環(huán)路定理電位

§1.3靜電場的環(huán)路定理.電位一.靜電力作功的特點(diǎn)移動實(shí)驗(yàn)點(diǎn)電荷qt

，(L)(L)電場力作功：就要研究(L)的特點(diǎn)：要搞清靜電力作功的規(guī)律，（circuitaltheoremofelectrostaticfield）dlqtP1P2EL2/4/202311、在點(diǎn)電荷q的電場中移動qt，由P1點(diǎn)P2

點(diǎn)過

程中電場力作功：2、在點(diǎn)電荷系q1

,q2,…的電場中移動qt，電場力作功：3、對連續(xù)帶電體有同樣結(jié)論。（分三步說明）2/4/20232對點(diǎn)電荷：──只與P1、P2位置有關(guān)，(L)(L)而與L無關(guān)。P1P2qtdlErq2/4/20233對點(diǎn)電荷系：P1P2q0dlEiriqiq2q1ri1ri

2(L)(L)(L)——只與P1、P2位置有關(guān)，而與L無關(guān)。

2/4/20234對任意有限大的帶電體產(chǎn)生的電場可以將帶電體無限分割成微元，每一個微元均為一點(diǎn)電荷

——點(diǎn)電荷組——只與P1、P2位置有關(guān)，而與L無關(guān)。

2/4/20235結(jié)論：在任何電場中移動試體電荷時，電場力所做的功除了與電場本身有關(guān)外，只與試體電荷的大小及其起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)，與移動電荷所走過的路徑無關(guān).

靜電場力做功與路徑無關(guān)！L1L2P2P1(L1)(L2)(L2)2/4/20236二.環(huán)路定理（circuitaltheorem）L1L2P2P1—靜電場的環(huán)路定理稱為靜電場的“環(huán)流”（circulation）。靜電場中，電場強(qiáng)度沿任意閉合環(huán)路的有向曲線積分恒等于0適用范圍：由能量守恒原理得來，無其他任何條件限制，環(huán)路定理適用于源電荷及電介質(zhì)作任何分布情況的靜電場；2/4/20237靜電場的環(huán)路定理說明靜電場為保守場，靜電場的電場線不能閉合。

至此，可以從靜電場的兩個積分形式的定理得出結(jié)論：靜電場是有源場、無旋場。由斯托克斯定理，得哪兩個？2/4/20238電勢能、電勢差、電勢

電場力做正功，電勢能將減少電場力做負(fù)功，電勢能將增加電勢能的改變量qt在

P1點(diǎn)的電勢能qt在

P2點(diǎn)的電勢能

電勢能增量靜電場與qt有能量交換電場力做功P22/4/20239Ｐ22/4/202310三、電壓電位1.電壓（電勢差，電位差）定義P1對P2的電壓（P1、P2兩點(diǎn)之間的電位差）：U12為移動單位正電荷由P1→P2電場力作的功。與路徑無關(guān)?？梢腚妷旱母拍?。2/4/2023112.電位（electricpotential），電勢則任一點(diǎn)P1處電勢為：設(shè)P0為電勢參考點(diǎn)，即U0=0，參考點(diǎn)又稱為零電位點(diǎn)。1)某點(diǎn)的電位等于把單位正電荷從該點(diǎn)移到電位零點(diǎn)電場力作的功；2)電位是空間點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)，是標(biāo)量；3)

電位是描述電場能量性質(zhì)的物理量，與試驗(yàn)電荷無關(guān)；說明：2/4/2023124）參考點(diǎn)一經(jīng)確定，空間中任意點(diǎn)都有一個確定的電位值；電位是單值函數(shù)。5）參考點(diǎn)選取不同，所得的電位相差一個常數(shù)；但兩點(diǎn)之間的電位差，其大小不隨參考點(diǎn)變化。P0選擇有任意性，習(xí)慣上如下選取電勢零點(diǎn)。理論中：對有限電荷分布，選=0。實(shí)際中：選大地或機(jī)殼、公共線為電勢零點(diǎn)。參考點(diǎn)的選?。和粋€物理問題，只能選取一個參考點(diǎn)。選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。2/4/202313外力將單位正電荷是由無窮遠(yuǎn)處移到A點(diǎn)，則A點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處的電位差稱為A點(diǎn)的電位。為電荷源到A點(diǎn)的距離。以無窮遠(yuǎn)處為零電位參考點(diǎn)：

電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。2/4/2023141）點(diǎn)電荷利用電位定義可以求得如下結(jié)果：Ur0q>0電位的計算：多個點(diǎn)電荷的電位計算：其中：為第i個電荷源到A點(diǎn)的距離。注意：電勢零點(diǎn)P0必須是共同的。2/4/202315電位疊加原理(principleofsuperpositionofelectricpotential)由得：注意：電勢零點(diǎn)P0必須是共同的。對點(diǎn)電荷系：對連續(xù)電荷分布：2/4/2023162）.連續(xù)分布的電荷源的電位計算線電荷分布：面電荷分布：體電荷分布：例計算無限長均勻帶電直線電場的電位分布。2/4/202317解無限長直線如圖放置，電荷線密度為λ。計算在x軸上距直線為r的任一點(diǎn)P處電位。無限長帶電直線的電荷分布延伸到無限遠(yuǎn)，這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電位公式計算電位Φ，否則必得出無限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。同樣也不能直接用點(diǎn)電荷電位公式來計算電位，不然也將得出電場任一點(diǎn)的電位值為無限大的結(jié)果。yrOPP1xr1例

