高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 全國(guó)優(yōu)質(zhì)課

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．如圖是一向右傳播的繩波在某一時(shí)刻繩子各點(diǎn)的位置圖，經(jīng)過(guò)eq\f(1,2)周期后，乙的位置將移至()A．x軸上 B．最低點(diǎn)C．最高點(diǎn) D．不確定解析：相鄰的最大值與最小值之間間隔半個(gè)周期，故乙移至最高點(diǎn)．答案：C2．在兩個(gè)彈簧上各掛一個(gè)質(zhì)量分別為M1和M2的小球，它們做上下自由振動(dòng)．已知它們?cè)跁r(shí)間t(s)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由下列兩式確定：s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(π,3))).則在時(shí)間t＝eq\f(2π,3)時(shí)，s1與s2的大小關(guān)系是()A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能確定解析：當(dāng)t＝eq\f(2π,3)時(shí)，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.答案：C3．如圖所示，一個(gè)單擺以O(shè)A為始邊，OB為終邊的角θ(－π＜θ＜π)與時(shí)間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式θ＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，則當(dāng)t＝0時(shí)，角θ的大小及單擺頻率是()\f(1,2)，eq\f(1,π) B．2，eq\f(1,π)\f(1,2)，π D．2，π解析：當(dāng)t＝0時(shí)，θ＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝eq\f(1,2)，由函數(shù)解析式易知單擺周期為eq\f(2π,2)＝π，故單擺頻率為eq\f(1,π)，故選A.答案：A4．(2023·陜西卷)如圖某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()A．5 B．6C．8 D．10解析：由題圖可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋5，∴ymax＝3＋5＝8.答案：C二、填空題(每小題5分，共15分)5．如圖，表示相對(duì)于平均海平面的某海灣的水面高度h(米)在某天0～24時(shí)的變化情況，則水面高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_____________．解析：設(shè)h＝Asin(ωt＋φ)，由圖象知A＝6，T＝12，∴eq\f(2π,ω)＝12，得ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6).點(diǎn)(6，0)為“五點(diǎn)法”中的第五點(diǎn)(或第一點(diǎn))．答案：h＝－6sineq\f(π,6)t(0≤t≤24)6．如圖某地夏天從8～14時(shí)用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)這一天的最大用電量為_(kāi)_______萬(wàn)度，最小用電量為_(kāi)_______萬(wàn)度；(2)這段曲線的函數(shù)解析式為_(kāi)_______．解析：(1)由圖知這一天的最大用電量為50萬(wàn)度，最小用電量為30萬(wàn)度．(2)由圖知，b＝40，A＝10，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,2·（14－8）)＝eq\f(π,6)，∴y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋40.又x＝8時(shí)，y＝30，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，∴φ＝eq\f(π,6).答案：(1)5030(2)y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))＋40，x∈[8，14]7．已知某游樂(lè)園內(nèi)摩天輪的中心O點(diǎn)距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，摩天輪上的一點(diǎn)P自最低點(diǎn)A點(diǎn)起，經(jīng)過(guò)tmin后，點(diǎn)P的高度h＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋50(單位：m)，那么在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過(guò)程中，點(diǎn)P的高度在距地面70m以上的時(shí)間將持續(xù)________min.解析：依題意，得40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋50≥70，即coseq\f(π,6)t≤－eq\f(1,2)，從而在一個(gè)周期(假設(shè)在第一個(gè)周期)內(nèi)，eq\f(2π,3)≤eq\f(π,6)t≤eq\f(4π,3)，∴4≤t≤8，即摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過(guò)程中，點(diǎn)P的高度在距地面70m以上的時(shí)間將持續(xù)4min.答案：4三、解答題(每小題10分，共20分)8．彈簧上掛的小球上下振動(dòng)時(shí)，小球離開(kāi)平衡位置的距離s(cm)隨時(shí)間t(s)的變化曲線是一個(gè)三角函數(shù)曲線，其圖象如圖所示．(1)求這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)小球在開(kāi)始振動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移是多少？解析：(1)設(shè)這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝Asin(ωt＋φ)．由圖象可知：A＝4，周期T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π，所以ω＝eq\f(2π,π)＝2，此時(shí)所求函數(shù)的解析式為s＝4sin(2t＋φ)．以點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，4))為“五點(diǎn)法”作圖的第二關(guān)鍵點(diǎn)，則有2×eq\f(π,12)＋φ＝eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3).得函數(shù)解析式為s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3))).(2)當(dāng)t＝0時(shí)，s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×0＋\f(π,3)))＝4sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(cm)，所以小球在開(kāi)始振動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移是2eq\r(3)cm.9．某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化．(1)求出種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式；(2)畫(huà)出種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t變化的草圖．(其中t以年初以來(lái)經(jīng)過(guò)的月份數(shù)為計(jì)量單位)解析：(1)設(shè)表示該曲線的函數(shù)為y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)．由已知平均數(shù)為800，最高數(shù)與最低數(shù)差為200，數(shù)量變化周期為12個(gè)月，故振幅A＝eq\f(200,2)＝100，ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)