第2章拉伸及壓縮、剪切

第2章軸向拉伸與壓縮剪切(axialtensionandcompression,shear)2.1實(shí)例2.2軸向拉伸和壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力2.3直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力2.4材料在拉伸時(shí)的機(jī)械性質(zhì)2.7許用應(yīng)力和安全系數(shù)2.8軸向拉伸和壓縮時(shí)的變形2.9拉伸、壓縮靜不定問(wèn)題2.10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力2.11應(yīng)力集中(stressconcentration)2.12剪切的概念與實(shí)用計(jì)算2.13擠壓的概念和實(shí)用計(jì)算圖2.1

懸臂吊車的拉桿2.1實(shí)例拉桿圖2.2液壓傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中油缸的活塞桿活塞桿受力特點(diǎn)：構(gòu)件承受一對(duì)大小相等、方向相反作用線跟桿件軸線重合的力作用變形特點(diǎn)：構(gòu)件沿桿件軸線伸長(zhǎng)或縮短圖2.3軸向拉伸、壓縮桿件的計(jì)算簡(jiǎn)圖2.2軸向拉伸和壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力內(nèi)力確定方法——截面法桿件的內(nèi)力稱為軸力——由于內(nèi)力(internalforces)的作用線沿桿軸線內(nèi)力符號(hào)規(guī)定：軸力(axialforce)的指向離開(kāi)所作用的截面時(shí)為正號(hào)，也稱為拉力；指向朝著作用的截面時(shí)為負(fù)號(hào)，也稱為壓力。圖2.4截面法求軸向拉伸桿件橫截面上的內(nèi)力dd1PPPPNmmNmm問(wèn)題1材料力學(xué)中所說(shuō)的內(nèi)力，有哪些特征?

答材料力學(xué)中的內(nèi)力有下列幾個(gè)特征：

1．固體之所以能保持一定的形狀，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間就具有相互平衡的初始內(nèi)力。材料力學(xué)中所說(shuō)的內(nèi)力是指由外力作用引起物體變形而產(chǎn)生的附加內(nèi)力，簡(jiǎn)稱為內(nèi)力。

2．內(nèi)力是定義在某一截面上的。對(duì)于內(nèi)力，必須說(shuō)明是哪一截面上的內(nèi)力。等效于截面兩側(cè)部分物體間的相互作用。

3.內(nèi)力是指某一截面上分布內(nèi)力系的合成。而且，通常是指該合成沿坐標(biāo)軸的分量。4內(nèi)力是矢量，而內(nèi)力分量是標(biāo)量。內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)與其變形趨勢(shì)相聯(lián)系。如軸向拉壓桿橫截面上的內(nèi)力——軸力N，規(guī)定引起拉伸變形的拉力為正，產(chǎn)生壓縮變形的壓力為負(fù)。問(wèn)題2試述截面上應(yīng)力與內(nèi)力之間的關(guān)系。答截面上一點(diǎn)處的應(yīng)力是在該點(diǎn)處分布內(nèi)力的集度，截面上的內(nèi)力是整個(gè)截面上各點(diǎn)應(yīng)力的合成。在一定的外力作用下．內(nèi)力與截面位置有關(guān)，而應(yīng)力與截面和截面上的點(diǎn)的位置有關(guān)。截面上各點(diǎn)應(yīng)力的合成就是該截面上的內(nèi)力。軸力圖(axialforcediagram)

為了形象地表示出桿件內(nèi)軸力與橫截面位置的關(guān)系，常繪出軸力沿桿軸線變化的圖形，該圖形中以橫坐標(biāo)表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示軸力的大小，以該方式繪制的圖形稱為軸力圖。例題2.1例題2.1a圖所示為一雙壓手鉚機(jī)的活塞缸示意圖。作用于活塞桿上的力分別為P1=2.62kN，P2=1.3kN,P3=1.32kN,計(jì)算簡(jiǎn)圖為例題2.1b所示。這里P2和P3分別是以壓強(qiáng)p2和p3乘以作用面積得出的。試求活塞桿橫截面1-1和2-2上的軸力，并作活塞桿的軸力圖。解：（一）用截面法求1-1，2-2面上的軸力。對(duì)1-1面：對(duì)2-2面：（二）畫軸力圖軸向拉伸和壓縮時(shí)桿件橫截面上的應(yīng)力平面假設(shè)(planecross-sectionassumption)

