAPM模型的基于Markowitz資產(chǎn)組合理論的推導(dǎo)中，假設(shè)3當(dāng)然是必須的。但后面將會(huì)說明，假設(shè)3也可以放松：投資者可被假設(shè)為更為一般的“二基金分離性投資者”，同時(shí)，CAPM模型也可以在二基金分離的假設(shè)下給出。2023/2/414第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

4.1.3市場(chǎng)組合從本章開頭的介紹可以知道，CAPM模型利用資產(chǎn)組合和與某個(gè)表現(xiàn)市場(chǎng)投資選擇的“市場(chǎng)組合”之間的Beta系數(shù)來得到資產(chǎn)組合的期望收益率。因此，在正式討論CAPM模型之間，本節(jié)將首先引入市場(chǎng)組合的概念，并得到市場(chǎng)組合的一些重要性質(zhì)。2023/2/415第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

假設(shè)市場(chǎng)中共有n+1種資產(chǎn)

，其中

是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，B為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。記

為市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的總投資價(jià)值在市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總投資價(jià)值中所占的比例，

。則市場(chǎng)組合（MarketPorfolio）定義為如下的投資組合m

：m

只包含風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的投資比例為

。在下文中，市場(chǎng)組合m

也用其收益率

得表示。

2023/2/416*[29]中給出了市場(chǎng)組合的另一種定義形式，那里假設(shè)市場(chǎng)中只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并定義市場(chǎng)組合為這樣一種投資組合，它的權(quán)重向量為市場(chǎng)中各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資量占市場(chǎng)總財(cái)富的比率組成的向量。不難看出，這種定義方式和本節(jié)中的定義方式本質(zhì)相同。第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

假設(shè)市場(chǎng)中共有N

個(gè)投資個(gè)體，記

為個(gè)體j的初始財(cái)富，

為個(gè)體j風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額在初始財(cái)富中所占比例（假設(shè)大于0），

為個(gè)體j投資于資產(chǎn)i財(cái)富額占風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額的比例，

。假設(shè)市場(chǎng)中初始總財(cái)富為

，并且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)總投資額在初始總財(cái)富中所占比例為

，則下式成立：2023/2/417第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

這是因?yàn)榈仁絻蛇吘硎臼袌?chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的總投資量。因此也就是說市場(chǎng)組合的權(quán)重是個(gè)體投資組合權(quán)重的凸組合，而該凸組合的權(quán)重即為每個(gè)個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額占市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資總額的比例。2023/2/418第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

在3.3節(jié)對(duì)于存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的前沿邊界的討論中，定理3.3.2表明，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)收益率

時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界與風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界存在唯一的切點(diǎn)e，并且將該切點(diǎn)組合稱為“市場(chǎng)組合”。下面的定理說明，在一定條件下，切點(diǎn)e便是此處定義的市場(chǎng)組合。引理4.1.1在假設(shè)1～6下，如果市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)，并且市場(chǎng)中所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都有嚴(yán)格正的供給量，則

2023/2/419第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

引理4.1.1的結(jié)果要求風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的最小方差組合的收益率A/C要比無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)高。直觀來看，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者來說，這個(gè)要求是合理的：最小方差風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)并不為零，既然承擔(dān)了風(fēng)險(xiǎn)，其收益率應(yīng)該要比無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)高。同時(shí)，該引理?xiàng)l件要求市場(chǎng)中所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都有嚴(yán)格正的供給量，這符合現(xiàn)實(shí)情況。而由于Markowitz資產(chǎn)組合理論和CAPM模型均在均衡市場(chǎng)框架中得到，因此該引理中市場(chǎng)均衡的條件也不過分。2023/2/420第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

引理4.1.1證明：首先，由于假設(shè)1～6成立，根據(jù)第三章的結(jié)論可知，市場(chǎng)上所有個(gè)體均會(huì)在同一條有效前沿邊界上選擇投資組合進(jìn)行投資。如果

，根據(jù)定理3.3.2，所有個(gè)體的投資策略均為將所有財(cái)富投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

，同時(shí)持有多頭的自融資組合

，且根據(jù)(3.3.4b)，

只由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成。如此，市場(chǎng)上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的凈需求量為0。然而條件中要求市場(chǎng)中所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都有嚴(yán)格正的供給量，因此市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)供大于求，這便與市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)的條件相矛盾。如果

，根據(jù)定理3.3.2，所有個(gè)體的投資策略均為賣空風(fēng)險(xiǎn)組合

，并買入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。由于條件要求市場(chǎng)中所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都有嚴(yán)格正的供給量，因此與上一情形相同，市場(chǎng)必然無法處于均衡狀態(tài)，因此與條件相矛盾。綜上，唯一可能的情況是

?！?023/2/421第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

2023/2/422第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

根據(jù)定理3.3.2，當(dāng)

時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界和風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界切點(diǎn)e存在，且處于有效前沿邊界上。又根據(jù)假設(shè)6，市場(chǎng)中存在唯一無風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界和唯一風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界，因此切點(diǎn)e對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)組合

在市場(chǎng)中存在唯一。下面的定理便給出了切點(diǎn)組合

和市場(chǎng)組合的關(guān)系。定理4.1.2當(dāng)

時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界和風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界的切點(diǎn)e對(duì)應(yīng)著市場(chǎng)組合。2023/2/423第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

證明：根據(jù)定理3.3.2，當(dāng)

時(shí)，有效邊沿邊界上的投資策略均可表示為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

和切點(diǎn)組合

的仿射組合。記

為個(gè)體j投資于其切點(diǎn)組合的權(quán)重，因此個(gè)體投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

的權(quán)重為

。記

為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i在切點(diǎn)組合中所占權(quán)重。因此，個(gè)體j

投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的財(cái)富為

，市場(chǎng)中資產(chǎn)i總投資量為

，而市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總投資量為

。根據(jù)市場(chǎng)組合的定義，因此切點(diǎn)組合

即為市場(chǎng)組合

。上述論證中還附帶得到了一個(gè)結(jié)論：市場(chǎng)組合一定為有效前沿組合。這個(gè)結(jié)論在后續(xù)推導(dǎo)中將起到重要作用。2023/2/424第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

4.1.4資本資產(chǎn)定價(jià)模型的理論推導(dǎo)在證明了市場(chǎng)組合是有效前沿邊界組合后，CAPM模型定價(jià)公式的推導(dǎo)能夠很方便地完成。定理3.3.3說，對(duì)于任意可行組合

和任意前沿組合

，其期望收益率有如下關(guān)系：由于市場(chǎng)組合

是前沿組合，用其代替

，便得到2023/2/425第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

或者等價(jià)地其中(4.1.3)便是CAPM模型的主要結(jié)論——CAPM定價(jià)公式，而

便是著名的Beta系數(shù)。2023/2/426第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

下面先對(duì)CAPM定價(jià)公式(4.1.3)進(jìn)行初步的觀察。首先，從形式上看，CAPM定價(jià)公式表明，

的超額期望收益率

表示為市場(chǎng)組合

的超額期望收益率

乘以一個(gè)常數(shù)

。如果市場(chǎng)組合可觀察，它的期望收益率

和

的信息已知，為了確定任何可行資產(chǎn)

的期望收益率，唯一需要確定的便是

和市場(chǎng)組合

的協(xié)方差。還有一點(diǎn)值得注意的是，由于假設(shè)

，而市場(chǎng)組合處在有效前沿邊界上，因此

。所以CAPM定價(jià)公式表明：資產(chǎn)組合q與市場(chǎng)組合之間的Beta系數(shù)越大，即資產(chǎn)組合q收益率與市場(chǎng)組合收益率相關(guān)性越大，其期望收益率也就越大。2023/2/427第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

(4.1.3)給出的是可行資產(chǎn)期望收益率與市場(chǎng)組合期望收益率之間的關(guān)系。事實(shí)上，可行資產(chǎn)的收益率

和市場(chǎng)組合收益率

之間也有類似的關(guān)系。定理4.1.3對(duì)于任何可行資產(chǎn)