計算無限長均勻帶電直線電場的電位分布。2/4/202318為了能求得P點(diǎn)的電位，可先應(yīng)用電位差和場強(qiáng)的關(guān)系式，求出在軸上P點(diǎn)和P1點(diǎn)的電位差。無限長均勻帶電直線在x軸上的場強(qiáng)為過P點(diǎn)沿x軸積分可算得P點(diǎn)與參考點(diǎn)P1的電位差由于ln1=0，所以本題中若選離直線為r1=1m處作為電位零點(diǎn)，則很方便地可得P點(diǎn)的電位為2/4/202319由上式可知，在r>1m處,VP為負(fù)值；在r<1m處,VP為正值。這個例題的結(jié)果再次表明，在靜電場中只有兩點(diǎn)的電位差有絕對的意義，而各點(diǎn)的電位值卻只有相對的意義。

結(jié)論：無限長均勻帶電直線Urr00

>0r02/4/2023203.電場強(qiáng)度與電位之間的關(guān)系——電位的梯度在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場強(qiáng)度。式中負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。1）電位梯度的引出根據(jù)矢量恒等式2/4/202321電場中某一點(diǎn)的電場強(qiáng)度沿某一方向的分量，等于這一點(diǎn)的電勢沿該方向單位長度上電勢變化率的負(fù)值.2）.推導(dǎo)A2/4/202322圖把單位正點(diǎn)電荷從點(diǎn)A沿l搬至點(diǎn)P電位為一空間點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中表為?，F(xiàn)若將點(diǎn)A沿x方向，移動單位正點(diǎn)電荷，行經(jīng)距離Δx至點(diǎn)P，則有

2）.推導(dǎo)即2/4/202323選l方向分布為直角坐標(biāo)軸x，y，z的方向，則場中任意一點(diǎn)A的電場強(qiáng)度

記稱之為函數(shù)的梯度。梯度的方向是標(biāo)量函數(shù)增加率最大的方向。電場強(qiáng)度亦可以用電位梯度表示2/4/202324高電勢低電勢方向

與相反，由高電勢處指向低電勢處大小2/4/202325電場中某點(diǎn)的場強(qiáng)沿任一方向的分量等于該點(diǎn)的電位沿該方向的方向?qū)?shù)的負(fù)值。矢量微分算符

直角坐標(biāo)系表示

電位梯度

方向：沿電勢變化最快的方向

大?。?/p>

2/4/202326第二種證明方式（數(shù)學(xué)）:已知電荷分布，求電位：（以點(diǎn)電荷為例）2/4/2023273).梯度的物理意義：

空間任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，等于該點(diǎn)電位(函數(shù))梯度的負(fù)值。電場強(qiáng)度

的方向總是由高電位指向低電位，而電位梯度的方向則是和電位函數(shù)增加率最快的方向一致，它總的方向是由低電位指向高電位，亦即指向電位升高的方向，故兩者恰好反向，因而在表達(dá)式上相差一負(fù)號。在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。2/4/202328

與的微分關(guān)系在靜電場中，任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：

與

的積分關(guān)系設(shè)為參考點(diǎn)圖

與的積分關(guān)系2/4/202329四、等位面（電位圖示法）空間電位相等的點(diǎn)連接起來所形成的面稱為等位面.為了描述空間電勢的分布，規(guī)定任意兩相鄰等位面間的電位差相等在靜電場中，電場強(qiáng)度E總是與等勢面垂直的，即電場線是和等勢面正交的曲線簇.dl是等位面上的線元在直角坐標(biāo)系中，等位面的微分方程：2/4/202330按規(guī)定，電場中任意兩相鄰等勢面之間的電勢差相等，即等勢面的疏密程度同樣可以表示場強(qiáng)的大?。c(diǎn)電荷的等勢面性質(zhì)1：等勢面與電力線處處正交2/4/202331性質(zhì)2：等勢面密集處場強(qiáng)大，稀疏處場強(qiáng)小因?yàn)橄噜彽葎菝骐妱莶顬橐欢ㄖ?，所以有半徑之差∝r2定值證明：設(shè)：電場中任意兩個相鄰等勢面之間的電勢差為一定的值，按這一規(guī)定畫出等勢面圖（見圖），以點(diǎn)電荷為例，其電勢為2/4/202332+電偶極子的電場線與等勢面

▲某些等勢面：2/4/202333兩個等量的正電荷的電場線和等勢面2/4/202334點(diǎn)電荷的電場線與等勢面2/4/202335電力線與等位線（面）的性質(zhì)：

線不能相交;

線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;

線愈密處，場強(qiáng)愈大;

線與等位線（面）正交；圖1.2.5點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場圖1.2.4點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場2/4/202336結(jié)論：空間兩點(diǎn)的電位差只與兩點(diǎn)所在位置有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)。例：計算原點(diǎn)處一點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場中AP之間的電位差。解：選取求坐標(biāo)系，點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場所以：o2/4/202337例計算半徑為R，總電荷量為q的均勻帶電球面電場中的電位分布。ORq解用兩種方法來求解。（1）用電位與場強(qiáng)的積分關(guān)系式求解，已知均勻帶電球面在空間激發(fā)的場強(qiáng)沿半徑方向，其大小為并沿半徑方向積分，則P點(diǎn)的電位為當(dāng)r>R時2/4/202338當(dāng)r<R時，由于球內(nèi)外場強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系不同，積分必須分段進(jìn)行，由此可見，一個均勻帶電球面在球外任一點(diǎn)的電位和把全部電荷看作集中于球心的一個點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的電位相同；在球面內(nèi)任一點(diǎn)的電位應(yīng)與球面上的電位相等。故均勻帶電球面及其內(nèi)部是一個等電位的區(qū)域。電位V隨r的變化關(guān)系圖。RrVORrO2/4/202339（2）用場源電荷分布與電位的關(guān)系式求解。電荷面密度為RdPrl由圖可知對上式微分得r>R2/4/202340PrlRd當(dāng)P點(diǎn)在球內(nèi)r<R時RrOVRrORrO2/4/202341結(jié)論：均勻帶電球殼0Rrq>0UqR2/4/202342討論：在真空中,有一電荷為Q,半徑為R的均勻帶電球殼,其電荷是面分布的.試求

(1)球殼外兩點(diǎn)間的電位差;(2)球殼內(nèi)兩點(diǎn)間的電位差;(3)球殼外任意點(diǎn)的電位;(4)球殼內(nèi)任意兩點(diǎn)的電位.OerRABdrrArrBr(a)ORrBAdr(b)2/4/202343解(1)均勻帶電球殼外一點(diǎn)的場強(qiáng)為OerRABdrrArrBr(a)上式表明,均勻帶電球殼外兩點(diǎn)的電位差,與球上電荷全部集中于球心時,兩點(diǎn)的電位差是一樣的.2/4/202344(2)均勻帶電球殼內(nèi)部任意兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度為E=0球殼內(nèi)部任意兩點(diǎn)的電位差為表明,帶電球殼內(nèi)各點(diǎn)的電位均為一等勢體.ORrBAdr(b)2/4/202345(3)若取rB=+時,V=0,表明,均勻帶電球殼外一點(diǎn)的電位與球上電荷集中于球心一點(diǎn)的電位是一樣的.均勻帶電球殼外一點(diǎn)電位為2/4/202346(4)由于帶電球殼為一等勢體,故球殼內(nèi)各處的電位與球殼表面的電位相等,球殼表面的電位為所以球殼內(nèi)各處的電位Vm為由(3)和(4)可得均勻帶電球殼內(nèi)、外電位分布曲線如圖所示.VOR2R3Rr2/4/202347解:如圖(a)所示建立坐標(biāo)系。在環(huán)上取一電荷元dq，其電荷線密度為，故有例

求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電位（電量q

，半徑R）dlyzxxROqPr(a)2/4/202348點(diǎn)電荷的電位VxO(b)疊加2/4/202349例：求半徑為R的均勻帶電圓盤Q軸線上一點(diǎn)的電位

解（1）園環(huán)疊加法：取微元細(xì)園環(huán)r~r+drxRdqrPx0QP13，例題1-62/4/202350(2)小扇形疊加法：取微元小扇形QxRdqrPxOd2/4/202351例：真空中有兩個同心金屬球殼，內(nèi)球殼半徑R1,帶電荷q1，外殼的半徑為R2，殼厚ΔR2，帶電荷q2，求場中各處的電場強(qiáng)度及電位。與課后題1-8，1-9相類似2/4/202352思考：

均勻帶電球體。求：1)球體外兩點(diǎn)的電位差；2)球體內(nèi)兩點(diǎn)的電位差；3)球體外任意點(diǎn)的電位；4)球體內(nèi)任意點(diǎn)的電位。解：1)球體外兩點(diǎn)的電位差2/4/2023533）球體外任意點(diǎn)的電位

2)球體內(nèi)兩點(diǎn)的電位差；2/4/2023544)球體內(nèi)任意點(diǎn)的電位：球表面令球心處電位：2/4/202355電場強(qiáng)度和電勢已知場強(qiáng)可求電勢已知電勢可否求場強(qiáng)？2/4/202356例8-7用電場強(qiáng)度與電位的關(guān)系,求半徑為R的均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度.dlyzxxROqPr(a)2/4/202357解: