概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七章

第七章統(tǒng)計推斷的基本問題

數(shù)理統(tǒng)計研究用隨機(jī)抽樣方法，從總體獲取樣本，并從樣本推斷總體的性質(zhì)。本章討論統(tǒng)計推斷的方法。統(tǒng)計推斷的主要方法是歸納推理，利用它可以得到結(jié)論“不確定性的描述”，而對不確定程度要作出表述，就必須要用到概率的概念。當(dāng)然，統(tǒng)計推斷方法若不用于現(xiàn)實(shí)世界，就將失去意義，而只能作為一種推理練習(xí)。因而，本章常用結(jié)合所討論的實(shí)例來介紹統(tǒng)計推斷的做法。統(tǒng)計推斷的問題有很多，本章只是討論最基本的參數(shù)估計和假設(shè)檢驗(yàn)兩類問題。第一節(jié)點(diǎn)估計7.1.1點(diǎn)估計概念7.1.2矩估計法返回最大似然估計法7.1.3點(diǎn)估計的優(yōu)良性1、估計量2、估計值7.1.1點(diǎn)估計概念設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù),為總體的一個樣本.用這個樣本構(gòu)造的統(tǒng)計量來估計,則稱為估計量.用樣本的一組觀察值得到估計量的值則稱為的估計值.為方便起見，估計量與估計值不加區(qū)別，統(tǒng)稱為估計。3、點(diǎn)估計用構(gòu)造一個統(tǒng)計量對參數(shù)作定值的估計稱為參數(shù)的點(diǎn)估計。7.1.2.1矩估計法1、原理設(shè)X為總體，為樣本，為樣本均值，則根據(jù)大數(shù)定律，有：即當(dāng)n很大時，樣本均值就很接近于總體均值。因此，當(dāng)n很大時，用樣本均值來估計總體均值是比較合理的。此依據(jù)推而廣之：用樣本的k階中心矩來估計總體k階中心矩。即用來估計。矩估計法2、矩法估計的步驟:(1)列出矩估計式.求總體的前k階矩(2)解上述方程組.將未知參數(shù)表示為的函數(shù)(3)求出矩估計.即用樣本矩代替總體相應(yīng)的矩得到未知參數(shù)的矩估計為解（1）列出矩估計式（2）求解方程組得（3）求出矩估計用分別代替即得矩估計：例1求總體X的均值EX與方差DX的矩估計.例2求總體X的服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的未知參數(shù)矩估計.解（1）列出矩估計式（2）求解方程得（3）求出矩估計例3

設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為是取自的X的一個樣本.（1）求的矩估計量;（2）求的方差.解（1）列出矩估計式求解方程得:例3設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為是取自的X的一個樣本.（1）求的矩估計量;（2）求的方差.解（2）7.1.2.2最大似然估計法設(shè)是取自總體X的一個樣本觀察值,分布函數(shù)為如果當(dāng)未知參數(shù)取時,被取到的概率最大,則稱為的最大似然估計.1、最大似然估計的原理設(shè)總體X的概率分布為稱為似然函數(shù)則樣本的聯(lián)合概率分布為即使達(dá)到最大的即為的最大似然估計.2、離散型:3、連續(xù)型：設(shè)總體X的密度函數(shù)為是待估計參數(shù)。是取自X的一個樣本。則的聯(lián)合密度函數(shù)為稱為似然函數(shù)

即使達(dá)到最大的即為的最大似然估計.3、連續(xù)型：使達(dá)到最大的即為的最大似然估計.2、離散型:4、估計步驟：a.寫出似然函數(shù)b.求出使達(dá)到最大的c.用作為的估計量，的函數(shù)作為的同一函數(shù)的估計量。用5、解題具體步驟：a.寫出似然函數(shù)b.求對數(shù)似然函數(shù)c.求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)等于0d.解上述方程組。即為的最大似然估計。其唯一解例1離散型隨機(jī)變量X服從分布，從X中抽得容量為n的樣本的一組觀察值求參數(shù)p的最大似然估計，其中解（a）（b）（c）（d）例2求總體X的服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的最大似然估計.解（a）（b）（c）（d）例3求總體，求與的最大似然估計.解（a）（b）（c）（d）例4設(shè)總體為取自總體的一個樣本觀察值，求未知參數(shù)的最大似然估計。解從這個例子我們還看到最大似然估計不一定能由似然函數(shù)解得，因?yàn)樗迫缓瘮?shù)對未知參數(shù)可能是單調(diào)函數(shù)或者不可微.例5

設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為其中是未知參數(shù)。又設(shè)是X的一組樣本觀測值。求參數(shù)的最大似然估計值.解例6

設(shè)總體X的概率分布為其中是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值求的矩估計值和最大似然估計值。解(1)矩估計例6

設(shè)總體X的概率分布為其中是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值求的矩估計值和最大似然估計值。解(1)最大似然估計例7

設(shè)總體X的概率密度為為來自X的簡單其中是未知參數(shù)，簡單隨機(jī)樣本，記N為樣本值中小于1的個數(shù)，求的最大似然估計。解例8

設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為其中是未知參數(shù)。是取自X的一個樣本。分別用矩法估計和最大似然估計法求的估計量.解（1）列出矩估計式例8

設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為其中是未知參數(shù)。是取自X的一個樣本。分別用矩法估計和最大似然估計法求的估計量.解(2)7.1.3點(diǎn)估計的評選標(biāo)準(zhǔn)7.1.3.1無偏性7.1.3.2有效性7.1.3.3一致性返回7.1.3.1無偏性設(shè)是參數(shù)的估計量,若則稱是的無偏估計.例1證明樣本均值與樣本方差分別是總體均值與總體方差的無偏估計.證明：例2設(shè)總體為簡單隨機(jī)樣本,則的無偏估計量為（A）（B）（C）（D）解：例3設(shè)是正態(tài)總體的一個樣本。求適當(dāng)?shù)某?shù)c，使得為的無偏估計。解：7.1.3.2有效性設(shè)與都是的無偏估計,若對任意樣本容量n,都有則稱較有效.例1設(shè)總體X的期望為，方差為，分別抽取容量為的兩滿足的常數(shù)，則就是的無偏估計，個獨(dú)立樣本，為兩個樣本的均值，試證：如果a,b是并確定a,b,使DY最小。解：7.1.3.3一致性設(shè)是參數(shù)的估計量,當(dāng)時,依概率收斂于,即對任意,有則稱是的相合估計量或一致估計量.1、樣本均值和樣本方差分別是是總體期望和方差的無偏估計.一些重要結(jié)論2、樣本的任意k階原點(diǎn)矩均是對應(yīng)的總體k階原點(diǎn)矩的一致估計.3、若為的無偏估計,且,則為的一致估計。4、若為的矩估計,為連續(xù)函數(shù),則為的矩估計.5、若為的最大似然估計,為單調(diào)增函數(shù),則為的最大似然估計.第二節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計返回7.3.1基本概念7.3.2單個正態(tài)總體的區(qū)間估計7.3.3兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計7.3.1基本概念1、置信區(qū)間與置信度設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)，若與為由樣本所確定的兩個統(tǒng)計量，若對給定的常數(shù)有則稱為參數(shù)的置信度(置信水平)為的置信區(qū)間。置信下限置信上限假設(shè)總體X服從正態(tài)分布7.3.2單個正態(tài)總體的區(qū)間估計是樣本.考慮下面幾種區(qū)間估計:（1）已知，求的置信區(qū)間（2）未知，求的置信區(qū)間（3）已知，求的置信區(qū)間（4）未知，求的置信區(qū)間易知取統(tǒng)計量則有對給定的置信度,使即從而有即的置信度為的置信區(qū)間為7.3.2.1已知，求的置信區(qū)間例1已知某廠生產(chǎn)的滾珠直徑，從某天生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取6個，測得直徑為（單位：mm)求的置信概率為0.95的置信區(qū)間。解：例2（03）已知一批零件的長度x（單位：cm）服從正態(tài)分布從中隨機(jī)地抽取16個零件，得到長度的平均值為40的置信區(qū)間是

。（cm），則的置信度為0.95（注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值）解：7.3.2.2未知，求的置信區(qū)間取統(tǒng)計量對給定的置信度,使即從而有即的置信度為的置信區(qū)間為例1設(shè)總體X的樣本方差為1，據(jù)來自X的容量為100的簡單隨機(jī)樣本，測得均值為5，則X的期望的置信度近似等于0.95的置信區(qū)間為

。解：7.3.2.2未知，求的置信區(qū)間7.3.2.1已知，求的置信區(qū)間

取統(tǒng)計量對給定的置信度,使從而得到的置信度其中

7.3.2.3已知，求的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為例1已知某廠生產(chǎn)的零件，從某天生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取4個，得樣本觀察值求的置信概率為0.95的置信區(qū)間。解：取統(tǒng)計量對給定的置信度,使其中7.3.2.4未知，求的置信區(qū)間從而得到的置信度為的置信區(qū)間為7.3.2.3已知，求的置信區(qū)間7.3.2.4未知，求的置信區(qū)間例1已知某廠生產(chǎn)的零件，從某天生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取4個，得樣本觀察值求的置信概率為0.95的置信區(qū)間。解：7.3.3兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計已知兩個相互獨(dú)立正態(tài)總體考慮下面幾種區(qū)間估計:分別為其樣本。與（1）已知，求的置信區(qū)間（2）未知，求的置信區(qū)間（3）已知，求的置信區(qū)間（4）未知，求的置信區(qū)間7.3.3.1已知，求的置信區(qū)間取統(tǒng)計量對給定的置信度,使從而得到的置信度為的置信區(qū)間為[P176定理8]例1設(shè)兩總體X,Y相互獨(dú)立,且從X,Y中分別抽取容量為的樣本，且算得求的95%的置信區(qū)間.解：7.3.3.2未知，求的置信區(qū)間取統(tǒng)計量對給定的置信度,使從而得到的置信度為的置信區(qū)間為[P177定理9]7.3.3.1已知，求的置信區(qū)間7.3.3.2未知，求的置信區(qū)間取統(tǒng)計量對給定的置信度,使從而得到的置信度為的置信區(qū)間為，其中7.3.3.3已知，求的置信區(qū)間取統(tǒng)計量對給定的置信度,使從而得到的置信度為的置信區(qū)間為，其中7.3.3.4未知，求的置信區(qū)間[P177定理9]第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)8.1.1假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法8.1.2兩類錯誤8.1.3假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟返回8.1.1假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法2、原理（1）提出假設(shè)（2）在假設(shè)成立的條件下，構(gòu)造一個小概率事件A，小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中是不太會發(fā)生的。（3）根據(jù)樣本值判斷：若在這一次試驗(yàn)中小概率事件A發(fā)生了，則拒絕假設(shè)若在這一次試驗(yàn)中小概率事件A未發(fā)生，則接受假設(shè)1、原假設(shè)與備擇假設(shè)3、接受域與拒絕域小概率拒絕域：

R樣本點(diǎn)落入R：拒絕接受域：樣本點(diǎn)落入

：接受第一類錯誤：棄真正確，但拒絕了它。不正確，但接受了它。第二類錯誤：采偽犯第一類錯誤的概率：顯著性水平8.1.2兩類錯誤（1）提出假設(shè)（2）找統(tǒng)計量；（3）求臨界值；對給定的顯著性水平，構(gòu)造拒絕域，求出臨界值；（4）求觀察值根據(jù)給定的樣本計算出統(tǒng)計量的觀察值；（5）作出判斷統(tǒng)計量的觀察值落入拒絕域，則拒絕；否則接受。8.1.３假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟要求：在下的分布知道①②④③⑤第二節(jié)單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)返回8.2.1已知方差，檢驗(yàn)8.2.2未知方差，檢驗(yàn)8.2.3已知期望，檢驗(yàn)8.2.4未知期望，檢驗(yàn)假設(shè)總體X服從正態(tài)分布是樣本.考慮下面四種情況:8.2.1已知方差，檢驗(yàn)8.2.2未知方差，檢驗(yàn)8.2.3已知期望，檢驗(yàn)8.2.4未知期望，檢驗(yàn)步驟提出假設(shè)：找統(tǒng)計量：求臨界值：求觀察值：作出判斷：①②④③⑤查表得則拒絕若則接受8.2.1已知方差，檢驗(yàn)例某磚廠生產(chǎn)的磚其抗拉強(qiáng)度X服從正態(tài)分布,今從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6塊，測得其平均抗拉強(qiáng)度為31.13.試檢驗(yàn)這批磚的平均抗拉強(qiáng)度為32.5是否成立,取顯著性水平解:提出原假設(shè)找統(tǒng)計量在成立的條件下構(gòu)造拒絕域查表得備擇假設(shè)：使得由樣本值算得拒絕臨界值①②③④⑤步驟提出假設(shè)：找統(tǒng)計量：求臨界值：求觀察值：作出判斷：①②④③⑤查表得則拒絕若則接受8.2.2未知方差，檢驗(yàn)例21用熱敏電阻測溫儀間接測量地?zé)峥碧骄诇囟?設(shè)測量值今重復(fù)測量7次，測得溫度如下：112.0，113.4，111.2，112.0，114.5，112.9，113.6解:提出原假設(shè)找統(tǒng)計量在成立的條件下構(gòu)造拒絕域查表得備擇假設(shè)：使得由樣本值算得臨界值①②③④⑤而用某種精確方法測量溫度的真值現(xiàn)問用熱敏電阻測溫儀間接測量溫度有無系統(tǒng)偏差？設(shè)顯著水平接受步驟提出假設(shè)：找統(tǒng)計量：求臨界值：求觀察值：作出判斷：①②④③⑤若則拒絕若則接受接受域8.2.3已知期望，檢驗(yàn)例22某滌綸廠生產(chǎn)滌綸的纖度，在正常生產(chǎn)的條件下，服從正某日隨機(jī)地抽取5根纖維，測得纖度為：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44解:提出原假設(shè)找統(tǒng)計量,在成立的條件下求臨界值備擇假設(shè)：由樣本值算得觀察值①②③④⑤問這一天滌綸纖度總體X的方差是否正常？拒絕態(tài)分布步驟提出假設(shè)：找統(tǒng)計量：求臨界值：求觀察值：作出判斷：①②④③⑤若則拒絕若則接受接受域8.2.4未知期望，檢驗(yàn)例23某滌綸廠生產(chǎn)滌綸的纖度，在正常生產(chǎn)的條件下，服從正某日隨機(jī)地抽取5根纖維，測得纖度為：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44解:提出原假設(shè)找統(tǒng)計量,在成立的條件下求臨界值備擇假設(shè)：求觀察值①②③④⑤問這一天滌綸纖度總體X的方差是否正常？拒絕態(tài)分布第三節(jié)兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)返回8.3.3已知,檢驗(yàn)8.3.1已知,檢驗(yàn)8.3.2未知,檢驗(yàn)8.3.4未知,檢驗(yàn)已知兩個相互獨(dú)立正態(tài)總體考慮下面四種情況:分別為其樣本。與8.3.3已知,檢驗(yàn)8.3.1已知,檢驗(yàn)8.3.2未知,檢驗(yàn)8.3.4未知,檢驗(yàn)8.3.1已知,檢驗(yàn)步驟提出假設(shè)：找統(tǒng)計量：求臨界值：求觀察值：作出判斷：①②④③⑤查表得若則拒絕若則接受例24設(shè)甲、乙兩廠生產(chǎn)的燈泡,其壽命和分別服從現(xiàn)從兩廠生產(chǎn)