變形后，橫截面仍保持為平面，并且仍垂直于桿軸線，只是各橫截面沿桿軸作相對(duì)平移。此假設(shè)稱為平面假設(shè)。圖2.5軸向拉伸桿件橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律結(jié)論：任意兩橫截面間的所有纖維的伸長(zhǎng)（縮短）均相同。對(duì)于均勻性材料，如果變形相同，則受力也相同。由此可得橫截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力大小相等，方向均垂直于橫截面。

由靜力學(xué)關(guān)系知，拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力s應(yīng)合成為軸力N，而s

又處處大小相等，所以有

正應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定隨軸力的符號(hào)規(guī)定，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。(2.1)例題2.2圖求AB桿橫截面上的應(yīng)力例題2.2圖示一懸臂吊車的簡(jiǎn)圖，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，載荷Q=15kN。當(dāng)Q移到A點(diǎn)時(shí)，求斜桿AB橫截面上的應(yīng)力。解：1.AB桿所受外力2.求斜桿AB的軸力3.求斜桿AB橫截面上的應(yīng)力例題2.3圖求階梯軸各段應(yīng)力例題2.3一受軸向荷載的階梯軸，如圖所示。求各段橫截面上的應(yīng)力。并畫軸力圖。解：1.求軸力2.軸力圖如例題2.3b圖。3.求應(yīng)力可見(jiàn)最大正應(yīng)力并不一定發(fā)生在最大軸力處。

若外力沿截面變化（比如由于考慮構(gòu)件的自重），截面的尺寸也沿軸線變化時(shí)，這時(shí)截面上的軸力將是截面位置x的函數(shù)N(x)，如左圖示。在計(jì)算x截面上的軸力時(shí)，應(yīng)利用微積分求。一般地，構(gòu)件各截面的內(nèi)力、應(yīng)力和截面面積都是位置x的函數(shù)，具體地(2.2)圖2.6桿件橫截面尺寸沿軸線緩慢變化時(shí)的應(yīng)力軸力的一般情況2.3直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力由截面法得該斜截面上的內(nèi)力為圖2.7拉桿斜截面上的應(yīng)力

與橫截面上的正應(yīng)力類似，斜截面上的應(yīng)力也是均勻分布的，即一般稱pa為全應(yīng)力，將其分解為垂直斜截面的正應(yīng)力和沿斜截面的剪應(yīng)力在[0,p]范圍內(nèi)斜截面正應(yīng)力和剪應(yīng)力的變化規(guī)律結(jié)果討論右圖為斜截面上正應(yīng)力和剪應(yīng)力在[0,p]范圍內(nèi)的變化規(guī)律。由圖知，0.511.522.53-0.4-0.20.20.40.60.812.4材料在拉伸時(shí)的機(jī)械性質(zhì)

材料的機(jī)械性質(zhì)也稱力學(xué)性質(zhì)是指材料在外力作用過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的變形、破壞等方面的特征。這些特征是材料自身固有的特性，是強(qiáng)度計(jì)算、剛度計(jì)算等的重要依據(jù)。它要由試驗(yàn)的方法來(lái)確定。這些試驗(yàn)是在室溫下、以緩慢加載的方式進(jìn)行的，通常稱常溫靜載試驗(yàn)。拉伸試驗(yàn)是測(cè)定材料機(jī)械性質(zhì)的基本試驗(yàn)。材料試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)的條件（溫度、壓強(qiáng)、加載方式）加載過(guò)程的界定力學(xué)參量的測(cè)定要弄清楚的幾個(gè)問(wèn)題圖2.16確定條件屈服極限s0.2的方法圖2.17低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線壓縮拉伸弄清下列概念及其計(jì)算方法1.彈性、屈服（流動(dòng)）、強(qiáng)化和頸縮階段5.卸載定律，冷作硬化，蠕變3.塑性材料與脆性材料的定義，以及相應(yīng)的破壞應(yīng)力4.塑性與脆性材料在拉伸和壓縮時(shí)機(jī)械性能的差別2.7許用應(yīng)力和安全系數(shù)軸向拉伸和壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算破壞應(yīng)力：s0對(duì)塑性材料(ductilematerials)

s0=ss或s0.2對(duì)脆性材料(brittlematerials)s0=sb材料的破壞條件是：工作應(yīng)力達(dá)到破壞應(yīng)力，即

為使構(gòu)件或結(jié)構(gòu)能正常工作，必須提供必要的強(qiáng)度儲(chǔ)備，這樣我們就得到構(gòu)件工作的強(qiáng)度條件n>1稱為安全系數(shù)(safetyfactor)[s]=s0/n稱為許用應(yīng)力(allowablestress)

