環(huán)路定理電位

§1.3靜電場的環(huán)路定理.電位一.靜電力作功的特點移動實驗點電荷qt

，(L)(L)電場力作功：就要研究(L)的特點：要搞清靜電力作功的規(guī)律，（circuitaltheoremofelectrostaticfield）dlqtP1P2EL2/4/202311、在點電荷q的電場中移動qt，由P1點P2

點過

程中電場力作功：2、在點電荷系q1

,q2,…的電場中移動qt，電場力作功：3、對連續(xù)帶電體有同樣結(jié)論。（分三步說明）2/4/20232對點電荷：──只與P1、P2位置有關(guān)，(L)(L)而與L無關(guān)。P1P2qtdlErq2/4/20233對點電荷系：P1P2q0dlEiriqiq2q1ri1ri

2(L)(L)(L)——只與P1、P2位置有關(guān)，而與L無關(guān)。

2/4/20234對任意有限大的帶電體產(chǎn)生的電場可以將帶電體無限分割成微元，每一個微元均為一點電荷

——點電荷組——只與P1、P2位置有關(guān)，而與L無關(guān)。

2/4/20235結(jié)論：在任何電場中移動試體電荷時，電場力所做的功除了與電場本身有關(guān)外，只與試體電荷的大小及其起點、終點有關(guān)，與移動電荷所走過的路徑無關(guān).

靜電場力做功與路徑無關(guān)！L1L2P2P1(L1)(L2)(L2)2/4/20236二.環(huán)路定理（circuitaltheorem）L1L2P2P1—靜電場的環(huán)路定理稱為靜電場的“環(huán)流”（circulation）。靜電場中，電場強(qiáng)度沿任意閉合環(huán)路的有向曲線積分恒等于0適用范圍：由能量守恒原理得來，無其他任何條件限制，環(huán)路定理適用于源電荷及電介質(zhì)作任何分布情況的靜電場；2/4/20237靜電場的環(huán)路定理說明靜電場為保守場，靜電場的電場線不能閉合。

至此，可以從靜電場的兩個積分形式的定理得出結(jié)論：靜電場是有源場、無旋場。由斯托克斯定理，得哪兩個？2/4/20238電勢能、電勢差、電勢

電場力做正功，電勢能將減少電場力做負(fù)功，電勢能將增加電勢能的改變量qt在

P1點的電勢能qt在

P2點的電勢能

電勢能增量靜電場與qt有能量交換電場力做功P22/4/20239Ｐ22/4/202310三、電壓電位1.電壓（電勢差，電位差）定義P1對P2的電壓（P1、P2兩點之間的電位差）：U12為移動單位正電荷由P1→P2電場力作的功。與路徑無關(guān)?？梢腚妷旱母拍睢?/4/2023112.電位（electricpotential），電勢則任一點P1處電勢為：設(shè)P0為電勢參考點，即U0=0，參考點又稱為零電位點。1)某點的電位等于把單位正電荷從該點移到電位零點電場力作的功；2)電位是空間點的坐標(biāo)函數(shù)，是標(biāo)量；3)

電位是描述電場能量性質(zhì)的物理量，與試驗電荷無關(guān)；說明：2/4/2023124）參考點一經(jīng)確定，空間中任意點都有一個確定的電位值；電位是單值函數(shù)。5）參考點選取不同，所得的電位相差一個常數(shù)；但兩點之間的電位差，其大小不隨參考點變化。P0選擇有任意性，習(xí)慣上如下選取電勢零點。理論中：對有限電荷分布，選=0。實際中：選大地或機(jī)殼、公共線為電勢零點。參考點的選?。和粋€物理問題，只能選取一個參考點。選擇參考點盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。2/4/202313外力將單位正電荷是由無窮遠(yuǎn)處移到A點，則A點和無窮遠(yuǎn)處的電位差稱為A點的電位。為電荷源到A點的距離。以無窮遠(yuǎn)處為零電位參考點：

電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點。2/4/2023141）點電荷利用電位定義可以求得如下結(jié)果：Ur0q>0電位的計算：多個點電荷的電位計算：其中：為第i個電荷源到A點的距離。注意：電勢零點P0必須是共同的。2/4/202315電位疊加原理(principleofsuperpositionofelectricpotential)由得：注意：電勢零點P0必須是共同的。對點電荷系：對連續(xù)電荷分布：2/4/2023162）.連續(xù)分布的電荷源的電位計算線電荷分布：面電荷分布：體電荷分布：例計算無限長均勻帶電直線電場的電位分布。2/4/202317解無限長直線如圖放置，電荷線密度為λ。計算在x軸上距直線為r的任一點P處電位。無限長帶電直線的電荷分布延伸到無限遠(yuǎn)，這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電位公式計算電位Φ，否則必得出無限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。同樣也不能直接用點電荷電位公式來計算電位，不然也將得出電場任一點的電位值為無限大的結(jié)果。yrOPP1xr1例

