高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明 課時(shí)跟蹤檢測（十三）合情推理

課時(shí)跟蹤檢測（十三）合情推理層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()A. B．△C. D．○解析：選A觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果．2．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則猜想該教室內(nèi)的所有椅子都壞了；④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)．A．①② B．①③④C．①②④ D．②④解析：選C①是類比推理；②④是歸納推理，∴①②④都是合情推理．3．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為()A．1∶2 B．1∶4C．1∶8 D．1∶16解析：選C由平面和空間的知識，可知面積之比與邊長之比成平方關(guān)系，在空間中體積之比與棱長之比成立方關(guān)系，故若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積之比為1∶8.4．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：選B根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知，②③是正確的結(jié)論．5．觀察下列各等式：eq\f(2,2－4)＋eq\f(6,6－4)＝2，eq\f(5,5－4)＋eq\f(3,3－4)＝2，eq\f(7,7－4)＋eq\f(1,1－4)＝2，eq\f(10,10－4)＋eq\f(－2,－2－4)＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為()\f(n,n－4)＋eq\f(8－n,(8－n)－4)＝2\f(n＋1,(n＋1)－4)＋eq\f((n＋1)＋5,(n＋1)－4)＝2\f(n,n－4)＋eq\f(n＋4,(n＋4)－4)＝2\f(n＋1,(n＋1)－4)＋eq\f(n＋5,(n＋5)－4)＝2解析：選A觀察發(fā)現(xiàn)：每個(gè)等式的右邊均為2，左邊是兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，分子之和等于8，分母中被減數(shù)與分子相同，減數(shù)都是4，因此只有A正確．6．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此規(guī)律，第n個(gè)等式為________．解析：觀察所給等式，等式左邊第一個(gè)加數(shù)與行數(shù)相同，加數(shù)的個(gè)數(shù)為2n－1，故第n行等式左邊的數(shù)依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一個(gè)等式右邊的數(shù)為等式左邊加數(shù)個(gè)數(shù)的平方，從而第n個(gè)等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)27．我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_______________________．解析：平面圖形與立體圖形的類比：周長→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長方體，圓→球．答案：表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大8．如圖(甲)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為解析：根據(jù)OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和圖(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝eq\r(OA\o\al(2,1)＋A1A\o\al(2,2))＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，a3＝OA3＝eq\r(OA\o\al(2,2)＋A2A\o\al(2,3))＝eq\r((\r(2))2＋12)＝eq\r(3)，…，故可歸納推測出an＝eq\r(n).答案：eq\r(n)9．在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，…，由此猜想凸n邊形有幾條對角線？解：因?yàn)橥顾倪呅斡?條對角線，凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條，…，于是猜想凸n邊形的對角線條數(shù)比凸(n－1)邊形多(n－2)條對角線，由此凸n邊形的對角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差數(shù)列求和公式可得eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．所以凸n邊形的對角線條數(shù)為eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．10．已知f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論．解：f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，所以f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，f(－1)＋f(2)＝eq\f(1,3－1＋\r(3))＋eq\f(1,32＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(1,3－2＋\r(3))＋eq\f(1,33＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3).歸納猜想一般性結(jié)論；f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(\r(3),3).證明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(1,3－x＋\r(3))＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(3x,1＋\r(3)·3x)＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)·3x,\r(3)＋3x＋1)＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)·3x＋1,\r(3)＋3x＋1)＝eq\f(\r(3)·3x＋1,\r(3)(1＋\r(3)·3x))＝eq\f(\r(3),3).層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．由代數(shù)式的乘法法則類比得到向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應(yīng)選B.2．類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊；(2)中位線長等于底邊長的一半；(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)：(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于該頂點(diǎn)所對的面面積的eq\f(1,4)；(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)．其中類比推理方法正確的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對解析：選C以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確．3．觀察下列式子：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20172)＜()\f(4031,2017) \f(4032,2017)\f(4033,2017) \f(4034,2017)解析：選C觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)個(gè)不等式左端有n＋1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,(n＋1)2)＜eq\f(2n＋1,n＋1)，所以當(dāng)n＝2016時(shí)不等式為：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20172)＜eq\f(4033,2017).4．設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P-ABC的體積為V，則r＝()\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) \f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) \f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：選C將△ABC的三條邊長a，b，c類比到四面體P-ABC的四個(gè)面面積S1，S2，S3，S4，將三角形面積公式中系數(shù)eq\f(1,2)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)eq\f(1,3)，從而可知選C.證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為V，∴V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).5．觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是S，按此規(guī)律推出S與n的關(guān)系式為____________．解析：每條邊上有2個(gè)圓圈時(shí)共有S＝4個(gè)；每條邊上有3個(gè)圓圈時(shí)，共有S＝8個(gè)；每條邊上有4個(gè)圓圈時(shí)，共有S＝12個(gè)．可見每條邊上增加一個(gè)點(diǎn)，則S增加4，∴S與n的關(guān)系為S＝4(n－1)(n≥2)．答案：S＝4(n－1)(n≥2)6．可以運(yùn)用下面的原理解決一些相關(guān)圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個(gè)封閉的圖形所截得的線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍．你可以從給出的簡單圖形①、②中體會這個(gè)原理．現(xiàn)在圖③中的兩個(gè)曲線的方程分別是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與x2＋y2＝a2，運(yùn)用上面的原理，圖③中橢圓的面積為______________．解析：由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為eq\f(b,a)，即k＝eq\f(b,a)，∴橢圓面積S＝πa2·eq\f(b,a)＝πab.答案：πab7．觀察下列兩個(gè)等式：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)①；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4)②.由上面兩個(gè)等式的結(jié)構(gòu)特征，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想．解：由①②知若兩角差為30°，則它們的相關(guān)形式的函數(shù)運(yùn)算式的值均為eq\f(3,4).猜想：若β－α＝30°，則β＝30°＋α，sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).下面進(jìn)行證明：左邊＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα]＝sin2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα－\f(1,2)sinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα＋\f(1,2)sinα))＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α－eq\f(1,4)sin2α＝eq\f(3,4)＝右邊．所以，猜想是正確的．故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).8．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)成立．那么在四面體A-BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明猜想是否正確及理由．解：猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A-BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1