在靜載的情況下，對(duì)塑性材料可取ns=1.2~2.5。脆性材料取nb=2~3.5，甚至取到3~9。脆性（brittleness），塑性（plastic）。強(qiáng)度條件(strengthcondition)

受軸向拉伸（壓縮）構(gòu)件不因強(qiáng)度破壞的條件是：工作應(yīng)力(workingstress)不超過(guò)許用應(yīng)力，即軸向拉伸與壓縮構(gòu)件的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件的功用設(shè)計(jì)尺寸估算載荷校核強(qiáng)度

由實(shí)驗(yàn)可知，直桿在軸向載荷作用下，將會(huì)發(fā)生軸向尺寸的改變，同時(shí)還伴有橫向尺寸的變化。軸向伸長(zhǎng)時(shí)，橫向就略有縮?。环粗S向縮短時(shí)，橫向就略有增大。2.8軸向拉伸和壓縮時(shí)的變形

軸向拉伸桿件的變形情況桿件在軸線方向的伸長(zhǎng)為

虎克定律指出：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即s=Ee

這表示：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，桿件的伸長(zhǎng)△l與載荷P和桿件的原長(zhǎng)度l成正比，與橫截面面積A成反比。這是虎克定律的另一表達(dá)形式，以上結(jié)果同樣可以用于軸向壓縮的情況，只要把軸向拉力改為壓力，把伸長(zhǎng)△l改為縮短就可以了。桿件縱向變形橫向變形lateraldeformation

絕對(duì)變形相對(duì)變形

試驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變1與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)，即

稱為泊松系數(shù)(Poisson’sratio)，又稱橫向變形系數(shù)，與E一樣，也是材料固有的彈性常數(shù)，且是一個(gè)沒(méi)有量綱的量?！纠}】如圖所示托架，水平桿BC為鋼圓桿，其直徑d=30mm。斜桿AB由兩根70×70×6mm的等邊角鋼組成。若[s]=160MPa，E=200GPa,試校核托架的強(qiáng)度，并求B點(diǎn)的位移。設(shè)P=50kN。

解:1.求各桿軸力。取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，由平衡方程可求得1、2桿軸力分別為2.強(qiáng)度校核設(shè)想將B處鉸解開(kāi)，兩桿在各自桿端力的作用下自由伸縮，則1桿的B端將縮至B2，而2桿的B端將伸至B1。事實(shí)上，兩桿相聯(lián)于B點(diǎn)，并不分離，故B點(diǎn)的新位置應(yīng)當(dāng)在另一點(diǎn)B3處。因是小變形，所以B1B3和B2B3是兩段極其微小的短弧。因而可采用分別垂直于BA、BC的直線線段來(lái)代替，這兩段直線的交點(diǎn)即為B3的位置。圖中BB3線段即為B點(diǎn)的位移。這種方法稱為Williot法。3求B點(diǎn)的位移B點(diǎn)的水平位移

B點(diǎn)的位移BB3為

B點(diǎn)的鉛垂位移為軸向變形的一般情形

軸向變形公式成立的前提是：在計(jì)算長(zhǎng)度l內(nèi)，桿件的軸力N和截面積A以及材料常數(shù)E是不變的。

當(dāng)軸力N或橫截面積A為桿軸線坐標(biāo)x的連續(xù)函數(shù)時(shí)，選取微段dx，它滿足上述計(jì)算條件，從而求得微段的軸向變形為則整個(gè)桿件的變形為例2.9圖中自由懸掛的變截面桿是圓錐體。其上下兩端的直徑分別為d2和d1。試求由載荷P引起的軸向變形（不計(jì)自重的影響）。設(shè)桿長(zhǎng)l及彈性模量E均已知。解:設(shè)坐標(biāo)為x時(shí)，橫截面的直徑為d，則2.9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能

固體力學(xué)中，把與功和能有關(guān)的一些定理統(tǒng)稱為能量原理。對(duì)構(gòu)件的變形計(jì)算及靜不定結(jié)構(gòu)的求解，能量原理都有重要作用。近年來(lái)計(jì)算力學(xué)的興起，使能量原理更受重視。

變形能——固體在變形過(guò)程中，固體在外力作用下變形，引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移，外力因此而作功；同時(shí)，彈性固體因變形而具備了作功的能力，表明儲(chǔ)存了變形能。在下列條件下加載緩慢均勻（保證是靜態(tài)）沒(méi)有其它能量的損失（如動(dòng)能、熱能等）則有即認(rèn)為外力對(duì)系統(tǒng)所作的功全部轉(zhuǎn)化為能量?jī)?chǔ)存起來(lái)。例2．9簡(jiǎn)易起重機(jī)如圖2．30所示。BD桿為無(wú)縫鋼管，外徑90mm，壁厚2．5mm，桿長(zhǎng)J＝3m。彈性模量置＝210GPas5C是兩條橫截面面積為172mm’的鋼索，彈性模量El＝177()Pa。若不考慮立柱的變形，試求B點(diǎn)的垂直位移。設(shè)尸＝30kN。2.9拉伸、壓縮靜不定問(wèn)題

結(jié)構(gòu)的約束反力或構(gòu)件的內(nèi)力未知量個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù)目，不能憑靜力平衡方程來(lái)求其解答。這類問(wèn)題稱靜不定問(wèn)題(staticallyindeterminateproblem)，也稱超靜定問(wèn)題。

設(shè)未知量的個(gè)數(shù)為s，靜力平衡方程的數(shù)目為n，則結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)為靜不定次數(shù)(degreeofastaticallyindeterminateproblem)z=s-n靜不定梁z=3靜不定桁架z=1靜不定問(wèn)題的求解方法

靜不定問(wèn)題的求解是綜合考慮靜力平衡、變形協(xié)調(diào)以及物理等三方面的關(guān)系進(jìn)行求解。這也是與靜定問(wèn)題求解的不同之處。

已知圖示構(gòu)件各截面面積和形狀相同、材料相同，試求該結(jié)構(gòu)三桿的內(nèi)力。1322.由變形幾何方程1.由靜平衡方程3.由物理方程將物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程，得如下補(bǔ)充方程如需進(jìn)一步求解各桿應(yīng)力、變形，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算等，則與靜定問(wèn)題的求解方法是一樣的。與靜力平衡方程聯(lián)立即可解得2.10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力2.10.1溫度應(yīng)力溫度的變化將引起結(jié)構(gòu)物或其部分構(gòu)件的膨脹或收縮。靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形，當(dāng)溫度在整個(gè)結(jié)構(gòu)上均勻變化時(shí)，不會(huì)在結(jié)構(gòu)桿件內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力。但在靜不定結(jié)構(gòu)中，由于“多余約束”，結(jié)構(gòu)的變形部分或全部受到約束，溫度變化將會(huì)引起桿內(nèi)的應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。公路上例圖中AB為一裝在兩個(gè)剛性支承間的桿件。設(shè)桿AB長(zhǎng)為l，橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為，試求溫度升高ΔT時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力。

解：1.由靜平衡方程2.假定去掉B端點(diǎn)約束，使桿件自由伸長(zhǎng)，其伸長(zhǎng)量為3.在構(gòu)件自由膨脹以后，假想地用外力N作用于端，使構(gòu)件發(fā)生變形為使分解后的問(wèn)題與原問(wèn)題等效，則有進(jìn)一步，有溫度應(yīng)力可見(jiàn)溫度應(yīng)力與構(gòu)件的截面積無(wú)關(guān)。2.10.2

裝配應(yīng)力

對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，在安裝時(shí)，加工誤差只不過(guò)是造成結(jié)構(gòu)幾何形狀的輕微變化，不會(huì)引起桿件內(nèi)力。但對(duì)于靜不定結(jié)構(gòu)安裝時(shí)，加工誤差卻往往要引起內(nèi)力，這與上述溫度應(yīng)力的發(fā)生是非常相似的，相應(yīng)的應(yīng)力稱裝配應(yīng)力。

例圖示剛性梁由三根剛桿支承，剛桿之橫截面面積A均為20cm2,2桿的長(zhǎng)度比1、3桿短了δ=0.5mm。試求在結(jié)構(gòu)安裝后，各桿橫截面上的應(yīng)力。解：1.平衡方程

2.變形協(xié)調(diào)條件

3.物理方程聯(lián)立求解得2.11.1

圣維南原理(Saint-Venant’sPrinciple)

當(dāng)一個(gè)力系作用于彈性體某一小區(qū)域內(nèi)時(shí)，如用與該力系靜力等效的另一力系替代，則后者對(duì)物體的作用效應(yīng)，除在力系作用處的較小局部范圍有影響外，對(duì)距力系作用處稍遠(yuǎn)的其它部分的效應(yīng)與前者基本一致。即由于外力分布方式的不同對(duì)稍遠(yuǎn)處的影響可以不計(jì)，仍可用前述公式計(jì)算其應(yīng)力的大小。

2.11應(yīng)力集中(stressconcentration)2.11.2應(yīng)力集中(stressconcentration)

由于截面尺寸改變而引起的應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。應(yīng)力集中現(xiàn)象只是發(fā)生在孔邊附近，而離孔稍遠(yuǎn)應(yīng)力急劇下降且趨于平緩，所以應(yīng)力集中現(xiàn)象是局部性的。

通常把截面上孔邊的最大應(yīng)力與同一截面上的平均應(yīng)力的比值，稱為應(yīng)力集中系數(shù)，記作，即應(yīng)力集中對(duì)塑性材料不敏感，對(duì)脆性材料敏感，主要原因是塑性材料有一個(gè)屈服過(guò)程，而脆性材料沒(méi)有。2.12剪切的概念與實(shí)用計(jì)算螺栓的剪切變形

聯(lián)接件鍵的剪切變形軸轂鍵轂：車輪中心的圓木,周圍與車輻的一端相接,中有圓孔,可以插軸聯(lián)接件銷釘?shù)募羟凶冃魏缚p的剪切變形受力特點(diǎn)：一對(duì)作用線相距很近、方向相反的集中力作用變形特點(diǎn)：沿該對(duì)力之間的橫截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)

剪切變形的受力特點(diǎn)與變形特點(diǎn)作用于構(gòu)件兩側(cè)且與構(gòu)件軸線垂直的外力，可以簡(jiǎn)化為大小相等、方向相反、作用線相距很近的一對(duì)力，使構(gòu)件沿橫截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。該發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的面稱為剪切面。剪切的實(shí)用計(jì)算圖3.5剪切變形的一般情形剪力一般而言，螺栓在外力作用下，不僅發(fā)生剪切變形，還會(huì)有很小的拉伸變形以及變彎，要對(duì)其進(jìn)行精確的強(qiáng)度計(jì)算是很困難的，但由于螺栓長(zhǎng)度較小，橫截面尺寸與之相比更小，所以，工程上采用實(shí)用計(jì)算的方法。應(yīng)力強(qiáng)度條件(3.1)(3.2)在設(shè)計(jì)規(guī)范中，對(duì)許用剪應(yīng)力的數(shù)值，都根據(jù)具體情況作了規(guī)定，可以參考查用。此外，對(duì)于鋼材，常?。浩渲衃s]為其許用拉應(yīng)力。例電瓶車掛鉤由插銷聯(lián)接。插銷材料為20鋼，[t]=30MPa，直徑d=20mm。掛鉤及被聯(lián)接的板件的厚度分別為t=8mm和1.5t=12mm。牽引力P=15kN。試校核插銷的剪切強(qiáng)度。解：插銷受力如圖示。根據(jù)受力情況，插銷中段相對(duì)于上、下兩段，沿m-m和n-n兩個(gè)面向左錯(cuò)動(dòng)。所以有兩個(gè)剪切面，稱為雙剪切。由平衡方程容易求得插銷橫截面上的名義剪應(yīng)力為故插銷滿足強(qiáng)度要求，安全。2.12.2擠壓的概念和實(shí)用計(jì)算擠壓(bearing)的概念仍以圖3.5的螺栓為例，當(dāng)螺栓發(fā)生剪切變形時(shí)，它與鋼板接觸的側(cè)面上同時(shí)發(fā)生局部受壓現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為擠壓，相應(yīng)的接觸面稱為擠壓面。圖3.5剪切變形的一般情形擠壓的實(shí)用計(jì)算擠壓應(yīng)力在擠壓面上的分布情況也比較復(fù)雜，它與接觸的方式、接觸面的形狀等因素有關(guān)。