，下式成立：其中特別地，若

是前沿資產(chǎn)，則且2023/2/428第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

證明：根據(jù)定理3.3.3，對(duì)于任意可行資產(chǎn)

，可做如下不相關(guān)的分解其中根據(jù)定理3.3.1，

是前沿資產(chǎn)組合，同時(shí)，前沿邊界可以由任意兩個(gè)前沿組合的仿射組合生成，不妨取這兩個(gè)前沿組合為f

和

。因此2023/2/429第一節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型基本結(jié)論與推導(dǎo)

由于

與任意前沿邊界資產(chǎn)的協(xié)方差均為0，故

。上式兩邊取期望，得到將(4.1.7)與(4.1.3)進(jìn)行比較，可以知道此即(4.1.5)。注意到前沿邊界可由

和

生成，(4.1.6)式類似可證。根據(jù)定理3.3.2，有效前沿邊界上的投資策略均買入非負(fù)數(shù)量的市場(chǎng)組合，并且買入或者賣空無風(fēng)險(xiǎn)組合，因此2023/2/430第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念第一節(jié)中在Markowitz資產(chǎn)組合理論框架下得到了CAPM模型定價(jià)公式?？梢钥吹?，CAPM定價(jià)公式形式上非常簡(jiǎn)單，同時(shí)也具有合理的經(jīng)濟(jì)、金融解釋。本節(jié)通過定義一些重要而常見的概念，從這個(gè)簡(jiǎn)單的定價(jià)公式中發(fā)掘更多的經(jīng)濟(jì)、金融意義。2023/2/431第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念4.2.1資本市場(chǎng)線與Sharpe比率回顧3.3節(jié)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情形下的有效前沿邊界在

平面上是一條從

點(diǎn)出發(fā)，斜率為

，經(jīng)過點(diǎn)e的射線，其方程為這條射線便稱為資本市場(chǎng)線（CapitalMarketLine，CML）2023/2/432第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念(4.2.1)左邊的分式稱為Sharpe比率（SharpeRatio），它被用來衡量資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)效益，也就是承擔(dān)單位風(fēng)險(xiǎn)所能帶來的超額收益。一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者希望選擇Sharpe比率更大的資產(chǎn)組合，因此資產(chǎn)組合的“優(yōu)劣”性在一定程度上便可用Sharpe比率來衡量。不難看出，資本市場(chǎng)線上的任意資產(chǎn)組合的Sharpe比率等于常數(shù)

。因此，無風(fēng)險(xiǎn)有效前沿邊界的“有效”性便體現(xiàn)在，其上的任何資產(chǎn)組合的Sharpe比達(dá)到最大值，其風(fēng)險(xiǎn)效益也越大；任何可行資產(chǎn)的Sharpe比率均不會(huì)大于有效前沿邊界資產(chǎn)的Sharpe比率。2023/2/433第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念由于市場(chǎng)組合

位于資本市場(chǎng)線上，而資本市場(chǎng)線上的Sharpe比率為常數(shù)，因此對(duì)于任意位于資本市場(chǎng)線上的投資組合

，成立也即2023/2/434第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念其中(4.2.2)在形式上與CAPM定價(jià)公式(4.1.3)相似。事實(shí)上，由于

是有效前沿資產(chǎn)，根據(jù)(4.1.6)式，同時(shí)

，因此即(4.2.2)中的

就是Beta系數(shù)。但需要注意的是，此處的(4.2.2)只對(duì)前沿邊界組合

成立，因此并不是真正意義上的CAPM公式。2023/2/435第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念4.2.2市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)與Beta系數(shù)4.1.4節(jié)給出了Beta系數(shù)的數(shù)學(xué)定義，本節(jié)將進(jìn)一步刻畫Beta系數(shù)的性質(zhì)與其在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)衡量中的實(shí)際意義。在(4.1.5)兩邊求方差，得到

這個(gè)等式表明，資產(chǎn)組合收益率的風(fēng)險(xiǎn)可以分解為兩部分。第一部分正比于市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)

，它的存在與整個(gè)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)，因此稱為資產(chǎn)（組合）的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（SystematicRisk）；另一部分是2

，它只與資產(chǎn)組合自身相關(guān)，稱為資產(chǎn)（組合）的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（IdiosyncraticRisk）。2023/2/436第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念從Markowitz資產(chǎn)組合理論可以知道，若資產(chǎn)組合經(jīng)過合理配置，其風(fēng)險(xiǎn)可能比單個(gè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)更小，這是因?yàn)橥ㄟ^組合，部分“反向”的風(fēng)險(xiǎn)得到對(duì)沖。下面利用(4.2.4)對(duì)這一對(duì)沖的過程進(jìn)行進(jìn)一步的研究。設(shè)1 為基礎(chǔ)資產(chǎn)，它們通過權(quán)重

構(gòu)成資產(chǎn)組合

。根據(jù)(4.1.5)，因此組合的風(fēng)險(xiǎn)為2023/2/437第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念注意到，即Beta系數(shù)關(guān)于單個(gè)下標(biāo)有線性性。因此(4.2.5)變?yōu)橛捎?/p>

，不難看到，若用標(biāo)準(zhǔn)差來表示風(fēng)險(xiǎn)大小，組合的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)其實(shí)是基礎(chǔ)資產(chǎn)的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)平均。2023/2/438第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念下面再來看一下非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)各基礎(chǔ)資產(chǎn)的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因素

互不相關(guān)并且一致有界，即則在特殊情形

下，2023/2/439第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念即當(dāng)組合中基礎(chǔ)資產(chǎn)數(shù)量n足夠大時(shí)，組合的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)能夠任意小，即組合的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)能通過增加組合成分?jǐn)?shù)量來減小。在一般情形下，只要配置組合使其中基礎(chǔ)資產(chǎn)足夠“分散”，也即比例足夠均勻使得則上述結(jié)論依然成立。因此，組合的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)其實(shí)是一種可分散風(fēng)險(xiǎn)（DiversifiableRisk）。與非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不同，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)一般無法通過組合的分散化配置來消除。因此，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)也稱為不可分散風(fēng)險(xiǎn)（UndiversifiableRisk）。2023/2/440第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念通過上述討論，(4.2.4)表明：組合的Beta系數(shù)衡量了系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)在資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)中所占比例。在相同的資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)之下，Beta系數(shù)越大，則資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)更多是由市場(chǎng)因素引起的；Beta系數(shù)越小，則資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)更多是由非系統(tǒng)性的個(gè)體因素造成的。另一方面，Beta值越大，說明資產(chǎn)組合的價(jià)格波動(dòng)性相比于市場(chǎng)越大；Beta值越小，說明資產(chǎn)組合的價(jià)格波動(dòng)性相比于市場(chǎng)越小。2023/2/441第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念4.2.3證券市場(chǎng)線與Treynor比率4.2.2節(jié)從風(fēng)險(xiǎn)角度考察了Beta系數(shù)的含義，而本節(jié)將從收益率角度來研究Beta系數(shù)的意義。對(duì)于任意資產(chǎn)組合

，由于Beta系數(shù)表示了資產(chǎn)組合的超額期望收益率與市場(chǎng)組合期望收益率之間的比例系數(shù)。注意到2023/2/442第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念故當(dāng)

與

正相關(guān)時(shí)，Beta系數(shù)為正，

的期望收益率大于無風(fēng)險(xiǎn)收益率；反之，當(dāng)

與

負(fù)相關(guān)時(shí)，Beta系數(shù)為負(fù)，

的期望收益率小于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。這表明，資產(chǎn)組合要獲得超過無風(fēng)險(xiǎn)收益率的收益率，它的收益率變化方向必須和整個(gè)市場(chǎng)宏觀變化方向“相一致”；“逆市場(chǎng)而行”的資產(chǎn)組合無法獲得高于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率。2023/2/443第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念同時(shí)，4.2.2節(jié)的討論表明，Beta系數(shù)衡量了系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)對(duì)資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的影響。則CAPM定價(jià)公式說明，由于組合承擔(dān)了系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，組合的收益率會(huì)比無風(fēng)險(xiǎn)收益率要高，其差額便是超額收益率

。也就是說，超額收益率在某種意義上是對(duì)組合所承擔(dān)的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償（RiskPremium）。當(dāng)然從CAPM定價(jià)公式可以看到，組合的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)并無相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。一種直觀的理解是：資產(chǎn)（組合）的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)理論上是可以通過分散而基本消除的，因此并不會(huì)被市場(chǎng)所承認(rèn)，也不存在由此而來的補(bǔ)償。2023/2/444第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念由于

，組合Beta系數(shù)

越大，資產(chǎn)組合

的（超額）期望收益率就越大，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償也就越大；Beta系數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償間存在正關(guān)系。將組合期望收益率和Beta系數(shù)的這種關(guān)系在

坐標(biāo)上表示，便得到了如下的證券市場(chǎng)線（SecurityMarketLine，SML）。2023/2/445第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念根據(jù)前面的討論，證券市場(chǎng)線有正的斜率在實(shí)際應(yīng)用中，等式右端的量被稱為Treynor比率（TreynorRatio），有時(shí)也稱為收益-波動(dòng)率比率（Reward-to-VolatilityRatio）。Treynor比率衡量了風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償與組合系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系。Treynor比率越大，單位系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)帶來的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償越大。2023/2/446第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念Treynor比率和Sharpe比率都衡量了風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償與組合風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，但是Treynor比率中只考慮了系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，而Sharpe比率中還包括了非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)被完全分散的組合來說，兩個(gè)比率是相同的。在實(shí)際應(yīng)用中，Treynor比率和Sharpe比率均可為資產(chǎn)組合的評(píng)級(jí)提供標(biāo)準(zhǔn)，均為非常重要的指標(biāo)。但Treynor比率只對(duì)完全分散的組合，或者沒有非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的組合（例如國(guó)庫券組合）有效，對(duì)與包含非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的組合，Treynor比率強(qiáng)調(diào)了其中系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素，而會(huì)忽視其中的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素。Sharpe比率和Treynor比率各有千秋：Sharpe比率的適用性更廣，但如果需要著重評(píng)估系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，Treynor比率更為合適。2023/2/447第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念4.2.4Alpha指標(biāo)CAPM模型給出了資產(chǎn)組合的理論期望收益率，但實(shí)際市場(chǎng)中，資產(chǎn)組合的收益率常常偏離CAPM給出的理論期望收益率。該偏離程度可以用Jenson的Alpha指標(biāo)（Jensen’sAlpha）進(jìn)行衡量。Alpha指標(biāo)定義為如果資產(chǎn)有正的a值，說明資產(chǎn)的實(shí)際收益率比經(jīng)過風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的期望收益率還要高。因此，投資者們通常會(huì)尋找具有較高a值的組合進(jìn)行投資。2023/2/448第二節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型相關(guān)概念然而，實(shí)際市場(chǎng)中具有正的Alpha指標(biāo)的資產(chǎn)組合普遍存在嗎？許多學(xué)者認(rèn)為，現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)的有效性足以保證正Alpha資產(chǎn)組合不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，因?yàn)橥顿Y者的大量投資會(huì)導(dǎo)致該資產(chǎn)組合的價(jià)格上升從而收益率下降。然而RussWermers對(duì)于共同基金市場(chǎng)的研究表明，由于投資者（基金經(jīng)理）們的才能，投資組合往往有正的Alpha。當(dāng)然，在扣除交易費(fèi)用后，Alpha指標(biāo)也常常會(huì)是負(fù)值。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用（例如資產(chǎn)組合評(píng)估）中，Jensen的Alpha指標(biāo)、Sharpe比率和Treynor比率往往結(jié)合在一起使用。Alpha指標(biāo)的典型應(yīng)用之一便是Alpha套利，它的主要思路為利用正a值組合與市場(chǎng)組合進(jìn)行對(duì)沖，在部分消除市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)獲取正的收益。2023/2/449第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論第一節(jié)在一些假設(shè)和推導(dǎo)下，得到了經(jīng)典的CAPM模型。模型具有簡(jiǎn)潔的結(jié)論，并且富有深刻的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。但不容忽視的一點(diǎn)是，CAPM模型是建立在一系列非常嚴(yán)格的模型假設(shè)上的，例如，假設(shè)3要求投資個(gè)體根據(jù)均值-方差準(zhǔn)則進(jìn)行投資決策；同時(shí)，第一節(jié)的推導(dǎo)中假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)存在。本節(jié)中將嘗試放寬這兩條假設(shè)。此外，本節(jié)最后還將對(duì)CAPM模型中的市場(chǎng)組合進(jìn)行討論，并且給出在實(shí)證中市場(chǎng)組合或其替代組合的尋找方法。2023/2/450第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論4.3.1資本資產(chǎn)定價(jià)模型的二基金分離證明假設(shè)3對(duì)投資個(gè)體的效用函數(shù)的形式作出了假定，要求其（近似）存在資產(chǎn)的均值和方差表示，同時(shí)也假定投資者的決策特征服從均值-方差準(zhǔn)則。然而，在實(shí)際中要得到個(gè)體效用函數(shù)的形式并非易事，而進(jìn)一步要求其與資產(chǎn)收益率均值方差相關(guān)則更為困難。因此假設(shè)3事實(shí)上非常嚴(yán)格。一個(gè)隨之而來的問題就是：能否將假設(shè)3替換為一個(gè)更為寬松的假設(shè)，而仍能完全或者基本得到經(jīng)典CAPM模型的結(jié)論？回憶第二章中隨機(jī)占優(yōu)的概念，它有如下的思想：放棄對(duì)個(gè)體效用函數(shù)具體形式的假設(shè)，轉(zhuǎn)而研究具有某些決策特征的個(gè)體在特定形式的隨機(jī)計(jì)劃子集上的偏好關(guān)系。受其啟發(fā)，一個(gè)自然而然的想法是將假設(shè)3放松，只假設(shè)個(gè)體部分的決策特征（例如風(fēng)險(xiǎn)厭惡），同時(shí)利用隨機(jī)占優(yōu)方法來刻畫具有這樣決策特征的個(gè)體在資產(chǎn)中的偏好。本節(jié)便利用這條思路，在保持其他假設(shè)的同時(shí)，對(duì)假設(shè)3進(jìn)行放松。2023/2/451第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論回憶4.1節(jié)CAPM模型的推導(dǎo)中，有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。第一點(diǎn)為前沿邊界的存在性，這可以由資產(chǎn)收益率協(xié)方差矩陣非退化的條件得到；第二點(diǎn)為前沿邊界能夠由兩個(gè)前沿資產(chǎn)仿射組合生成，從而由第三章的定理3.3.3，任何可行組合與前沿組合和無風(fēng)險(xiǎn)組合的期望收益率之間滿足關(guān)系(4.1.2)；第三點(diǎn)為市場(chǎng)組合處在前沿邊界上。如果去掉假設(shè)3，則從第三章的結(jié)論不難看出，上述第一點(diǎn)和第二點(diǎn)仍然成立，但第三點(diǎn)便不再成立，因?yàn)橥顿Y者甚至可能不會(huì)偏好前沿邊界組合。2023/2/452第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論為了后面敘述方便，首先給出二基金分離的定義。如果市場(chǎng)中存在兩個(gè)資產(chǎn)組合

和

，使得對(duì)于任何資產(chǎn)組合q，均存在實(shí)數(shù)

使得對(duì)于所有凹函數(shù)u

，則稱資產(chǎn)收益率向量

具有二基金分離（Two-FundSeparation）性質(zhì)。2023/2/453第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論根據(jù)第二章二階隨機(jī)占優(yōu)的定義，二基金分離也有如下等價(jià)表述：如果市場(chǎng)中存在兩個(gè)資產(chǎn)組合

和

，使得對(duì)于任何資產(chǎn)組合q，均存在實(shí)數(shù)

滿足由上述定義可知，分離基金

和

的期望收益率必不相等。如若不然，

，則根據(jù)第二章定理2.4.2，(4.3.2)蘊(yùn)含著

2023/2/454第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論也就是說，所有可行資產(chǎn)組合q的期望收益率均相等。這與假設(shè)1矛盾。直接利用上述定義來判斷一組收益率向量是否具有二基金性質(zhì)是有一定困難的。下面的定理給出了二基金分離性質(zhì)的充分必要條件，簡(jiǎn)化了二基金分離性質(zhì)的判斷。在敘述定理前，先簡(jiǎn)要回顧一些基本結(jié)論。類似定理4.1.3的證明，可以得到對(duì)于任意可行資產(chǎn)組合

，成立其中e為切點(diǎn)組合，

。利用此條性質(zhì)，便有下述定理成立：2023/2/455第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論定理4.3.1資產(chǎn)收益率向量

滿足二基金分離性質(zhì)的充要條件為證明：可參見[29]?！醮送?，下面的定理4.3.2表明，分離基金一定是前沿邊界資產(chǎn)組合。2023/2/456第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論定理4.3.2若資產(chǎn)收益率向量具有二基金分離性質(zhì)，則分離基金

和

是前沿資產(chǎn)組合。證明：假設(shè)不然，則不妨設(shè)

不是前沿資產(chǎn)組合，因此存在前沿資產(chǎn)組合

使得由于

和

是分離基金，對(duì)于可行資產(chǎn)

，存在實(shí)數(shù)

使得2023/2/457第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論根據(jù)第二章定理2.4.2后的討論，上式蘊(yùn)含著由于

，由(4.3.6)和(4.3.4)知

。因此(4.3.7)變?yōu)?/p>

這與(4.3.5)矛盾。□2023/2/458第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論在上述兩個(gè)定理的基礎(chǔ)上，根據(jù)本節(jié)開始的思想，現(xiàn)將假設(shè)3換為如下的假設(shè)：假設(shè)3’市場(chǎng)交易個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)厭惡，同時(shí)資產(chǎn)收益率向量滿足二基金分離性質(zhì)。假設(shè)3’表明，市場(chǎng)中存在兩個(gè)在二階隨機(jī)占優(yōu)意義下“最優(yōu)”的資產(chǎn)組合

和

。同時(shí)由于市場(chǎng)中交易個(gè)體均為風(fēng)險(xiǎn)厭惡，故從直觀上看，這兩個(gè)最優(yōu)資產(chǎn)組合的仿射組合要“優(yōu)于”市場(chǎng)中其他的資產(chǎn)組合。因此市場(chǎng)中的個(gè)體在面臨資產(chǎn)選擇問題時(shí)，最優(yōu)的投資組合一定是

和

的仿射組合。由于

和

是前沿組合，因此個(gè)體一定會(huì)選擇前沿資產(chǎn)進(jìn)行投資。2023/2/459第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論在一定的條件下，假設(shè)3’相比于原假設(shè)3確實(shí)更為寬松。首先，假設(shè)3蘊(yùn)含著個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，同時(shí)下面的定理說明，在收益率分布的正態(tài)性假設(shè)下，資產(chǎn)收益率向量具有二基金分離性質(zhì)。因此，假設(shè)3完全符合假設(shè)3’的條件。定理4.3.3在假設(shè)1、2和假設(shè)4-6下，若

均服從正態(tài)分布，則資產(chǎn)收益率向量滿足二基金分離性質(zhì)。2023/2/460第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論證明：類似(4.3.3)式，對(duì)于所有

，成立

由于

均服從正態(tài)分布，作為它們的線性組合，

和

也是正態(tài)分布變量。又由于

，即

與

線性無關(guān)，因此

與

相互獨(dú)立，故

利用定理4.3.1便可得證。□2023/2/461第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論不難看出，定理4.3.3事實(shí)上還證明了在一定條件下分離基金的存在性。那么一個(gè)自然而然的問題是：如果兩個(gè)分離基金存在，它們是唯一的嗎？回憶資產(chǎn)組合理論中，“最優(yōu)”的前沿邊界可以由其上的兩個(gè)資產(chǎn)組合仿射生成，而這兩個(gè)資產(chǎn)組合不是唯一的。因此直覺表明，在二基金分離中的兩個(gè)分離基金的選擇同樣不是唯一的。下面的定理證明了這個(gè)直覺。2023/2/462第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論定理4.3.4若資產(chǎn)收益率向量滿足二基金分離性質(zhì)，那么任意兩個(gè)前沿組合都可以作為分離基金。證明：任取前沿組合

和

，根據(jù)定理3.3.1，

和

可以仿射生成前沿邊界，特別地，可以生成作為前沿組合的分離基金

和

，因此存在實(shí)數(shù)

和

使得2023/2/463第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論根據(jù)定義，分離基金

和

滿足對(duì)于任何資產(chǎn)組合

，均存在實(shí)數(shù)

使得對(duì)于所有凹函數(shù)u

，成立上式說明，前沿組合

和

滿足對(duì)于任何資產(chǎn)組合q，均存在實(shí)數(shù)

使得對(duì)于所有凹函數(shù)u，2023/2/464第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論因此

和

也可以作為兩個(gè)分離基金。□根據(jù)上面的論述不難看到，當(dāng)資產(chǎn)收益率向量滿足二基金分離性質(zhì)時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和切點(diǎn)組合e

也可以作為兩個(gè)分離基金，因此個(gè)體始終會(huì)選擇它們進(jìn)行投資。類似定理4.1.2的證明，不難得到，當(dāng)

時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界和風(fēng)險(xiǎn)前沿邊界的切點(diǎn)e對(duì)應(yīng)著市場(chǎng)組合。既然市場(chǎng)組合位于前沿邊界上，利用4.1.4節(jié)中的證明，可以同樣得到(4.1.3)式。也就是說，在將假設(shè)3替換為假設(shè)3’后，在二基金分離的框架下，CAPM定價(jià)公式仍然成立。這也便完成了本小節(jié)的目標(biāo)。2023/2/465第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論4.3.2不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資本資產(chǎn)定價(jià)模型觀察4.1節(jié)得到的經(jīng)典CAPM定價(jià)公式(4.1.3)，其中包含了無風(fēng)險(xiǎn)利率

項(xiàng)。這說明，上述定價(jià)公式離不開假設(shè)5；若市場(chǎng)中不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則上述定價(jià)公式便不再成立。為此，本部分將討論在去除假設(shè)5后，經(jīng)典的CAPM模型所需要進(jìn)行的改變。2023/2/466第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論首先回憶第三章中的結(jié)論。當(dāng)市場(chǎng)中不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，前沿邊界不再是兩條射線，而是在標(biāo)準(zhǔn)差-期望平面中的一支雙曲線，這支雙曲線的上半部分是有效前沿邊界。根據(jù)第三章定理3.2.3，對(duì)于任意可行資產(chǎn)q，對(duì)于任意前沿資產(chǎn)p，它們的期望收益率有如下關(guān)系式：其中zc(p)是資產(chǎn)組合p的零協(xié)方差資產(chǎn)組合，2023/2/467第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論此外，在假設(shè)1～假設(shè)4下，投資者只會(huì)選擇在有效前沿邊界上進(jìn)行投資。通過類似4.1.3節(jié)的論證（在(4.1.1)中將

和各

均取1），不難得到，在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形下，市場(chǎng)組合仍然是個(gè)體最優(yōu)投資組合的凸組合。根據(jù)第三章定理3.2.1，有效前沿資產(chǎn)組合的凸組合仍然是有效前沿邊界資產(chǎn)，因此市場(chǎng)組合m

也是有效前沿組合。進(jìn)一步假設(shè)市場(chǎng)組合不是最小方差組合mvp，則由根據(jù)定理3.2.2可知，有效前沿組合存在零協(xié)方差組合，因此zc(m)存在。故將市場(chǎng)組合m

代入(4.3.8)式，便得到2023/2/468這條假設(shè)有其合理性。例如，當(dāng)個(gè)體效用為二次效用并且資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布時(shí)，利用均衡理論可以證明，個(gè)體的最優(yōu)投資組合落在除最小方差組合外的有效前沿邊界上。關(guān)于具體證明，感興趣的讀者可以參見[29]。第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論(4.3.9)是便是Black（1972）和Lintner（1969）發(fā)明的零-Beta資本資產(chǎn)定價(jià)模型，也被稱為Black定價(jià)公式。2023/2/469第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論4.3.3市場(chǎng)組合的有效性以及可替代性CAPM模型在出現(xiàn)的初期在實(shí)證方面得到了不少的支持，其中包括了Black，Jensen和Scholes（1972）以及Fama和MacBeth（1973）。但從上世紀(jì)80年代開始，各種針對(duì)CAPM模型的批評(píng)層出不窮。其中最為典型的是Banz（1981）發(fā)現(xiàn)的公司規(guī)模效應(yīng)（sizeeffect）以及Fama和French（1992）的批評(píng)。因此，關(guān)于CAPM是否成立的爭(zhēng)論一直持續(xù)著。Fama（1976）指出，對(duì)于CAPM模型的直接檢驗(yàn)等價(jià)于對(duì)市場(chǎng)組合的均值-方差有效性的檢驗(yàn)。然而，CAPM模型中的市場(chǎng)組合需要包含市場(chǎng)中所有個(gè)體的投資狀況，是不可觀測(cè)的。這使得對(duì)市場(chǎng)組合的有效性的檢驗(yàn)無法進(jìn)行。因此可以說，CAPM模型處于缺乏實(shí)證證據(jù)的支持的境地。2023/2/470第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論另一方面，在實(shí)際應(yīng)用中，CAPM模型定價(jià)公式(4.1.3)也需要市場(chǎng)組合收益率

的信息。如果市場(chǎng)組合不可觀測(cè)，則上述定價(jià)公式便無法運(yùn)用。為了解決此問題，一個(gè)直觀的想法是：利用一個(gè)可以觀察的、能大致反映市場(chǎng)信息的組合來替代市場(chǎng)組合進(jìn)行實(shí)證分析。事實(shí)上，實(shí)證中經(jīng)常使用道?瓊斯（DowJones）指數(shù)、上證綜指等市場(chǎng)指數(shù)作為市場(chǎng)組合的替代組合，“粗略地”地應(yīng)用CAPM模型。然而，這種替代方法是否合理？替代組合的有何選擇標(biāo)準(zhǔn)或者選擇方法？下面便圍繞著這些問題進(jìn)行討論。2023/2/471第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論首先，定理4.3.5表明，在一定條件下，將具有單位Beta系數(shù)的組合作為替代組合是不錯(cuò)的選擇。定理4.3.5設(shè)組合

的收益率滿足

，即

。而資產(chǎn)組合q的收益率與

的收益率之間有如下關(guān)系其中

。則資產(chǎn)q的Beta系數(shù)

。2023/2/472第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論證明：定理4.3.5給出了替代組合的一個(gè)判斷條件。那么，如何在市場(chǎng)中尋找市場(chǎng)組合的替代組合呢？下面的定理給出了一種方法。2023/2/473第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論定理4.3.6假設(shè)有N個(gè)資產(chǎn)組合

，它們的收益率

的協(xié)方差矩陣

非退化，并且它們真實(shí)的Beta系數(shù)向量

已知。則存在該N

個(gè)資產(chǎn)組合的仿射組合

，使得

，其中

為資產(chǎn)組合i關(guān)于組合

的“Beta系數(shù)”。2023/2/474第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論證明：取資產(chǎn)組合

，它關(guān)于資產(chǎn)組合

的權(quán)重向量為

。則不難看出，確實(shí)是資產(chǎn)

的仿射組合，且這便是所要證明的結(jié)論?！?/p>

2023/2/475第三節(jié)資本資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)一步的討論定理4.3.6表明，只要部分基礎(chǔ)資產(chǎn)的真實(shí)Beta系數(shù)已知，則可以利用這些基礎(chǔ)資產(chǎn)構(gòu)造一個(gè)替代組合

。由協(xié)方差的線性性易知，對(duì)于這些基礎(chǔ)資產(chǎn)的仿射組合來說，利用替代組合

計(jì)算得到的Beta系數(shù)與真實(shí)的Beta系數(shù)相吻合，因此

在這些基礎(chǔ)資產(chǎn)生成的“子市場(chǎng)”中也是不錯(cuò)的替代組合。2023/2/476第四節(jié)套利定價(jià)模型資本資產(chǎn)定價(jià)理論是現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域最經(jīng)典的理論之一，它的一個(gè)最大的特點(diǎn)是將資產(chǎn)的期望收益率用無風(fēng)險(xiǎn)收益率和市場(chǎng)組合收益率進(jìn)行線性表示，從而為資產(chǎn)定價(jià)提供了極大的便利。然而由于資本資產(chǎn)定價(jià)理論繼承了Markowitz資產(chǎn)組合理論的嚴(yán)格假設(shè)，以及模型中關(guān)鍵量市場(chǎng)組合無法觀察的特性，CAPM模型在實(shí)證方面存在很大的局限性。在CAPM模型的實(shí)際應(yīng)用中，往往選擇一些以可觀察的資產(chǎn)組合（如股票指數(shù)）作為市場(chǎng)組合的替代組合。其實(shí)，從CAPM模型的推導(dǎo)過程中可以看出，將市場(chǎng)組合替換為任何非零方差的前沿資產(chǎn)組合，形如(4.1.3)的定價(jià)公式也應(yīng)該成立。其實(shí)，這些方法的本質(zhì)思路和CAPM是相同的，即將某資產(chǎn)組合的期望收益用無風(fēng)險(xiǎn)收益率和另一資產(chǎn)組合的期望收益率線性表示。2023/2/477第四節(jié)套利定價(jià)模型實(shí)證研究表明，使用了替代組合的CAPM模型的實(shí)證效果并不好，誤差比較大。這可能有以下兩方面的原因。一方面，影響到某資產(chǎn)組合收益率的因素除了另一個(gè)資產(chǎn)組合的收益率外還有很多，例如Banz提出的公司規(guī)模，又如一些宏觀因素例如國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值等，它們可能比資產(chǎn)收益率這個(gè)因素表現(xiàn)更為出色。由此產(chǎn)生的一種自然的想法是，能否類似CAPM模型，在經(jīng)過適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)化后，研究這些因素與資產(chǎn)收益率之間的線性關(guān)系？這便是因子模型的思想。另一方面，CAPM用來線性表示的期望收益率（也就是因子）除了無風(fēng)險(xiǎn)收益率外只有一個(gè)，若增加因子數(shù)目，從理論上來說，定價(jià)公式的效果可能會(huì)更好。根據(jù)這個(gè)思想，多因子模型也就應(yīng)運(yùn)而生了。2023/2/478第四節(jié)套利定價(jià)模型基于多因子模型和一些基本假設(shè)，利用漸進(jìn)無套利的思想，便能得到經(jīng)典的套利定價(jià)模型（ArbitragePricingModel，APT）。套利定價(jià)模型由Ross（1976）首先得到，它刻畫了資產(chǎn)的超額期望收益率與一些“因子”的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（RiskPremium）之間的近似線性關(guān)系。從形式上看，APT模型是CAPM模型的推廣；然而，它們之間最為根本的不同點(diǎn)是，CAPM模型基于效用理論，而APT模型則基于漸近無套利思想得到.因此，APT模型能夠避免CAPM模型中市場(chǎng)模型均方有效性檢驗(yàn)的要求，這使得APT模型的應(yīng)用相比與CAPM模型更有實(shí)證基礎(chǔ)。此外，由于APT模型有著與CAPM模型類似的簡(jiǎn)潔的形式，這使得它在實(shí)證應(yīng)用中十分簡(jiǎn)便。2023/2/479第四節(jié)套利定價(jià)模型4.4.1單因子模型根據(jù)定理4.1.3，將(4.1.5)稍作整理，得到其中無風(fēng)險(xiǎn)收益率

是常數(shù)，

為市場(chǎng)組合的超額收益率，

是期望為零、并且與市場(chǎng)組合收益率

不相關(guān)的隨機(jī)項(xiàng)。上式表明，資產(chǎn)收益率受市場(chǎng)組合超額收益率影響，因此可以將后者看作資產(chǎn)收益率的一個(gè)影響因子。將上式推廣，便得到任意可行資產(chǎn)組合

