高中數(shù)學(xué)北師大版2第二章變化率與導(dǎo)數(shù) 第2章3計(jì)算導(dǎo)數(shù)

§3計(jì)算導(dǎo)數(shù)1.理解導(dǎo)數(shù)的概念.(重點(diǎn))2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.記住基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，并能用它們求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1導(dǎo)函數(shù)的概念閱讀教材P38～P40“練習(xí)”以上部分，完成下列問題.一般地，如果一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f′(x)：f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)，則f′(x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡稱為導(dǎo)數(shù).若函數(shù)f(x)＝(x－1)2，那么f′(x)＝________.【提示】∵f(x)＝x2－2x＋1，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝2x＋Δx－2.故f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx－2)＝2x－2.【答案】2x－2教材整理2導(dǎo)數(shù)公式表閱讀教材P41“習(xí)題2－3”以上部分，完成下列問題.函數(shù)導(dǎo)函數(shù)y＝c(c是常數(shù))y′＝0y＝xα(α是實(shí)數(shù))y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axln_a，特別地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)，特別地(lnx)′＝eq\f(1,x)y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝tanxy′＝eq\f(1,cos2x)y＝cotxy′＝－eq\f(1,sin2x)給出下列命題：①y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，則y′＝－eq\f(2,x3)；③y＝2x，則y′＝2xln2；④y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).其中正確命題的個(gè)數(shù)為()【解析】對于①，y′＝0，故①錯(cuò)誤；顯然②③④正確，故選C.【答案】C[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y＝x12；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝3x；(4)y＝log5x.【精彩點(diǎn)撥】首先觀察函數(shù)解析式是否符合求導(dǎo)形式，若不符合可先將函數(shù)解析式化為基本初等函數(shù)的求導(dǎo)形式.【自主解答】(1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)y′＝(3x)′＝3xln3.(4)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5).1.若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解.2.對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則，避免不必要的運(yùn)算失誤.3.要特別注意“eq\f(1,x)與lnx”，“ax與logax”，“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別.[再練一題]1.若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,則f′(x)－g′(x)＝__________.【導(dǎo)學(xué)號：94210040】【解析】∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝eq\f(1,xln3)，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－eq\f(1,xln3).【答案】3x2－eq\f(1,xln3)利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s＝sint，(1)求質(zhì)點(diǎn)在t＝eq\f(π,3)時(shí)的速度；(2)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度.【精彩點(diǎn)撥】(1)先求s′(t)，再求s′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).(2)加速度是速度v(t)對t的導(dǎo)數(shù)，故先求v(t)，再求導(dǎo).【自主解答】(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).即質(zhì)點(diǎn)在t＝eq\f(π,3)時(shí)的速度為eq\f(1,2).(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1.速度是路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù).2.求函數(shù)在某定點(diǎn)(點(diǎn)在函數(shù)曲線上)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟是：(1)先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；(2)把對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值.[再練一題]2.(1)求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(3,x))在(1，1)處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)f(x)＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))處的導(dǎo)數(shù).【解】(1)∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(′)＝(xeq\s\up12(-\f(1,3)))′＝－eq\f(1,3)xeq\s\up12(-\f(4,3))＝－eq\f(1,3\r(3,x4))，∴f′(1)＝－eq\f(1,3\r(3,1))＝－eq\f(1,3).(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).[探究共研型]導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用探究已知函數(shù)f(x)＝tanx，試求f(x)的圖像在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\r(3)))處的切線方程.【提示】f′(x)＝eq\f(1,cos2x)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝4，即所求切線的斜率為4，故切線方程為y－eq\r(3)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即4x－y＋eq\r(3)－eq\f(4π,3)＝0.(2023·長沙高二檢測)求過曲線f(x)＝cosx上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))且與曲線在這點(diǎn)的切線垂直的直線方程.【精彩點(diǎn)撥】eq\x(求導(dǎo)數(shù)f′（x0）)→eq\x(計(jì)算f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))))→所求直線斜率k＝－eq\f(1,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))))→eq\x(\a\al(利用點(diǎn)斜式寫,出直線方程))【自主解答】因?yàn)閒(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，則曲線f(x)＝cosx在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))的切線斜率為f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以所求直線的斜率為eq\f(2,3)eq\r(3)，所求直線方程為y－eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即y＝eq\f(2,3)eq\r(3)x－eq\f(2\r(3),9)π＋eq\f(1,2).求曲線方程或切線方程時(shí)，應(yīng)注意：(1)切點(diǎn)是曲線與切線的公共點(diǎn)，切點(diǎn)坐標(biāo)既滿足曲線方程也滿足切線方程；(2)曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率；(3)必須明確已知點(diǎn)是不是切點(diǎn)，如果不是，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn).[再練一題]3.已知曲線C：f(x)＝x3－ax＋a，若過曲線C外一點(diǎn)A(1，0)引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為________.【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t3－at＋a).由題意知，f′(x)＝3x2－a，切線的斜率為k＝f′(t)＝3t2－a， ①所以切線方程為y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)·(x－t). ②將點(diǎn)(1，0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝eq\f(3,2).分別將t＝0或t＝eq\f(3,2)代入①式，得k＝－a或k＝eq\f(27,4)－a，由題意得它們互為相反數(shù)得a＝eq\f(27,8).【答案】eq\f(27,8)[構(gòu)建·體系]1.已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，則α等于()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,8) \f(1,4)【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝eq\f(1,4).【答案】D2.給出下列結(jié)論：①若y＝eq\f(1,x3)，則y′＝－eq\f(3,x4)；②若y＝eq\r(3,x)，則y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,x)；③若f(x)＝3x，則f′(1)＝3.其中正確的個(gè)數(shù)是() 【解析】對于①，y′＝eq\f(0－（x3）′,x6)＝eq\f(－3x2,x6)＝eq\f(－3,x4)，正確；對于②，y′＝eq\f(1,3)x＝eq\f(1,3)xeq\s\up12(-\f(2,3))，不正確；對于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正確.【答案】B3.若f(x)＝10x，則f′(1)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：94210041】【解析】f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.【答案】10ln104.曲線f(x)＝eq\f(1,\r(4,x3))在x＝1處的切線的傾斜角的正切值為________.【解析】f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up12(－\f(3,4))))eq\s\up12(′)＝－eq\f(3,4)x，∴f′(1)＝－eq\f(3,4)＝k，∴傾斜角的正切值為－eq\f(3,4).【答案】－eq\f(3,4)5.若質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)＝eq\r(3,t2)(s的單位為m，t的單位為s)，求質(zhì)點(diǎn)P在t＝8s時(shí)的瞬時(shí)速度.【解】∵s′(t)＝(eq\r(3,t2))′＝(teq\s\up8(\f(2,3)))′＝eq\f(2,3)teq\s\up12(-\f(1,3))，∴s′(8)＝eq\f(2,3)×8eq\s\up12(-\f(1,3))＝eq\f(2,3)×2－1＝eq\f(1,3)，∴質(zhì)點(diǎn)P在t＝8s時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\f(1,3)m/s.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測評(九)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.下列結(jié)論正確的是()A.若y＝cosx，則y′＝sinxB.若y＝sinx，則y′＝－cosxC.若y＝eq\f(1,x)，則y′＝－eq\f(1,x2)D.若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(\r(x),2)【解析】∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正確；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正確；∵(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴D不正確.【答案】C2.(2023·濟(jì)南高二檢測)在曲線f(x)＝eq\f(1,x)上切線的傾斜角為eq\f(3,4)π的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1，1) B.(－1，－1)C.(－1，1) D.(1，1)或(－1，－1)【解析】切線的斜率k＝taneq\f(3,4)π＝－1，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1,xeq\o\al(2,0))＝－1，∴x0＝1或－1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)或(－1，－1).故選D.【答案】D3.對任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式為()(x)＝x3 (x)＝x4－2(x)＝x3＋1 (x)＝x4－1【解析】由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4項(xiàng)，然后將x＝1代入選項(xiàng)中驗(yàn)證可得，選B.【答案】B4.(2023·北京高二檢測)已知曲線y＝x3在點(diǎn)(2，8)處的切線方程為y＝kx＋b，則k－b＝() B.－4 D.－28【解析】∵y′＝3x2，∴點(diǎn)(2，8)處的切線斜率k＝f′(2)＝12.∴切線方程為y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.【答案】C5.若f(x)＝sinx，f′(α)＝eq\f(1,2)，則下列α的值中滿足條件的是()【導(dǎo)學(xué)號：94210042】\f(π,3) \f(π,6)\f(2,3)π \f(5,6)π【解析】∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝eq\f(1,2)，∴α＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z).當(dāng)k＝0時(shí)，α＝eq\f(π,3).【答案】A二、填空題6.(2023·菏澤高二檢測)已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝________.【解析】因?yàn)閒(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,x)且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去).故x＝1.【答案】17.直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線f(x)＝lnx(x＞0)的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________.【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)，由題意知eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，得b＝ln2－1.【答案】ln2－18.(2023·南京高二檢測)已知函數(shù)y＝f(x)的圖像在M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】依題意知，f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.【答案】3三、解答題9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y＝xeq\r(x)；(2)y＝eq\r(5,x3)；(3)y＝log2x2－log2x；(4)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4))).【解】(4)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.10.若曲線y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))在點(diǎn)(a，aeq\s\up12(-\f(1,2)))處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，求a的值.【解】y′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up12(-\f(3,2))，所以曲線y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))在點(diǎn)(a，aeq\s\up12(-\f(1,2)))處的切線方程為y－aeq\s\up12(-\f(1,2))＝－eq\f(1,2)aeq\s\up12(-\f(3,2))(x－a).由x＝0得y＝eq\f(3,2)aeq\s\up12(-\f(1,2))，由y＝0得x＝3a，所以eq\f(1,2)·eq\f(3,2)aeq\s\up12(-\f(1,2))·3a＝18，解得a＝64.[能力提升]1.設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2016(x)＝()x B.－sinxx D.－cosx【解析】f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4為最小正周期，故f2016(x)＝f0(x)＝sinx.【答案】A2.已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為()【導(dǎo)學(xué)號：94210043】\f(1,e) B.－eq\f(1,e)C.－e 【解析】y′＝ex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝kx\s\do2(0)，,y0＝ex\s\do2(0)，,