高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 第一節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算

課時(shí)作業(yè)(二十九)平面向量的概念及線性運(yùn)算一、單項(xiàng)選擇題1．下列結(jié)論正確的是()A．若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同B．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上D．若a∥b，則?λ∈R，使a＝λbB[對(duì)于A，若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同或相反，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，延長AD至E，使AD＝DE，連接CE，BE，則四邊形ABEC是平行四邊形，如圖，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，B正確；對(duì)于C，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，但A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上，如平行四邊形的對(duì)邊是共線向量，但四點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)b＝0時(shí)，滿足a∥b，但不一定存在λ∈R，使a＝λb，D錯(cuò)誤．]2.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若向量λa＋b與c共線，則實(shí)數(shù)λ＝()A．－2 B．－1C．1 D．2D由題中所給圖象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以eq\a\vs4\al(λ)＝2，故選D.]3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則下列一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB[因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線．]4．設(shè)a，b是非零向量，則a＝2b是eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＝eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))成立的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不心要條件B[由a＝2b可知，a，b方向相同，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))，eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))表示a，b方向上的單位向量，所以eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))＝eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))成立；反之不成立．故選B.]5(2023·湖南省冷水江市校級(jí)期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0A[根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，故A正確；eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，故B錯(cuò)誤；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，所以C錯(cuò)誤；eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，所以D錯(cuò)誤．故選A．]6.(2023·長沙市四校模擬考試)如圖，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(5,6)bC．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)bD[法一：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，因?yàn)锽C＝2AD，所以AD＝CF，又AD∥CF，所以四邊形ADCF為平行四邊形，則AF∥CD，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).因?yàn)镈E＝EC，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FA,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BF,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b，故選D.法二：如圖，連接BD，因?yàn)镈E＝EC，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(3,4)b，故選D.]7．已知O，A，B三點(diǎn)不共線，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，則()A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段AB的延長線上C．點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上D．點(diǎn)P在射線AB上D[由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\o(AB,\s\up6(→))，所以點(diǎn)P在射線AB上，故選D項(xiàng)．]8．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△PAB∶S△ABC為()A．1∶2 B．1∶3C．1∶5 D．1∶6D[法一：如圖(1)，延長PA至A′，使PA′＝3PA，延長PB至B′，使PB′＝2PB，連接A′B′，A′C，B′C，則eq\o(PA′,\s\up6(→))＋eq\o(PB′,\s\up6(→))＋eq\o(PC′,\s\up6(→))＝0.∴P是△A′B′C′的重心，∴S△PA′C＝S△PB′C＝S△PA′B′，設(shè)S△PA′C＝S△PB′C＝S△PA′B′＝S.∵eq\f(S△PA′B,S△PAB)＝eq\f(\f(1,2)PA′·PB′·sin∠A′PB′,\f(1,2)PA·PB·sin∠APB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)＝6，∴S△PAB＝eq\f(1,6)S△PA′B′＝eq\f(1,6)S.同理可得S△PBC＝eq\f(1,2)S，S△PAC＝eq\f(1,3)S，∴S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＝eq\f(1,6)S＋eq\f(1,2)S＋eq\f(1,3)S＝S.∴S△PAB∶S△ABC＝eq\f(1,6)S∶S＝1∶6.故選D.法二：如圖(2)，設(shè)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)．∵3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴2(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))，故點(diǎn)P在DE上，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→)).∵3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝－3(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3×2eq\o(PD,\s\up6(→))＝－6eq\o(PD,\s\up6(→))，∴點(diǎn)P到AB的距離等于點(diǎn)C到AB的距離的eq\f(1,6)，故S△PAB∶S△ABC＝1∶6.故選D.]二、多選項(xiàng)擇題9．下列命題中不正確的是()A．兩個(gè)有共同始點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同B．若非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A，B，C，D四點(diǎn)共線C．若非零向量a與b共線，則a＝bD．四邊形ABCD是平行四邊形，則必有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|ABC[對(duì)于A，相等向量的始點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也一定相同，所以A不正確；對(duì)于B，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，只能說明eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線平行或在同一條直線上，所以B不正確；對(duì)于C，非零向量a與b共線，則a與b的方向相同或相反，但a與b不一定相等，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，所以D正確．故選ABC.]10．設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊BC的延長線上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)ACD[若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).則點(diǎn)M在邊CB的延長線上，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C項(xiàng)正確；如圖，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，則M為AN的中點(diǎn)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)，故D項(xiàng)正確．故選ACD項(xiàng)．]11．已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段OA的中點(diǎn)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,5)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)) D．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))AC[如圖所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)BA＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).故選AC項(xiàng)．]12．(2023·山東泰安期末)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，點(diǎn)F為邊AE的中點(diǎn)，則()A．eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))B．eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))ABC[∵AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，∴由向量加法的三角形法則，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴A正確；∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).又點(diǎn)F為邊AE的中點(diǎn)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴B正確；∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴C正確；∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋AD，∴eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴D錯(cuò)誤．故選ABC.]三、填空題13．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝2，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝________．解析：因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．已知e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點(diǎn)共線，則λ＝________．解析：因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k使得eq\o(MN,\s\up6