與其影響因子

間的如下線性關(guān)系：2023/2/480第四節(jié)套利定價(jià)模型其中

為常數(shù)，為隨機(jī)變量。進(jìn)一步假設(shè)上式滿足如下三個(gè)條件：(1)不同可行資產(chǎn)組合i、j

對(duì)應(yīng)的殘差

不相關(guān)，即：(2)任意可行資產(chǎn)組合i對(duì)應(yīng)的殘差期望為零：(3)殘差與因子不相關(guān)：這便是單因子模型。2023/2/481第四節(jié)套利定價(jià)模型由上述單因子模型可以推得資產(chǎn)組合收益率的協(xié)方差。事實(shí)上，其中最后一個(gè)等式用到了上述假設(shè)(1)-(3)，

為Kronecker記號(hào)：2023/2/482第四節(jié)套利定價(jià)模型當(dāng)

時(shí)，(4.4.2)變?yōu)橐簿褪钦f，任意兩個(gè)不同的可行資產(chǎn)組合的協(xié)方差可以表示為三個(gè)部分的乘積：因子的方差

，以及兩個(gè)資產(chǎn)組合

和

對(duì)因子

的敏感程度系數(shù)

和

。而當(dāng)

時(shí)，(4.4.2)式變?yōu)?023/2/483第四節(jié)套利定價(jià)模型該式形如(4.2.4)式，并且有著類似的解釋：任意可行資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)可以分解為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)也即因子方差，以及個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)也即隨機(jī)項(xiàng)的方差。若將因子

選為市場(chǎng)組合的超額收益率

，類似4.2.2節(jié)可以得到，

其實(shí)就是資產(chǎn)關(guān)于市場(chǎng)組合的Beta系數(shù)。因此，在一般情形下，也將此處的

稱為資產(chǎn)

關(guān)于因子

的Beta系數(shù)。2023/2/484第四節(jié)套利定價(jià)模型4.4.2多因子模型單因子模型在市場(chǎng)中所有可行資產(chǎn)組合與因子之間建立起了一種線性的關(guān)系，本質(zhì)上體現(xiàn)了一種線性定價(jià)法則。當(dāng)然，能夠解釋資產(chǎn)組合收益率變化的因子可能有多個(gè)，例如：市場(chǎng)中其他資產(chǎn)組合收益率、市場(chǎng)指數(shù)的增長(zhǎng)率、宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)增長(zhǎng)率，資產(chǎn)發(fā)行公司相關(guān)信息等。從數(shù)學(xué)角度來看，若將單因子模型(4.4.1)中的因子

數(shù)量增加，其擬合誤差應(yīng)該會(huì)減小?；谶@種思想，多因子模型也便產(chǎn)生了。2023/2/485第四節(jié)套利定價(jià)模型假設(shè)影響資產(chǎn)收益率的因素有K個(gè)，分別記為

。假設(shè)資產(chǎn)組合i的收益率與這K

個(gè)因子之間存在如下線性關(guān)系：其中

和

為常數(shù)，

為隨機(jī)變量。類似單因子模型，進(jìn)一步作如下假設(shè)：2023/2/486第四節(jié)套利定價(jià)模型(1)不同可行資產(chǎn)組合對(duì)應(yīng)的殘差項(xiàng)

不相關(guān)，即(2)任意可行資產(chǎn)組合i對(duì)應(yīng)的殘差項(xiàng)的期望為零，即(3)殘差項(xiàng)與因子不相關(guān)，即這便是多因子模型。當(dāng)因子個(gè)數(shù)為K時(shí)，該模型也被稱為K

因子模型。2023/2/487第四節(jié)套利定價(jià)模型多因子模型中的上述三條假設(shè)為多因子模型的相應(yīng)推導(dǎo)提供了很大的便利，并且也有其一定的合理性。假設(shè)(1)要求殘差項(xiàng)無關(guān)，這導(dǎo)致了不同資產(chǎn)組合間的相關(guān)性只能通過它們與因子的關(guān)系來體現(xiàn)（接下來的討論便表明了這點(diǎn)）。殘差項(xiàng)

對(duì)兩個(gè)資產(chǎn)組合收益率間的相關(guān)性沒有任何貢獻(xiàn)，而只是對(duì)資產(chǎn)i本身的收益率產(chǎn)生影響。因此，殘差項(xiàng)體現(xiàn)了資產(chǎn)組合的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)，而資產(chǎn)組合收益率和因子間的關(guān)系體現(xiàn)了資產(chǎn)組合的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)然，在假設(shè)(1)的限制下，該因子模型的應(yīng)用范圍將受到一定的限制。2023/2/488第四節(jié)套利定價(jià)模型假設(shè)(2)要求殘差項(xiàng)期望為零。這是一個(gè)自然的要求。在這個(gè)假設(shè)下，(4.4.3)右邊的非殘差項(xiàng)構(gòu)成了資產(chǎn)組合收益率變量的一個(gè)無偏估計(jì)，也就是說，這個(gè)要求很容易滿足，因?yàn)榧词箽埐铐?xiàng)的期望

不為零，將其合并入

并將

組作為新的殘差項(xiàng)即可滿足假設(shè)(2)。2023/2/489第四節(jié)套利定價(jià)模型假設(shè)(3)給出了殘差項(xiàng)與因子間的不相關(guān)性。從線性回歸角度來說，這條假設(shè)也是比較自然的，并沒有給模型帶來很大的限制。事實(shí)上，在將資產(chǎn)組合收益率

關(guān)于因子

進(jìn)行線性回歸時(shí)，要求做到殘差項(xiàng)的方差最小，而此時(shí)殘差項(xiàng)與因子的協(xié)方差必然為零，否則通過調(diào)整回歸系數(shù)

減少該協(xié)方差必然會(huì)降低殘差項(xiàng)的方差。2023/2/490第四節(jié)套利定價(jià)模型在多因子模型下，單因子模型的一些結(jié)論也類似成立。例如，可以通過計(jì)算直接得到不同可行資產(chǎn)收益率之間的協(xié)方差。事實(shí)上，2023/2/491第四節(jié)套利定價(jià)模型其中

，而當(dāng)

時(shí)，(4.4.4)變?yōu)?023/2/492第四節(jié)套利定價(jià)模型也就是說，任意兩個(gè)不同的可行資產(chǎn)組合的協(xié)方差可以表示為三個(gè)部分的乘積：因子的協(xié)方差矩陣

，以及兩個(gè)資產(chǎn)組合

和

對(duì)因子

的敏感程度向量

和

。而當(dāng)i=j時(shí)，(4.4.4)變?yōu)樗兄黠@的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋：某資產(chǎn)收益率的風(fēng)險(xiǎn)由K個(gè)因子造成的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（因子協(xié)方差）加權(quán)之和與資產(chǎn)的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)（殘差方差）組成。2023/2/493第四節(jié)套利定價(jià)模型之所以將殘差項(xiàng)對(duì)應(yīng)的不確定性稱為個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)，是因?yàn)樵擄L(fēng)險(xiǎn)可以通過資產(chǎn)的高度多樣化的組合而被消除。此處高度多樣化有如下兩個(gè)含義。第一，市場(chǎng)中的基礎(chǔ)資產(chǎn)數(shù)量n

充分大；第二，資產(chǎn)組合投資于每種基礎(chǔ)資產(chǎn)i的權(quán)重

一致充分小（例如，

）。事實(shí)上，記基礎(chǔ)資產(chǎn)收益率向量為

，投資組合p的權(quán)重向量為

，因此

。而收益率方差2023/2/494第四節(jié)套利定價(jià)模型其中

。結(jié)合(4.4.4)，(4.4.5)可化為2023/2/495第四節(jié)套利定價(jià)模型其中假設(shè)

，則個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)2023/2/496第四節(jié)套利定價(jià)模型當(dāng)

