高中數(shù)學(xué)人教A版第三章不等式單元測(cè)試 微課

第一課時(shí)理解、證明基本不等式一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）理解兩個(gè)不等式的證明和區(qū)別，并會(huì)證明基本不等式.（2）理解“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵2.基礎(chǔ)預(yù)探（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）對(duì)于任意，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（3）我們把叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，把叫正數(shù)的幾何平均數(shù).（4）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（5）由知，兩個(gè)正數(shù)的不大于它們的.（6）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.二、基本知識(shí)習(xí)題化1．已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（）Ａ．a(chǎn)2+b2Ｂ．２Ｃ．2bＤ．+b2．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x＜0)，則f(x)有()A．最大值為0B．最小值為0C．最大值為－4D．最小值為－43．若正數(shù)a、b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝2，則ab的最小值為________．4.當(dāng)時(shí)，當(dāng)，取得最小值為.三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1．重要不等式：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)）幾點(diǎn)說明:(1)不等式中的a、b是任意實(shí)數(shù)，它們既可以是具體的某個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式.(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.（3）取等的條件是a=b，如果a,b不能相等，則中的等號(hào)不能成立.(4)重要不等式可變形為：，，等.2.基本不等式（1）定義：（a>0，b>0）稱為基本不等式，其中稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a,b的幾何平均數(shù)．因而，這一基本不等式又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．（2）證明：除課本集合證明法之外，還有以下代數(shù)證明法：證法1：可以將基本不等式看作是重要不等式的推論.由基本不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.證法2：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“”.證法3：要證，只要證，只要證，只要證.因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以成立，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“”.證法4：對(duì)于正數(shù)有（3）幾點(diǎn)說明：=1\*GB3①基本不等式成立的條件是：.=2\*GB3②不等式證明中有三種重要方法：比較法（證法2）、分析法（證法3）、綜合法（證法4）.=3\*GB3③如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).=4\*GB3④在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).上述結(jié)論可推廣至3個(gè)或三個(gè)以上正數(shù).=5\*GB3⑤成立的條件是不同的：前者只要求,都是實(shí)數(shù)，而后者要求,都是正數(shù).=6\*GB3⑥當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”的含義：一方面是當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即；另一方面是僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即.=7\*GB3⑦基本不等式是非常重要又極為有用的不等式，它與不等式的性質(zhì)構(gòu)成了本章的公理體系，奠定了不等式的理論基礎(chǔ).3.常見結(jié)論及證明:事實(shí)上當(dāng)、時(shí)，有：①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.②.③,④，⑤，則四．典例導(dǎo)析題型一利用基本不等式比較大小例1.如果，那么的大小順序?yàn)?思路導(dǎo)析：根據(jù)式子的具體特點(diǎn)，我們要先把化為以為底的對(duì)數(shù)，再比較真數(shù)的大小，最后根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)來判定的大小.解：.而，又因?yàn)闉闇p函數(shù)，故.規(guī)律總結(jié)：利用基本不等式比較大小的方法對(duì)于給定的對(duì)數(shù)式進(jìn)行準(zhǔn)確地化簡(jiǎn).比較各真數(shù)的大小是解決此類問題的關(guān)鍵，可借助基本不等式的性質(zhì)和比較法來完成.最后再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷大小.變式訓(xùn)練1：已知且，又，則的大小關(guān)系是.題型二重要不等式的證明例2.求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.思路導(dǎo)析：可以使用重要不等式，左右兩邊同時(shí)乘以2就行；或者使用作差法.證明：由基本不等式1，得，，，把上述三個(gè)式子的兩邊分別相加，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.另證：.即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.規(guī)律總結(jié)：(1)平方和與積同時(shí)存在的時(shí)候，注意不等式的巧妙應(yīng)用.(2)當(dāng)一邊或兩邊是三個(gè)式子相加的或相乘的時(shí)候，常常要兩兩結(jié)合，再用同向不等式相加或相乘；(3)多次用基本不等式，必須保證每次用時(shí)等號(hào)都成立，最終等號(hào)才成立.變式訓(xùn)練2：已知,求證:.題型三基本不等式的證明例3.設(shè)都正數(shù)，求證：思路導(dǎo)析：不等式左邊可以兩兩運(yùn)用均值不等式，得到不等式右邊.證明：∴∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).規(guī)律總結(jié)：（1）所證不等式有一邊或兩邊是三個(gè)式子相加或相乘時(shí)，通常要兩兩結(jié)合用基本不等式，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)證明.（2）多次用基本不等式必須保證每次用時(shí)等號(hào)都能取到，最終等號(hào)才能成立.五．隨堂練習(xí)1．在下列函數(shù)中，當(dāng)x取正數(shù)時(shí)，最小值為2的是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝lgx＋eq\f(1,lgx)C．y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))D．y＝x2－2x＋32．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.6B.C.3.設(shè)x,y為正數(shù),則的最小值為()A.6.9C4．已知a＞0，b＞0，且2b＋ab＋a＝30，則ab的最大值為________．5．若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的恒成立的是(寫出所有正確命題的編號(hào))．①；②；③；④；⑤.6．已知，，，求證：.六．課后作業(yè)1.下列不等式的證明過程正確的是（）A.若則B.若則C.若則D.若且則2．若實(shí)數(shù)a、b滿足0＜a＜b，且a＋b＝1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是()\f(1,2) B．a(chǎn)2＋b2 C．2ab D．a(chǎn)3．建造一個(gè)容積為18m3，深為2m的長(zhǎng)方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2的造價(jià)分別為200元和150元，那么水4．已知x1·x2·…·x2023＝1，且x1，x2，…，x2023都是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x2))…的最小值是__________．5．已知、、為正實(shí)數(shù)，且.求證：.6．已知，你能比較出4與的大小嗎？第一課時(shí)理解、證明基本不等式答案一．（1）0（2）（3）（4）（5）幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（6）二．1．D解析：只需比較a2+b2與+b.由于a、b∈（0，1），∴a2<a,b2<b，∴a2+b2<+b.2．C解析：∵x＜0，∴－x＞0，∴x＋eq\f(1,x)－2＝－－2≤－2eq\r(－x·\f(1,－x))－2＝－4，等號(hào)成立的條件是－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1.3．解析：∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(4,b))＝4eq\r(\f(1,ab))，即4eq\r(\f(1,ab))≤2.∴ab≥4.答案：4.4．解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值為4.四．變式訓(xùn)練1：解析：且，即.變式訓(xùn)練2：∵,∴①又∵②③由①②③得∴,又不等式①、②、③中等號(hào)成立的條件分別為,,故不能同時(shí)成立,從而.變式訓(xùn)練3：已知，求證：．變式訓(xùn)練3：證明：，，．又，．．五．1．D解析：對(duì)于A：y＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4(當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào))；對(duì)于B：∵x>0，∴l(xiāng)gx∈R，∴y＝lgx＋eq\f(1,lgx)≥2或y≤－2(當(dāng)x＝10或x＝eq\f(1,10)時(shí)取等號(hào))；對(duì)于C：∵y＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))≥2(當(dāng)x2＋1＝1，即x＝0時(shí)取等號(hào))，而x>0，∴y>2；對(duì)于D：y＝(x－1)2＋2≥2(當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))．2．B解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).3．B解析：∵x，y為正數(shù)，∴≥≥9，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.4．18解析：∵a＞0，b＞0，∴2b＋a≥2eq\r(2ab)，又2b＋ab＋a＝30，∴2eq\r(2ab)＋ab≤30，即ab＋2eq\r(2ab)－30≤0，解得eq\r(ab)≤3eq\r(2)，即ab≤18，當(dāng)且僅當(dāng)2b＝a，即a＝6，b＝3時(shí)等號(hào)成立，則ab的最大值為18.5．解析：令，排除②②；由，命題①正確；，命題③正確；，命題⑤正確.答案為①，③，⑤.6．證明：均大于0，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.相加得，.六．1．D解析：選D.因?yàn)锳,B,C不符合應(yīng)用前提“正數(shù)’.2．B解析：∵a＋b＝1，a＋b＞2eq\r(ab)，∴2ab＜eq\f(1,2).由a2＋b2＞2·＝2·eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，又0＜a＜b，且a＋b＝1，∴a＜eq\f(1,2)，∴a2＋b2最大．3．5400解析：設(shè)池底的長(zhǎng)為x(m)，則寬為eq\f(9,x)(m)，則水池的造價(jià)為9×200＋150(元)．因?yàn)?×200＋150≥1800＋300eq\r(4x