第二章 機(jī)器人靜力分析及動(dòng)力學(xué)

第2章機(jī)器人靜力分析與動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)下研究的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析只限于靜態(tài)位置問題的討論，未涉及機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的力、速度、加速度等動(dòng)態(tài)過程。實(shí)際上，機(jī)器人是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，機(jī)器人系統(tǒng)在外載荷和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩(驅(qū)動(dòng)力)的作用下將取得靜力平衡，在關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩(驅(qū)動(dòng)力)的作用下將發(fā)生運(yùn)動(dòng)變化。機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能不僅與運(yùn)動(dòng)學(xué)因素有關(guān)，還與機(jī)器人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置、傳動(dòng)裝置等對(duì)動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生重要影響的因素有關(guān)。第5次機(jī)器人動(dòng)力學(xué)主要研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)特性和受力之間的關(guān)系，目的是對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制、優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)兩類問題：動(dòng)力學(xué)正問題和動(dòng)力學(xué)逆問題。動(dòng)力學(xué)正問題：已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度、運(yùn)動(dòng)軌跡；動(dòng)力學(xué)逆問題：已知機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力和力矩。2.1機(jī)器人雅可比矩陣2.2機(jī)器人靜力分析2.3機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程2.4機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性

2.1機(jī)器人雅可比矩陣

機(jī)器人雅可比矩陣J（簡(jiǎn)稱雅可比）揭示了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。不僅表示速度映射關(guān)系，也表示力的傳遞關(guān)系。也稱機(jī)器人雅可比矩陣J為機(jī)器人的速度雅可比，具體為：它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)dθ與手部作業(yè)空間微小位移dX的關(guān)系。J中元素是關(guān)于θ1及θ2的函數(shù)。換言之：機(jī)械手的操作速度與關(guān)節(jié)速度間的線性變換定義為機(jī)械手的雅可比矩陣。

2.1.1機(jī)器人雅可比的定義

雅可比是一個(gè)把關(guān)節(jié)速度向量變換為手爪相對(duì)基坐標(biāo)的廣義速度向量v的變換矩陣。通過一個(gè)例子來說明。圖示為二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人，端點(diǎn)位置X、Y與關(guān)節(jié)θ1、θ2的關(guān)系為將其微分，并寫成矩陣形式為令上式可簡(jiǎn)寫為 dX=Jdθ

推而廣之，對(duì)于n自由度機(jī)器人，關(guān)節(jié)變量可用廣義關(guān)節(jié)變量q表示，q=[q1,q2,

…,qn]T，當(dāng)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)qi=θi；當(dāng)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)qi=di，dq=[dq1，dq2,

…

,dqn]T，反映了關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q)，并且是一個(gè)6維列矢量。

dX=[dX，dY，dZ，φX，φY，φZ]T

反映了操作空間的微小運(yùn)動(dòng)，它由機(jī)器人末端微線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動(dòng))組成。有

dX=J(q)dq

式中：J(q)是6×n維偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為

n自由度機(jī)器人速度雅可比。J(q)2.1.2機(jī)器人速度分析

對(duì)式dX=J(q)dq左、右兩邊各除以dt得

或表示為

v為機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度；為機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)為確定關(guān)節(jié)空間速度與操作空間速度v之間關(guān)系的雅可比矩陣。

對(duì)于前面圖示機(jī)器人若令J1，J2分別為雅可比的

第1列矢量和第2列矢量，則有 式中：右邊第一項(xiàng)表示僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；右邊第二項(xiàng)表示僅由第二個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；總的端點(diǎn)速度為這兩個(gè)速度矢量的合成。因此，機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其他關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。

假如已知的及是時(shí)間的函數(shù)，即，，則可求出該機(jī)器人手部在某一時(shí)刻的速度v=f

(t)，即手部瞬時(shí)速度。反之，假如給定機(jī)器人手部速度，可解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度為

式中：J–1稱為機(jī)器人逆速度雅可比。，，[例]圖示的二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s的速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬時(shí)θ1=30°，θ2=60°，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。解：二自由度機(jī)械手速度雅可比為

因此，逆雅可比為

由，且，，即vX=1m/s，vY=0，有

2.1.3機(jī)器人雅可比討論對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人，其雅可比J的行數(shù)恒為3，列數(shù)則為機(jī)械手含有的關(guān)節(jié)數(shù)目，手的廣義位置向量[X，Y，φ]T均容易確定，且方位φ與角運(yùn)動(dòng)的形成順序無關(guān)，故可采用直接微分法求φ，非常方便。在三維空間作業(yè)的六自由度機(jī)器人的雅可比J的前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比，后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比。而雅可比矩陣J的每一列則代表相應(yīng)關(guān)節(jié)速度對(duì)手部線速度和角速度的傳遞比，J陣的行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個(gè))，通過三維空間運(yùn)行的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以獲得直角位置向量[X，Y，Z]T的顯式方程。因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量[φX，φY，φZ]T的一般表達(dá)式。這是因?yàn)?，雖然可以用角度如回轉(zhuǎn)角、俯仰角及偏轉(zhuǎn)角等來規(guī)定方位，卻找不出互相獨(dú)立、無順序的三個(gè)轉(zhuǎn)角來描述方位；繞直角坐標(biāo)軸的連續(xù)角運(yùn)動(dòng)變換不滿足交換率，而角位移的微分與角位移的形成順序無關(guān)，故一般不能運(yùn)用直接微分法來獲得J的后三行。因此常用構(gòu)造法求雅可比J。雅可比矩陣（6自由度機(jī)器人）聯(lián)系機(jī)器人關(guān)節(jié)速度與末端的笛卡兒速度設(shè)：（為便于表達(dá)，寫成分塊矩陣的形式）1、已知各關(guān)節(jié)的速度求操作臂末端的速度如果希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，則應(yīng)計(jì)算出沿路徑每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。但是，當(dāng)雅可比的秩不是滿秩時(shí)，求解逆速度雅可比J

