高中數(shù)學(xué)人教B版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試 省獲獎(jiǎng)

1.3第三課時(shí)函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）了解函數(shù)最值的意義，了解最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系.（2）會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）.2．基礎(chǔ)預(yù)探(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在上最大值與最小值．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的基本步驟設(shè)函數(shù)在在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間上圖象是的，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：①求在內(nèi)的；②將的各極值與比較，得出函數(shù)在上的最值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)對(duì)于函數(shù)的最值問題，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：1.依據(jù)最值的含義,在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，在上,既有最大值又有最小值．2.在開區(qū)間內(nèi)圖象連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值.3.函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；而函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．4.函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．如函數(shù)在上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其圖象卻不是連續(xù)不斷的,如圖所示.5.函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能一個(gè)沒有.6.若函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值，則必為最值.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上遞增，則，；若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上遞減，則，.三、典例導(dǎo)析題型一用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例1已知a為實(shí)數(shù)，,若，求在[－2,2]上的最大值和最小值.思路導(dǎo)析：先求導(dǎo),再由求實(shí)數(shù)a.令,求極值點(diǎn)和極值,最后比較大小求最值.解:由原式得∴由得,此時(shí)有.由得或x=－1.當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表-遞增極大值遞減極小值遞增所以f(x)在[－2,2]上的最大值為最小值為規(guī)律總結(jié)：事實(shí)上,用導(dǎo)數(shù)求一些非基本初等函數(shù)的最值問題,是求函數(shù)極值的進(jìn)一步深入.當(dāng)求得函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上的極值后,再與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行大小比較,即可求得最值,所以其關(guān)鍵步驟,還是求函數(shù)極值.變式訓(xùn)練1設(shè)函數(shù).試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.題型二由函數(shù)最值求參數(shù)的取值或取值范圍例2已知函數(shù)，其中．若函數(shù)在處取得最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．思路導(dǎo)析:求實(shí)數(shù)的取值范圍,一般需要找到關(guān)于的等價(jià)不等式,通過解不等式,得到的范圍.依據(jù)函數(shù)的特點(diǎn),判斷函數(shù)取得最值的可能時(shí)刻,并求出可能的表達(dá)式,最后依據(jù)最值的意義得不等式,解不等式得解.解:由題意知,.則.令，即.①由于，可設(shè)方程①的兩個(gè)根為，，由①得.由于所以，不妨設(shè)，．當(dāng)時(shí),為極小值,所以在區(qū)間上,在或處取得最大值；當(dāng)≥時(shí)，由于在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為.綜上，函數(shù)只能在或處取得最大值．又已知在處取得最大值，所以≥,即≥，解得≤，又因?yàn)?，所以（］．?guī)律總結(jié):上述問題中,判斷取得最值的時(shí)刻,用參數(shù)a表示可能的最值，是解決該類問題的關(guān)鍵.等價(jià)轉(zhuǎn)化是主要解題過程.變式訓(xùn)練2已知函數(shù)在內(nèi)有最小值.(1)求的取值范圍;(2)函數(shù)在內(nèi)能否有最大值？若能,求出的取值范圍,若沒有,說明理由.題型三實(shí)際問題中的函數(shù)最值例3為倡導(dǎo)環(huán)保低碳生活,同時(shí)增加企業(yè)利潤(rùn),某低碳科技企業(yè)擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷,在2023年內(nèi),預(yù)計(jì)年銷量(萬件)與廣告費(fèi)(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為,已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投人為3萬元，每生產(chǎn)l萬件此產(chǎn)品需再投入32萬元．