時(shí)，由于資產(chǎn)組合投資于每種基礎(chǔ)資產(chǎn)i的權(quán)重

一致充分小，即

，因此上式右端趨向于零。所以，當(dāng)基礎(chǔ)資產(chǎn)數(shù)量足夠大時(shí)，高度多樣化資產(chǎn)組合的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)可以小到忽略不計(jì)，資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)全部由系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)所體現(xiàn)，即

2023/2/497第四節(jié)套利定價(jià)模型最后討論多因子模型(4.4.3)中的系數(shù)

與資產(chǎn)組合i關(guān)于因子

的Beta系數(shù)之間的關(guān)系。事實(shí)上，2023/2/498第四節(jié)套利定價(jià)模型因此可以從上述線性方程組中求解得到。特別地，若進(jìn)一步假設(shè)各因子之間也是不相關(guān)的，則上式可以化簡(jiǎn)為

從而此時(shí)，因子模型中的回歸系數(shù)

即為資產(chǎn)組合i關(guān)于因子

的Beta系數(shù)。

2023/2/499第四節(jié)套利定價(jià)模型4.4.3套利定價(jià)模型的基本假設(shè)本節(jié)開始套利定價(jià)模型的具體介紹。正如本章開頭所介紹，APT模型刻畫了資產(chǎn)的超額期望收益率與一些“因子”的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（RiskPremium）之間的近似線性關(guān)系。簡(jiǎn)單地說，套利定價(jià)模型表明，當(dāng)市場(chǎng)中的資產(chǎn)數(shù)量足夠多時(shí)，下面的等式近似成立其中

為常數(shù)，也被稱為因子載荷（FactorLoading），l

為第

個(gè)因子lf%的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，即

2023/2/4100第四節(jié)套利定價(jià)模型如同CAPM模型，APT模型的成立也離不開一系列的基本假設(shè)。然而，從下面的論述不難看出，相比與CAPM模型，APT模型的假設(shè)更為寬松，更符合市場(chǎng)實(shí)際情況。假設(shè)1市場(chǎng)上資產(chǎn)的交易不存在摩擦，即不存在任何形式的交易成本，包括交易費(fèi)用與市場(chǎng)流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)造成的交易成本。并且假設(shè)市場(chǎng)上允許對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行賣空，即允許資產(chǎn)投資權(quán)重為負(fù)數(shù)。另外，還假設(shè)資產(chǎn)無限可分，即可以買入或者賣出任意小份額的資產(chǎn)。市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的，單個(gè)個(gè)體的投資行為不會(huì)影響資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。2023/2/4101第四節(jié)套利定價(jià)模型假設(shè)2市場(chǎng)是無套利的。市場(chǎng)中存在足夠多的套利者，一旦市場(chǎng)中出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，他們會(huì)構(gòu)造盡可能多的套利組合進(jìn)行套利，從而消除套利機(jī)會(huì)。假設(shè)3市場(chǎng)中存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并且其市場(chǎng)買賣價(jià)格相等。假設(shè)4所有個(gè)體對(duì)市場(chǎng)中資產(chǎn)收益率有著相同的預(yù)期，任何資產(chǎn)的收益率滿足K因子模型。假設(shè)5市場(chǎng)中資產(chǎn)的數(shù)量足夠多；特別地，資產(chǎn)數(shù)量大于因子的數(shù)目。2023/2/4102第四節(jié)套利定價(jià)模型假設(shè)1和假設(shè)3延續(xù)了CAPM模型的假設(shè)，它為APT模型的建立以及推導(dǎo)提供了方便。假設(shè)2是關(guān)于市場(chǎng)的無套利假設(shè)，它的引入可以說是APT模型與前面的Markowitz資產(chǎn)組合理論和CAPM模型的一個(gè)最本質(zhì)的區(qū)別。Markowitz資產(chǎn)組合理論和CAPM模型是基于個(gè)體效用的理論，它們通過研究并假設(shè)個(gè)體效用函數(shù)或者偏好特征，對(duì)市場(chǎng)中的資產(chǎn)進(jìn)行絕對(duì)定價(jià)。因此，這兩個(gè)模型的假設(shè)中包含了對(duì)個(gè)體偏好的假設(shè)，例如4.1.2節(jié)中的假設(shè)3。而APT模型是無套利模型，通過假設(shè)市場(chǎng)中不存在套利機(jī)會(huì)，它得到了所需定價(jià)的資產(chǎn)與市場(chǎng)中其它資產(chǎn)價(jià)格間必須存在的關(guān)系，從而對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行相對(duì)定價(jià)。因此，相比于CAPM模型的假設(shè)，APT模型的無套利假設(shè)占據(jù)了與CAPM模型關(guān)于個(gè)體偏好的假設(shè)同等的地位。2023/2/4103第四節(jié)套利定價(jià)模型根據(jù)4.4.2節(jié)的內(nèi)容，假設(shè)4可以用如下的方式更準(zhǔn)確地進(jìn)行表述：任何資產(chǎn)組合i的收益率

與K個(gè)因子

之間存在如下線性關(guān)系：其中

和

為常數(shù)，

為隨機(jī)變量。并且假設(shè)4是APT模型的核心假設(shè)。它的存在確保了APT模型近似線性定價(jià)公式的成立。假設(shè)5的提出是APT模型估計(jì)式成立的理論基礎(chǔ)，同時(shí)避免推導(dǎo)過程中出現(xiàn)退化的情況。2023/2/4104第四節(jié)套利定價(jià)模型4.4.4套利定價(jià)模型的理論推導(dǎo)本節(jié)將給出APT模型的理論推導(dǎo)。在市場(chǎng)中構(gòu)造一個(gè)子市場(chǎng)序列

，它滿足：(1)單調(diào)遞增性：(2)在

中，有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。結(jié)合假設(shè)4，子市場(chǎng)

中的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率滿足如下模型：2023/2/4105第四節(jié)套利定價(jià)模型其中此外進(jìn)一步假設(shè)其中s是一個(gè)正常數(shù)。這個(gè)假設(shè)要求對(duì)于子市場(chǎng)中的所有資產(chǎn)，K因子模型的殘差可以被控制，從而做到一致的小。此外，為了推導(dǎo)的方便，本節(jié)中假設(shè)K個(gè)因子均為資產(chǎn)收益率。2023/2/4106第四節(jié)套利定價(jià)模型首先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的情形：假設(shè)K因子模型沒有誤差。那么如下結(jié)論成立：定理4.4.1假設(shè)(4.4.6)中殘差項(xiàng) ,則定理4.4.1表明，如果K因子模型對(duì)資產(chǎn)收益率給出了精確的估計(jì)，那么資產(chǎn)收益率的APT線性定價(jià)公式將嚴(yán)格成立。2023/2/4107第四節(jié)套利定價(jià)模型證明：結(jié)合定理假設(shè)和(4.4.6)知，

根據(jù)上式和(4.4.8)，只需證明

而該式可利用反證法用經(jīng)典的無套利方法證明。假設(shè)(4.4.10)不成立，則存在

，使得2023/2/4108第四節(jié)套利定價(jià)模型或者

成立。構(gòu)造資產(chǎn)組合

，它由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與K

個(gè)因子資產(chǎn)組成，其中投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重為

，而投資于因子l的權(quán)重為

。因此，資產(chǎn)組合

的收益率為2023/2/4109第四節(jié)套利定價(jià)模型當(dāng)

時(shí)，，通過買入1元的資產(chǎn)組合

同時(shí)賣空1元的資產(chǎn)j構(gòu)造的資產(chǎn)組合顯然是一個(gè)自融資組合，并且利用(4.4.9)和(4.4.11)可得其收益為因此，這個(gè)自融資組合當(dāng)前價(jià)值為零，而在將來有著嚴(yán)格正的收益，是一個(gè)套利組合，這與假設(shè)2所要求的市場(chǎng)無套利性相矛盾。2023/2/4110第四節(jié)套利定價(jià)模型當(dāng)

時(shí)，同理可證明，通過賣空1元的資產(chǎn)組合

同時(shí)買入1元的資產(chǎn)j

構(gòu)造的自融資資產(chǎn)組合也是一個(gè)套利組合，同樣與假設(shè)2所要求的市場(chǎng)的無套利性相矛盾。綜上，(4.4.10)成立。在(4.4.9)兩邊取期望，定理得證。2023/2/4111第四節(jié)套利定價(jià)模型定理4.4.1所得到的線性定價(jià)公式嚴(yán)格成立，這是一個(gè)非常漂亮的結(jié)論。但是不難發(fā)現(xiàn)，為了得到這樣的結(jié)論，定理所需附加的條件也極為嚴(yán)格：多因子模型的殘差項(xiàng)為零。從經(jīng)濟(jì)學(xué)意義上說，這樣的假設(shè)要求風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)只來源于系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，而不存在非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。這樣的假設(shè)顯然是不合理的。下面的定理放松了殘差項(xiàng)為零的假設(shè)，嘗試得到相似的結(jié)論。當(dāng)然，此時(shí)的結(jié)論也相應(yīng)地變?nèi)酰壕€性定價(jià)公式只是對(duì)大部分資產(chǎn)近似地成立。2023/2/4112第四節(jié)套利定價(jià)模型由于下面的推導(dǎo)過程以及結(jié)論是基于極限意義得到的，假設(shè)2中的無套利概念需要進(jìn)行相應(yīng)的推廣。極限意義下的套利機(jī)會(huì)是指這樣一個(gè)自融資套利組合序列，它們的期望收益率有嚴(yán)格大于零的下界，同時(shí)方差收斂于0。嚴(yán)格地說，套利組合序列

滿足2023/2/4113第四節(jié)套利定價(jià)模型從直觀意義上來看，假設(shè)市場(chǎng)中存在足夠多的資產(chǎn)，如果市場(chǎng)中存在極限意義下的套利機(jī)會(huì)，則存在一個(gè)資產(chǎn)組合，它的構(gòu)建成本為0，而期望收益率嚴(yán)格大于0，并且風(fēng)險(xiǎn)小到可以被忽略。對(duì)于套利者來說，這樣的資產(chǎn)組合幾乎是免費(fèi)的午餐。如果套利者構(gòu)造盡可能多的這樣的組合進(jìn)行套利，市場(chǎng)上不應(yīng)該存在極限意義下的套利機(jī)會(huì)。因此，在下面的論述中，我們?cè)?.4.3節(jié)假設(shè)的基礎(chǔ)上，引入漸進(jìn)無套利假設(shè)：2023/2/4114第四節(jié)套利定價(jià)模型假設(shè)2’（漸近無套利假設(shè)）市場(chǎng)中不存在極限意義下的套利機(jī)會(huì)。下面開始近似線性定價(jià)公式的證明。首先需要證明如下引理，它弱于(4.4.10)，但為近似線性定價(jià)公式的成立提供了必要條件。引理4.4.2對(duì)于任意實(shí)數(shù)

，存在正整數(shù)

，使得對(duì)于任意子市場(chǎng)

，除了至多

個(gè)資產(chǎn)外，其余資產(chǎn)i均滿足2023/2/4115第四節(jié)套利定價(jià)模型證明：對(duì)于任意

，記

為

中不滿足(4.4.12)的資產(chǎn)的數(shù)量。則由于

的單調(diào)性，

關(guān)于n單調(diào)遞增。定理結(jié)論等價(jià)于存在

使得

假設(shè)結(jié)論不成立，則存在

，使得2023/2/4116第四節(jié)套利定價(jià)模型不失一般性地，假設(shè)

中不滿足(4.4.12)的資產(chǎn)下標(biāo)集合為

對(duì)于每個(gè)經(jīng)濟(jì)體

中的資產(chǎn)

，構(gòu)造資產(chǎn)組合

，它由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與K個(gè)因子資產(chǎn)組成，其中投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重為

，而投資于因子l的權(quán)重為

。然后構(gòu)造如下自融資組合

：2023/2/4117第四節(jié)套利定價(jià)模型則通過直接的計(jì)算可知，自融資組合

的收益額為2023/2/4118第四節(jié)套利定價(jià)模型其中

為符號(hào)函數(shù)。接著，對(duì)于

，取資產(chǎn)組合2023/2/4119第四節(jié)套利定價(jià)模型即

為

個(gè)自融資資產(chǎn)組合

的權(quán)重為

的等權(quán)重凸組合。因此

也是自融資組合，同時(shí)其期望收益率為并且根據(jù)(4.4.7)，其方差為2023/2/4120第四節(jié)套利定價(jià)模型由于(4.4.13)，上式可以推出因此，自融資組合序列

是極限意義下的套利組合，這與漸近無套利假設(shè)（假設(shè)2’）矛盾。因此引理得證。2023/2/4121第四節(jié)套利定價(jià)模型引理4.4.2有下面的直觀理解。在殘差項(xiàng)不為零的情形下，(4.4.10)不再嚴(yán)格成立，而往往只能做到近似成立，即然而，對(duì)這個(gè)近似式的精度可以做出要求。不管精度要求多高（也即不管

多小），除了有限個(gè)（

個(gè)）資產(chǎn)外，(4.4.16)對(duì)于市場(chǎng)中其余資產(chǎn)均成立。2023/2/4122第四節(jié)套利定價(jià)模型因此，當(dāng)市場(chǎng)中資產(chǎn)數(shù)量足夠多（遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于

時(shí)），近似式(4.4.16)對(duì)于市場(chǎng)中絕大部分資產(chǎn)都是成立的。將(4.4.16)代入(4.4.6)并取期望，可以得到如下的套利定價(jià)模型：定理4.4.3（套利定價(jià)模型）在4.4.3節(jié)的假設(shè)下，對(duì)于資產(chǎn)

，下式近似成立：2023/2/4123第四節(jié)套利定價(jià)模型4.4.5套利定價(jià)模型與資本資產(chǎn)定價(jià)模型的區(qū)別與聯(lián)系在現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，CAPM和APT是兩個(gè)具有深遠(yuǎn)影響的資產(chǎn)定價(jià)理論。它們有著相似的形式，但同時(shí)也有著很多不同之處。CAPM和APT模型最大的一個(gè)相似之處，在于它們都將資產(chǎn)的期望收益率與一些影響因子進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從市場(chǎng)上可以得到影響因子已知數(shù)據(jù)，進(jìn)而對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)。從形式上看，它們都是將資產(chǎn)的超額期望收益率表示為一個(gè)或者多個(gè)因子的線性求和形式。特別地，如果APT模型中只有一個(gè)因子，并且該因子就是市場(chǎng)組合的超額收益率，那么不難看出，這樣的APT模型在形式上是與CAPM一致的。從根本上說，CAPM模型與APT模型都體現(xiàn)了線性定價(jià)的思想。2023/2/4124第四節(jié)套利定價(jià)模型當(dāng)然，除了形式上的相似性之外，CAPM模型與APT模型有著很多的不同之處。首先，CAPM模型和APT模型的一個(gè)最為根本的不同點(diǎn)在于它們的定價(jià)基本框架不同。CAPM模型是均衡定價(jià)模型，它從投資個(gè)體的效用出發(fā)，著眼于個(gè)體效用最大化，從而研究市場(chǎng)均衡時(shí)的定價(jià)。因此，這種定價(jià)方式也被稱為“絕對(duì)定價(jià)”。另一方面，APT模型是無套利定價(jià)模型。它基于市場(chǎng)中不存在（極限意義下的）套利機(jī)會(huì)的假設(shè)，指出在此假設(shè)下，不同資產(chǎn)價(jià)格間應(yīng)當(dāng)存在一定的關(guān)系。因此，資產(chǎn)的價(jià)格可以由其他一些較為基礎(chǔ)的資產(chǎn)的已知價(jià)格所表示，從而達(dá)到定價(jià)的目的。因此，這種定價(jià)方式也被稱為“相對(duì)定價(jià)”。2023/2/4125第四節(jié)套利定價(jià)模型由于定價(jià)框架不同，CAPM與APT的模型假設(shè)自然也有不同之處。其中最突出的區(qū)別便是CAP