計算無限長均勻帶電直線電場的電位分布。2/4/202318為了能求得P點的電位，可先應(yīng)用電位差和場強(qiáng)的關(guān)系式，求出在軸上P點和P1點的電位差。無限長均勻帶電直線在x軸上的場強(qiáng)為過P點沿x軸積分可算得P點與參考點P1的電位差由于ln1=0，所以本題中若選離直線為r1=1m處作為電位零點，則很方便地可得P點的電位為2/4/202319由上式可知，在r>1m處,VP為負(fù)值；在r<1m處,VP為正值。這個例題的結(jié)果再次表明，在靜電場中只有兩點的電位差有絕對的意義，而各點的電位值卻只有相對的意義。

結(jié)論：無限長均勻帶電直線Urr00

>0r02/4/2023203.電場強(qiáng)度與電位之間的關(guān)系——電位的梯度在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場強(qiáng)度。式中負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。1）電位梯度的引出根據(jù)矢量恒等式2/4/202321電場中某一點的電場強(qiáng)度沿某一方向的分量，等于這一點的電勢沿該方向單位長度上電勢變化率的負(fù)值.2）.推導(dǎo)A2/4/202322圖把單位正點電荷從點A沿l搬至點P電位為一空間點坐標(biāo)的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中表為?，F(xiàn)若將點A沿x方向，移動單位正點電荷，行經(jīng)距離Δx至點P，則有

2）.推導(dǎo)即2/4/202323選l方向分布為直角坐標(biāo)軸x，y，z的方向，則場中任意一點A的電場強(qiáng)度

記稱之為函數(shù)的梯度。梯度的方向是標(biāo)量函數(shù)增加率最大的方向。電場強(qiáng)度亦可以用電位梯度表示2/4/202324高電勢低電勢方向

與相反，由高電勢處指向低電勢處大小2/4/202325電場中某點的場強(qiáng)沿任一方向的分量等于該點的電位沿該方向的方向?qū)?shù)的負(fù)值。矢量微分算符

直角坐標(biāo)系表示

電位梯度

方向：沿電勢變化最快的方向

大?。?/p>

2/4/202326第二種證明方式（數(shù)學(xué)）:已知電荷分布，求電位：（以點電荷為例）2/4/2023273).梯度的物理意義：

空間任意一點的電場強(qiáng)度，等于該點電位(函數(shù))梯度的負(fù)值。電場強(qiáng)度

的方向總是由高電位指向低電位，而電位梯度的方向則是和電位函數(shù)增加率最快的方向一致，它總的方向是由低電位指向高電位，亦即指向電位升高的方向，故兩者恰好反向，因而在表達(dá)式上相差一負(fù)號。在靜電場中，任意一點的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。2/4/202328

與的微分關(guān)系在靜電場中，任意一點的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：

與

的積分關(guān)系設(shè)為參考點圖

與的積分關(guān)系2/4/202329四、等位面（電位圖示法）空間電位相等的點連接起來所形成的面稱為等位面.為了描述空間電勢的分布，規(guī)定任意兩相鄰等位面間的電位差相等在靜電場中，電場強(qiáng)度E總是與等勢面垂直的，即電場線是和等勢面正交的曲線簇.dl是等位面上的線元在直角坐標(biāo)系中，等位面的微分方程：2/4/202330按規(guī)定，電場中任意兩相鄰等勢面之間的電勢差相等，即等勢面的疏密程度同樣可以表示場強(qiáng)的大?。c電荷的等勢面性質(zhì)1：等勢面與電力線處處正交2/4/202331性質(zhì)2：等勢面密集處場強(qiáng)大，稀疏處場強(qiáng)小因為相鄰等勢面電勢差為一定值，所以有半徑之差∝r2定值證明：設(shè)：電場中任意兩個相鄰等勢面之間的電勢差為一定的值，按這一規(guī)定畫出等勢面圖（見圖），以點電荷為例，其電勢為2/4/202332+電偶極子的電場線與等勢面

▲某些等勢面：2/4/202333兩個等量的正電荷的電場線和等勢面2/4/202334點電荷的電場線與等勢面2/4/202335電力線與等位線（面）的性質(zhì)：

線不能相交;

線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;

線愈密處，場強(qiáng)愈大;