若每件售價(jià)為“年平均每件成本的150％”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50％”之和.年利潤(rùn)=年收入―年成本―年廣告費(fèi).(1)試將年利潤(rùn)(萬元)表示為年廣告費(fèi)(萬元)的函數(shù).(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí),企業(yè)年利潤(rùn)最大?思路導(dǎo)析:依據(jù)題設(shè)要求,將年利潤(rùn)(萬元)表示為年廣告費(fèi)(萬元)的函數(shù),判斷該函數(shù)的極值,并求最值,回答實(shí)際問題.解：(1)由題意，每年產(chǎn)銷萬件,共計(jì)成本為萬元,銷售收入是.．故所求的函數(shù)關(guān)系式為.(2)由(1)可得：,令，則或(舍去).又，．又在上只有一個(gè)極值點(diǎn)，．所以每年廣告費(fèi)投入7萬元時(shí),企業(yè)年利潤(rùn)最大．規(guī)律總結(jié):依題意建立目標(biāo)函數(shù),是解決該類問題的關(guān)鍵步驟.當(dāng)該目標(biāo)函數(shù)為簡(jiǎn)單非基本初等函數(shù)時(shí),一般通過求導(dǎo)研究該函數(shù)的性質(zhì),判斷取得最值的時(shí)刻,求得最值.在實(shí)際問題中,若只有一個(gè)極值點(diǎn),則該極值點(diǎn)為最值點(diǎn).變式練習(xí)3制作一個(gè)圓柱形鍋爐,容積為兩個(gè)底面的材料每單位面積的價(jià)格為元，側(cè)面的材料每單位面積價(jià)格為元,當(dāng)造價(jià)最低時(shí),鍋爐底面半徑與鍋爐高的比是（）A.B.C.D.四、隨堂練習(xí)1．下列說法中正確的是（）A.函數(shù)若在定義域內(nèi)有最值和極值,則其極大值便是最大值,極小值便是最小值B.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值,也一定有極值C.若函數(shù)在其定義域上有最值,則一定有極值;反之,若有極值,則一定有最值D.若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,則最多有一個(gè)最大值,一個(gè)最小值,但若有極值,則可能有多個(gè)極值2．在區(qū)間上的最大值為，則=（）A. B. C. D.或3.已知函數(shù)(為常數(shù)）在有最大值，那么此函數(shù)在上的最小值是（）A.B.C.D.以上都不對(duì)4.函數(shù)的最大值是.5.函數(shù)的值域?yàn)?6.已知函數(shù)．求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；五、課后作業(yè)1．已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值,則函數(shù)在區(qū)間上一定（）A．有最小值 B．有最大值 C．是減函數(shù)D．是增函數(shù)2．電動(dòng)自行車已逐漸成為重要的交通工具之一.電動(dòng)自行車的耗電量y與速度(公里)之間有如下關(guān)系：,為使耗電量最小,則速度應(yīng)定為每小時(shí)()公里?A.10B.15C.20D.253.設(shè)函數(shù),則在區(qū)間的最小值為．4.將8分為兩數(shù)之和,使兩個(gè)數(shù)的立方和為最小,則分成的兩數(shù)為.A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不對(duì)5.將一段長(zhǎng)為100cm的鐵絲截成兩段,一段彎成圓,一段變成正方形．問如何截法使正方形與圓面積之和最小,并求出最小面積．6.已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若對(duì)所有都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1.3第三課時(shí)函數(shù)的最大(小)值答案及解析一、2.基礎(chǔ)預(yù)探(1)必有;(2)連續(xù)不斷;極值;、.三、變式練習(xí)1.解:函數(shù)的定義域?yàn)?對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得:，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,.2.解:.令在內(nèi)有解,即.(1)由題意知,即,而且當(dāng)時(shí),,時(shí),,所以當(dāng)時(shí),在內(nèi)取極小值且唯一,故為最小值,因此的取值范圍為.(2)由(1)可知,如果在內(nèi)有解,只可能是,而且在兩側(cè)的符號(hào)只能是左負(fù)右正,不具備取極大值的條件,所以函數(shù)在內(nèi)沒有最大值.3.答案:C.解析：設(shè)鍋爐底面半徑和高分別為,則,總造價(jià),,得即時(shí)取極大值,即最大值.故選C.四、隨堂練習(xí)1．答案:D.解析：根據(jù)函數(shù)極值和最值的定義知,函數(shù)在給定區(qū)間上有最值,最多有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,但極值可以有多個(gè),故選D.2.答案:C.解析：在上的最大值為，且在時(shí)，，解之或（舍去），選C3.答案：A.解析:,解得或(舍去)，為極大值點(diǎn)且唯一,為最大值點(diǎn).所以.,故最小值為.故選A.4.答案:.解析：,因此,當(dāng)時(shí),.5.答案:.解析:,解得,可判斷為極大值點(diǎn),當(dāng)時(shí),,所以值域?yàn)?6.解：由，可得．當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．五、課后作業(yè)1.答案D.解析:由題設(shè)知,,因?yàn)椋?,所以在遞增.2.答案:C.解析:,解得,此時(shí)取極小值且唯一,即最小值,所以電動(dòng)自行車的速度應(yīng)定為公里/小時(shí).3.答案:.解析：,,可以判斷為極小值點(diǎn)且唯一,即最小值點(diǎn).最小值為.4.答案:4和4.解析：設(shè)其中一數(shù)為，則另一數(shù)為,兩數(shù)的立方和為.,當(dāng)時(shí),取極小值且唯一,即最小值,所以分成的兩數(shù)為4和4.5.解：設(shè)彎成圓的一段長(zhǎng)為cm,另一段長(zhǎng)為cm，設(shè)正方形與圓的面積之和為，則．所以，令