第二章 地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第2章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就是為了使地圖上各種地理要素與地面事物之間保持一定的對應(yīng)關(guān)系。具體指地圖所采用的地圖投影（經(jīng)緯網(wǎng)）、坐標(biāo)網(wǎng)、大地控制點、比例尺等數(shù)學(xué)要素。2第一節(jié)地圖投影基本概念為什么要進行地圖投影3地球橢球體表面是個曲面，而地圖通常是二維平面，因此在地圖制圖時首先要考慮把曲面轉(zhuǎn)化成平面。然而，從幾何意義上來說，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，勢必會產(chǎn)生破裂與褶皺。這種不連續(xù)的、破裂的平面是不適合制作地圖的，所以必須采用特殊的方法來實現(xiàn)球面到平面的轉(zhuǎn)化。45

地圖投影的實質(zhì)：

是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)一、地圖投影的定義和實質(zhì)

地圖投影：

在地球橢球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。6地圖投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的經(jīng)緯線網(wǎng)形式不同。下圖是幾種不同投影的經(jīng)緯線網(wǎng)形狀：1.地圖投影變形的概念二、地圖投影變形7地球儀上的經(jīng)緯線的長度的特點：第一，緯線長度不等第二，在同一條緯線上，經(jīng)差相同的緯線弧長相等第三，所有經(jīng)線長度相等8地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積的特點：第一，在同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的球面網(wǎng)格面積相等第二，在同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度愈高，網(wǎng)格面積愈小9地球儀上的經(jīng)緯線角度的特點：在地球儀上經(jīng)線和緯線處處都呈直角相交。10分析下圖中經(jīng)緯線長度、經(jīng)緯線網(wǎng)格面積、經(jīng)緯線交角的特點：地圖投影存在變形。11

地圖投影變形是球面轉(zhuǎn)化成平面的必然結(jié)果，沒有變形的投影是不存在的。對某一地圖投影來講，不存在這種變形，就必然存在另一種或兩種變形。但制圖時可做到：在有些投影圖上沒有角度或面積變形;在有些投影圖上沿某一方向無長度變形。122.長度比和長度變形

投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲取?/p>

m表示長度比，Vm表示長度變形

=0不變>0變大<0變小長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。133.變形橢圓 取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長度比；為緯線長度比14微小圓→變形橢圓該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即：以O(shè)'為原點，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。代入：X2+Y2=1，得154.主方向：變形橢圓上相互垂直的兩個方向及經(jīng)向和緯向長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向m；緯線方向n統(tǒng)稱主方向據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b165.面積比和面積變形：投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P表示面積比

Vp

表示面積變形

P=a·b=m

·

n(q=90)

P=m

·

n

·sinq

(q≠90)面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小17 6.角度變形：投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。 設(shè)A點的坐標(biāo)為（x、y），A

′點的坐標(biāo)為(x

′、y

′)，則18將上式兩邊各減和加tana

即：將兩式相除，得：19顯然當(dāng)（a+a

′）=90°時，右端取最大值，則最大方向變形：以w表示角度最大變形：若已知

m,n,q，則：207.標(biāo)準(zhǔn)點、標(biāo)準(zhǔn)線和等變形線標(biāo)準(zhǔn)點：地圖投影面上沒有任何變形的點。標(biāo)準(zhǔn)線：地圖投影面上沒有任何變形的線。等變形線：投影面上變形值相等的各點的連線。21三、地圖投影方法1.

幾何投影法地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如圓柱面和圓錐面。222.

數(shù)學(xué)解析法——以正軸圓錐投影為例經(jīng)線

投影為放射直線，經(jīng)差l與投影面上d成X=r

s-

r

cosδr

=f()

Y=r

sind

d

=c·l正比：d=c·l

（c為圓錐系數(shù)，0<c<1）。緯線

投影為同心圓弧，其半徑r是緯度的函數(shù)，r=f（）。圓錐投影的一般公式為：23四、地圖投影分類1.按地圖投影的構(gòu)成方法分類

（1）幾何投影:

將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。

方位投影:以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。

圓柱投影:以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。

圓錐投影:以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。2425（2）非幾何投影：

根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點與點的函數(shù)關(guān)系。

偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。26272.按地圖投影的變形性質(zhì)分類

等角投影:

投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

等積投影:

投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零Vp=0（或P=1，a=1/b）。

任意投影:

投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。2829第二節(jié)地圖投影的應(yīng)用一、地圖投影的選擇依據(jù)

投影的變形小且分布均勻；選擇標(biāo)準(zhǔn)：經(jīng)緯線網(wǎng)的形狀和變形性質(zhì)要能滿足地圖內(nèi)容和用途的要求經(jīng)緯線網(wǎng)的形狀不復(fù)雜。等變形線的形狀與制圖區(qū)域的輪廓形狀接近；301.地圖的內(nèi)容主題和內(nèi)容不同，對投影的要求也不同。要求方向正確，應(yīng)選擇等角投影要求面積對比正確，應(yīng)選擇等積投影教學(xué)或一般參考圖，要求各方面變形都不大，則應(yīng)選擇任意投影4.1地圖投影的選擇依據(jù)312.制圖比例尺和制圖范圍不同比例尺地圖對精度要求不同，投影亦不同。大比例尺地形圖，對精度要求高，宜采用變形小的投影，如分帶投影。但在不大的區(qū)域，無論用那種性質(zhì)的投影，變形都較小而且差別不大。中、小比例尺地圖范圍大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選擇。323.制圖區(qū)域的形狀和地理位置一般將地圖投影的標(biāo)準(zhǔn)點或標(biāo)準(zhǔn)線置于制圖區(qū)域的中心部位，因此從制圖區(qū)域的形狀考慮，選用投影的原則是用等變形線與制圖區(qū)域的輪廓基本一致的投影，以使廣大制圖區(qū)域處于微小的變形區(qū)。334.出版方式單幅圖系列圖地圖集34

二、地形圖投影

1.

高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影） 以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。

由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地測量家克呂格（J.Krüger，1857—1923）共同創(chuàng)建。35 此投影無角度變形，中央經(jīng)線無長度變形。為保證精度，采用分帶投影方法： 經(jīng)差6°或3°分帶，長度變形<0.14%3637中國國家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格分帶投影。

3°分帶：1∶5千、1∶1萬

6°分帶：1∶2.5萬、1∶5萬、1∶10萬、1∶25萬、1∶50萬。38高斯-克呂格直角坐標(biāo)yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m392.1∶100萬地形圖投影新編國際1∶100萬地圖采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4°分帶，北緯84°以北和南緯80°以南采用等角方位投影。中國《1∶100萬地形圖編繪規(guī)范》規(guī)定采用邊緯線與中緯線長度變形絕對值相等的雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角割圓錐投影,按緯差4°分帶長度變形最大值:±0.03%面積變形最大值:±0.06%40三、區(qū)域圖投影

1.方位投影正軸方位投影正軸等角方位投影正軸等距方位投影橫軸和斜軸方位投影41

2.圓錐投影

以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。42①正軸圓錐投影

經(jīng)線:投影為放射直線，經(jīng)差l與投影面上d成正比：d=Cl

（C為常數(shù)）。

緯線:

投影為同心圓弧，其半徑r是緯度

的函數(shù)，r

=f（） 圓錐投影的各種變形均是緯度的函數(shù)，與經(jīng)度l無關(guān)。適于制作中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖43等角割圓錐投影條件：w=0;

m=n;

n1=n2=1相割緯線：

1=25°

；

2=45°

44等積割圓錐投影條件：P=mn=1;n1=n2=1

多用于要求面積對比正確的圖種，如分布圖、類型圖、區(qū)劃圖如1:800萬，1:600萬，1:400萬《中華人民共和國地圖》采用了(1=25°；

2=47°)的該投影。等距割圓錐投影條件：m=1;n1=n2=1

原蘇聯(lián)出版的蘇聯(lián)全圖，采用(1=47°；

2=62°)的該投影。45

3.

偽圓錐投影

由法國彭納（R.Bonne）在圓錐投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀設(shè)計而成，故又稱彭納投影。緯線長度比

n=1，同心圓弧中央經(jīng)線

m0=1其他經(jīng)線為對稱m0的曲線常用于編制中緯度地區(qū)小比例區(qū)域圖46四、世界地圖投影主要類型：多圓錐投影、圓柱投影和偽圓柱投影

具體方案：等差分緯線多圓錐投影正切差分緯線多圓錐投影墨卡托（Mercator）投影摩爾威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影47

1.多圓錐投影 設(shè)想更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。48

普通多圓錐投影（1820年美國Hasslar所創(chuàng)）m0=1n=1m>1任意投影適于南北方向延伸地區(qū)地圖49普通多圓錐分帶投影圖將整個地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線投影為直線，各帶在赤道相接。用于制作地球儀。50等差分緯線多圓錐投影中國地圖出版社1963年設(shè)計，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。51正切差分緯線多圓錐投影中國地圖出版社1976年設(shè)計，其經(jīng)線間隔按與中央經(jīng)線經(jīng)差的正切函數(shù)遞減。屬任意投影。52世界圖53

2.

圓柱投影 設(shè)想以圓柱面為投影面，使圓柱面與地球表面相切或相割，將地球表面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，再把圓柱面沿一條母線剪開展為平面而成。54

①正軸等角圓柱投影

由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于1569年所創(chuàng)設(shè)，故又名墨卡托投影。特點:

不僅保持了方向和相對位置的正確，而且使等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有重要的實用價值。4.4世界地圖投影55墨卡托投影等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點為漸近點的螺旋曲線。等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。大圓航線：地球面上兩點間最短距離是通過兩點間的大圓弧，也稱為大圓航線。4.4世界地圖投影56墨卡托投影等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。地球面上兩點間最短距離是通過兩點間的大圓弧，也稱為大圓航線4.4世界地圖投影57583.偽圓柱投影 是在圓柱投影的基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍然為平行直線，而經(jīng)線則根據(jù)某些特定條件改變經(jīng)線形狀而設(shè)計成對稱于中央經(jīng)線的各類曲線的非幾何投影，在具體應(yīng)用中以等積性質(zhì)居多，而無等角投影。⑴桑遜（Sanson）投影⑵摩爾威特（Mollweide）投影⑶古德（Goode）投影常用的投影方案：4.4世界地圖投影59

⑴桑遜（Sanson-Flamsteed）投影 經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。由法國桑遜于1650年設(shè)計。投影特點：P=1無面積變形n=1緯線長度比為1m0=1中央經(jīng)線長度比=1m>1經(jīng)線長度比>14.4世界地圖投影60⑵摩爾威特（Mollweide）投影 經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影，緯線為間隔相等的平行直線，每條緯線上經(jīng)線間隔相等。由德國摩爾威特于1805年設(shè)計。投影特點：P=1無面積變形S90=Searth/2赤道長度=中央經(jīng)線×2常用于編制世界地圖及東、西半球地圖S90=Searth/240°44′11.8″4.4世界地圖投影61⑶古德（Goode）投影

美地理學(xué)家古德（J.PaulGoode）于1923年提出在整個制圖區(qū)域主要部分中央都設(shè)置一條中央經(jīng)線，分別進行投影，則全圖就分成幾瓣，各瓣沿赤道連接在一起。投影特點：分瓣、組合投影，變形減小且均勻大陸完整，大洋割裂大洋完整，大陸割裂常用于編制世界地圖4.4世界地圖投影62摩爾威特—古德投影4.4世界地圖投影63第三節(jié)地圖方位

地圖方位是指地圖固有的方向性和地圖上標(biāo)示方向的各要素。測繪或使用地形圖時，首先要確定一個南北標(biāo)準(zhǔn)方向線，作為標(biāo)定地圖方向和測定目標(biāo)方位的依據(jù)。

64一、標(biāo)準(zhǔn)方向的種類

1.真子午線方向

通過地球表面某點真子午線的切線方向，稱為該點的真子午線方向，真子午線方向是用天文測量方法或用陀螺經(jīng)緯儀測定的。

2．磁于午線方向

磁子午線方向是磁針在地球磁場的作用下，磁針自由靜止時其軸線所指的方向。磁子午線方向可用羅盤儀測定。

653．坐標(biāo)縱軸方向(中央子午線方向)我國采用高斯平面直角坐標(biāo)系，每一個6°帶或3°帶內(nèi)都以該帶的中央子午線為坐標(biāo)縱軸方向。因此，該帶內(nèi)直線定向，就用該帶的坐標(biāo)縱軸方向作為標(biāo)準(zhǔn)方向。如假定坐標(biāo)系，則用假定的坐標(biāo)縱軸(X軸)作為標(biāo)準(zhǔn)方向。

66二、表示直線方向的方法

測量和地圖中，常采用方位角來表示直線的方向。由標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起，順時針方向量到某直線的夾角，稱為該直線的方位角，其角值從0°~360°。

標(biāo)準(zhǔn)方向OP由不同的標(biāo)準(zhǔn)方向所得到的方位角，分別為：真方位角：A磁方位角：Am坐標(biāo)方位角：α67三、幾種方位角之間的關(guān)系

1．真方位角與磁方位角之間的關(guān)系

由于地磁南北極與地球的南北極并不重合，因此，過地面上某點的真子午線方向與磁子午線方向常不重合，兩者之間的夾角稱為磁偏角δ，磁針北端偏于其子午線以東稱東偏，偏于其子午線以西稱西偏。δ東偏取正值，西偏取負值。我國磁偏角的變化大約在+6°到-10°之間。直線的真方位角與磁方位682．真方位角與坐標(biāo)方位角之間的關(guān)系中央經(jīng)線在高斯平面上是一條直線，作為該帶的坐標(biāo)縱軸，而其它子午線投影后為收斂于兩極的曲線，地面點M、N等點的真子午線方向與中央子午線之間的夾角，稱為子午線收斂角γ。在中央子午線以東地區(qū)，各點的坐標(biāo)縱軸偏在真子午線的東邊，γ為正值；在中央子午線以西地區(qū)，γ為負值。直線的真方位角與磁方位角之間可用下式進行換算693．坐標(biāo)方位角與磁方位角的關(guān)系若已知某點的磁偏角δ與子午線收斂角γ，則坐標(biāo)方位角與磁方位角之間的換算式為

—為磁坐偏角70當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)方向為坐標(biāo)縱軸(中央子午線)方向時，直線的方位角稱為坐標(biāo)方位角(，簡稱方向角)。XYABAB例1：已知CD=782024，JK=3261230，求DC，KJ：各點的坐標(biāo)縱軸方向都是平行的，所以，一條直線有兩個相差180的方位角，互稱為正、反方位角。正、反方位角關(guān)系BAABBA=AB180解：DC=2582024KJ=1461230四.正、反坐標(biāo)方位角及其推算71

第四節(jié)地圖的比例尺

1.地圖比例尺的含義地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應(yīng)直線水平投影長度之比。可表達為（d為圖上距離，D為實地距離）

根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺：

在投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有變形處的比例尺。722.地圖比例尺的表示 ①

數(shù)字式比例尺

如1:10000 ②文字式比例尺

如百萬分之一 ③

圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復(fù)式比例尺

73斜分比例尺也稱微分比例尺，是依據(jù)相似三角形原理制成的圖解比例尺。使量測精度達到三位數(shù)（10-3）。74等角正切圓柱投影緯線比例尺主比例尺為1：100萬，（0°緯線方向。）

30°緯線方向：n=1.155;

45°緯線方向：n=1.3

60°緯線方向：n=2

7576第五節(jié)地圖的分幅與編號地圖分幅有按坐標(biāo)格網(wǎng)矩形分幅和經(jīng)緯線梯形分幅兩種形式。矩形分幅，即按一定大小的矩形劃分圖幅，使每幅地圖都有一個矩形的圖廓，其相鄰圖幅均以直線劃分的分幅方法。梯形分幅，是以具有一定經(jīng)緯差的梯形劃分圖幅，有經(jīng)緯線構(gòu)成每幅地圖圖廓的分幅方法。一、地圖的分幅77比例尺1：100萬1：50萬1：25萬1：20萬1：10萬1：5萬1：2.5萬1：1萬1：5千圖幅范圍經(jīng)差6?3?1?30'1?30'15'7'30"3'45"1'52.5"緯差4?2?1?40'20'10'5'2'30"1'15"圖幅間數(shù)量關(guān)/p>