線與等位線（面）正交；圖1.2.5點電荷與接地導(dǎo)體的電場圖1.2.4點電荷與不接地導(dǎo)體的電場2/4/202336結(jié)論：空間兩點的電位差只與兩點所在位置有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)。例：計算原點處一點電荷q產(chǎn)生的電場中AP之間的電位差。解：選取求坐標(biāo)系，點電荷q產(chǎn)生的電場所以：o2/4/202337例計算半徑為R，總電荷量為q的均勻帶電球面電場中的電位分布。ORq解用兩種方法來求解。（1）用電位與場強(qiáng)的積分關(guān)系式求解，已知均勻帶電球面在空間激發(fā)的場強(qiáng)沿半徑方向，其大小為并沿半徑方向積分，則P點的電位為當(dāng)r>R時2/4/202338當(dāng)r<R時，由于球內(nèi)外場強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系不同，積分必須分段進(jìn)行，由此可見，一個均勻帶電球面在球外任一點的電位和把全部電荷看作集中于球心的一個點電荷在該點的電位相同；在球面內(nèi)任一點的電位應(yīng)與球面上的電位相等。故均勻帶電球面及其內(nèi)部是一個等電位的區(qū)域。電位V隨r的變化關(guān)系圖。RrVORrO2/4/202339（2）用場源電荷分布與電位的關(guān)系式求解。電荷面密度為RdPrl由圖可知對上式微分得r>R2/4/202340PrlRd當(dāng)P點在球內(nèi)r<R時RrOVRrORrO2/4/202341結(jié)論：均勻帶電球殼0Rrq>0UqR2/4/202342討論：在真空中,有一電荷為Q,半徑為R的均勻帶電球殼,其電荷是面分布的.試求

(1)球殼外兩點間的電位差;(2)球殼內(nèi)兩點間的電位差;(3)球殼外任意點的電位;(4)球殼內(nèi)任意兩點的電位.OerRABdrrArrBr(a)ORrBAdr(b)2/4/202343解(1)均勻帶電球殼外一點的場強(qiáng)為OerRABdrrArrBr(a)上式表明,均勻帶電球殼外兩點的電位差,與球上電荷全部集中于球心時,兩點的電位差是一樣的.2/4/202344(2)均勻帶電球殼內(nèi)部任意兩點的電場強(qiáng)度為E=0球殼內(nèi)部任意兩點的電位差為表明,帶電球殼內(nèi)各點的電位均為一等勢體.ORrBAdr(b)2/4/202345(3)若取rB=+時,V=0,表明,均勻帶電球殼外一點的電位與球上電荷集中于球心一點的電位是一樣的.均勻帶電球殼外一點電位為2/4/202346(4)由于帶電球殼為一等勢體,故球殼內(nèi)各處的電位與球殼表面的電位相等,球殼表面的電位為所以球殼內(nèi)各處的電位Vm為由(3)和(4)可得均勻帶電球殼內(nèi)、外電位分布曲線如圖所示.VOR2R3Rr2/4/202347解:如圖(a)所示建立坐標(biāo)系。在環(huán)上取一電荷元dq，其電荷線密度為，故有例

求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的電位（電量q

，半徑R）dlyzxxROqPr(a)2/4/202348點電荷的電位VxO(b)疊加2/4/202349例：求半徑為R的均勻帶電圓盤Q軸線上一點的電位

解（1）園環(huán)疊加法：取微元細(xì)園環(huán)r~r+drxRdqrPx0QP13，例題1-62/4/202350(2)小扇形疊加法：取微元小扇形QxRdqrPxOd2/4/202351例：真空中有兩個同心金屬球殼，內(nèi)球殼半徑R1,帶電荷q1，外殼的半徑為R2，殼厚ΔR2，帶電荷q2，求場中各處的電場強(qiáng)度及電位。與課后題1-8，1-9相類似2/4/202352思考：

均勻帶電球體。求：1)球體外兩點的電位差；2)球體內(nèi)兩點的電位差；3)球體外任意點的電位；4)球體內(nèi)任意點的電位。解：1)球體外兩點的電位差2/4/2023533）球體外任意點的電位

2)球體內(nèi)兩點的電位差；2/4/2023544)球體內(nèi)任意點的電位：球表面令球心處電位：2/4/202355電場強(qiáng)度和電勢已知場強(qiáng)可求電勢已知電勢可否求場強(qiáng)？2/4/202356例8-7用電場強(qiáng)度與電位的關(guān)系,求半徑為R的均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點的電場強(qiáng)度.dlyzxxROqPr(a)2/4/202357解: