二維傅里葉變換

二維傅里葉變換．二維傅里葉變換的定義二維傅里葉變換：F(u,v)= f(x,y')e-j2n(UXUy)dxdy二維傅里葉逆變換：原理解釋：二維傅里葉變換的具體積分區(qū)間取決于函數(shù)/■化y丿的定義域。x,y的積分順序可交換，因此對幷X』丿做二維傅里葉變換，相當于對兩個方向分別做一維傅里葉變換，此外，傅里葉變換的一大特點就是它是線性變換，即信號線性組合的傅里葉變換等于它們各自傅里葉變換的線性組合。離散傅里葉變換：由于實際信號通常位離散信號，且處理的信號也不可能是無限長的。因此對離散二維信號的處理使用的是離散二維傅里葉變換。離散二維傅里葉變換：x=0y=0f(x,y)e-x=0y=0f(x,y)e-j2^時管)離散傅里葉逆變換為傅里葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。一維的傅里葉變換表示的含義是，原信號變換為不同頻率的正弦波信號的線性組合。而推廣到二維，則表示將原信號變換為復(fù)平面上不同方向和頻率的正弦波信號的線性組合。變換結(jié)果中，越靠近原點，頻率越低，越遠離原點，頻率越高在圖像處理中，對圖像的二維離散傅里葉變換將圖像從圖像空間變換到頻域空間，從而可利用傅里葉頻譜特性進行圖像處理。坐標軸意義是頻率，越靠近原點，頻率越低，對應(yīng)于圖像中像素值變化速度比較慢的部分；越遠離原點，頻率越高，對應(yīng)于圖像中像素值變化速度快的那部分。對圖像作二維離散傅里葉變換，得到的結(jié)果一般來說靠近原點周圍比較亮，遠離原點比較暗，也就是這張圖像里低頻部分的分量多，高頻部分的分量少，原因是圖像大部分都是顏色相近，灰度相近的區(qū)域。

.二維傅里葉變換的性質(zhì)線性定理F[ag(x,y)+Bh(x,y)]=aG(u,v)+^H(u,v)1F1F[g(ax,by)]=両G(",v)位移定理空間位移:原函數(shù)在空域中的平移，相應(yīng)的頻譜函數(shù)振幅分布不變.頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移，導(dǎo)致頻譜的位移。3.Parseval定理+8f+8 +8II\f(x,y)\2dxdy=II\F(u,v)\2dudv—8—8—8—8—8—8信號的能量由\F("，叭\2曲線下面積給出，或者說等于各頻率分量的能量之和。\F(",叭\2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)。卷積定理F[g(x,y)*h(x,y)]=G(x,y)*H(x,y)三?對圖像進行二維離散傅里葉變換立葉妙諧班過二雄世速fa也時込損啟的醫(yī)尬0.1ILi■；I

立葉妙諧班過二雄世速fa也時込損啟的醫(yī)尬0.1ILi■；I由此可看出，二維離散傅里葉變換是一維離散傅里葉變換在二維上的推廣，上面的圖形可看做一維方波信號在二維上的推廣。而變換得到的結(jié)果也可看出是一維傅里葉變換在二維上的推廣。附MATLAB代碼：i=imread('cameraman.tif');%讀入原圖像文件figure(1);%設(shè)定窗口imshow(i);%顯示原圖像colorbar;title('原圖像')%顯示圖像的顏色條%圖像命名j=fft2(i);%二維離散傅立葉變換k=fftshift(j);%直流分量移到頻譜中心l=log(abs(k));%數(shù)字圖像的對數(shù)變換figure(2);%設(shè)定窗口imshow(l,[]);%顯示原圖像colorbar;title（'經(jīng)過二維快速傅立葉變換后的圖像'）%顯示圖像的顏色條%圖像命名n=ifft2(j)/255;%逆二維快速傅里葉變換figure(3);%設(shè)定窗口imshow(n);%顯示原圖像colorbar;%顯示圖像的顏色條title（'經(jīng)過二維快速傅立葉逆變換后的圖像'）％圖像命名m=fftshift(j);%直流分量移到頻譜中心RR=real(m);%取傅立葉變換的實部II=imag(m);%取傅立葉變換的虛部A=sqrt(RR42+ll42);%計算頻譜幅值A(chǔ)=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(