–1較困難，有時(shí)還可能出現(xiàn)奇異解，此時(shí)相應(yīng)操作空間的點(diǎn)為奇異點(diǎn)，無法解出關(guān)節(jié)速度，機(jī)器人處于退化位置。機(jī)器人的奇異形位分為兩類：

1)邊界奇異形位：當(dāng)機(jī)器人臂全部伸展開或全部折回時(shí)，使手部處于機(jī)器人工作空間的邊界上或邊界附近，出現(xiàn)逆雅可比奇異，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)受到物理結(jié)構(gòu)的約束。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位叫做邊界奇異形位。

2)內(nèi)部奇異形位：兩個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)節(jié)軸線重合時(shí)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)相互抵消，不產(chǎn)生操作運(yùn)動(dòng)。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位叫做內(nèi)部奇異形位。當(dāng)機(jī)器人處在奇異形位時(shí)會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多的自由度。這意味著在工作空間的某個(gè)方向上，不管怎樣選擇機(jī)器人關(guān)節(jié)速度，手部也不可能實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。例如，對(duì)于例題，當(dāng)l1l2sθ2=0時(shí)，無解。l1≠0、l2≠0，即θ2=0或θ2=180°時(shí)，二自由度機(jī)器人逆速度雅可比J

–1奇異。這時(shí)，該機(jī)器人二臂完全伸直或完全折回，機(jī)器人處于奇異形位。在這種奇異形位下，手部正好處于工作空間的邊界，手部只能沿著一個(gè)方向(即與臂垂直的方向)運(yùn)動(dòng)，不能沿其他方向運(yùn)動(dòng)，退化了一個(gè)自由度。2.2機(jī)器人靜力分析機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置提供關(guān)節(jié)力和力矩，通過連桿傳遞到末端執(zhí)行器，克服外界作用力和力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和力矩與末端執(zhí)行器施加的力和力矩之間的關(guān)系是機(jī)器人操作臂力控制的基礎(chǔ)。2.2.1操作臂力和力矩的平衡如圖示，桿i

通過關(guān)節(jié)i和i+1分別與桿i–1和i+1相連接，建立兩個(gè)坐標(biāo)系{i–1}和{i}。定義如下變量：

fi–1，I及ni–1，i

——i–1桿通過關(guān)節(jié)i作用在i桿上的力和力矩；

fi，i+1及ni，i+1——i桿通過關(guān)節(jié)i+1作用在i+1桿上的力和力矩；

–fi，i+1及–ni，i+1——i+1桿通過關(guān)節(jié)i+1作用在i桿上的反作用力和反作用力矩；

fn，n+1及nn，n+1——機(jī)器人最末桿對(duì)外界環(huán)境的作用力和力矩；

–fn，n+1及–nn，n+1——外界環(huán)境對(duì)機(jī)器人最末桿的作用力和力矩；

f0，1及n0，1——機(jī)器人機(jī)座對(duì)桿1的作用力和力矩；

mig——連桿i的重量，作用在質(zhì)心Ci上。

連桿的靜力平衡條件為其上所受的合力和合力矩為零，因此力和力矩平衡方程式為:

式中：ri–1，i

—坐標(biāo)系{i}的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{i+1}的位置矢量；

ri，ci

—質(zhì)心相對(duì)于坐標(biāo)系{i}的位置矢量。

假如已知外界環(huán)境對(duì)機(jī)器人末桿的作用力和力矩，那么可以由最后一個(gè)連桿向零連桿(機(jī)座)依次遞推，從而計(jì)算出每個(gè)連桿上的受力情況。2.2.2機(jī)器人力雅可比

為了便于表示機(jī)器人手部端點(diǎn)的力和力矩(簡(jiǎn)稱為端點(diǎn)廣義力F

)，可將fn，n+1和nn，n+1合并寫成一個(gè)6維矢量

各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫成一個(gè)n維矢量的形式，即

式中：n為關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)；τ為關(guān)節(jié)力矩(或關(guān)節(jié)力)矢量，簡(jiǎn)稱廣義關(guān)節(jié)力矩。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，τi表示關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩；對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，τi表示關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力。

假定關(guān)節(jié)無摩擦，并忽略各桿件的重力，利用虛功原理推導(dǎo)機(jī)器人手部端點(diǎn)力F與關(guān)節(jié)力矩τ的關(guān)系。

上式表示了在靜態(tài)平衡狀態(tài)下，手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間的線性映射關(guān)系。式中JT與手部端點(diǎn)力F和廣義關(guān)節(jié)力矩τ之間的力傳遞有關(guān)，稱為機(jī)器人力雅可比。顯然，機(jī)器人力雅可比JT是速度雅可比J的轉(zhuǎn)置矩陣。2.2.3機(jī)器人靜力計(jì)算機(jī)器人操作臂靜力計(jì)算可分為兩類問題：

1)已知外界環(huán)境對(duì)機(jī)器人手部的作用力F，利用式求相應(yīng)的滿足靜力平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ。

2)已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩τ，確定機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的作用力或負(fù)載的質(zhì)量。是第一類問題的逆解。逆解的關(guān)系式為F=(JT)–1τ

機(jī)器人的自由度不是6時(shí)，例如n>6時(shí)，力雅可比矩陣就不是方陣，則JT

就沒有逆解。所以，第二類問題的求解就困難得多，一般情況不一定能得到惟一的解