第二章 被控過程數(shù)學(xué)模型

第二章被控過程的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)概述第二節(jié)解析法建立過程的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)響應(yīng)曲線辨識過程的數(shù)學(xué)模型第四節(jié)相關(guān)函數(shù)法辨識過程的數(shù)學(xué)模型重點(diǎn)內(nèi)容對象模型（連續(xù)、離散）理論建模實(shí)驗(yàn)建?；旌辖５谝还?jié)概述基本概念：

被控過程：指正在運(yùn)行中的多種多樣的被控制的生產(chǎn)工藝設(shè)備過程控制系統(tǒng)的品質(zhì)是由組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)及其特性所決定。被控過程的數(shù)學(xué)模型：指過程在各輸入量作用下，其相應(yīng)輸出量變化函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。一、過程建模的目的1、設(shè)計過程控制系統(tǒng)和整定調(diào)節(jié)器參數(shù)2、指導(dǎo)設(shè)計生產(chǎn)工藝設(shè)備3、進(jìn)行仿真試驗(yàn)研究4、培訓(xùn)運(yùn)行操作人員二、過程的數(shù)學(xué)模型類型1、非參數(shù)模型：階躍響應(yīng)曲線、脈沖響應(yīng)曲線、頻率特性曲線，即都是用曲線表示2、參數(shù)模型：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)、狀態(tài)方程、差分方程等，即都是用數(shù)學(xué)方程式和函數(shù)表示被控過程分為：1、多輸入、單輸出2、多輸入、多輸出如圖:單回路控制系統(tǒng)框圖過程通道：控制通道：擾動通道：被控過程輸入量與輸出量之間的信號聯(lián)系控制作用與被控量之間的信號聯(lián)系擾動作用與被控量之間的信號聯(lián)系解析法：

又稱為機(jī)理演繹法，根據(jù)過程的內(nèi)在機(jī)理，運(yùn)用已知的靜態(tài)和動態(tài)物料（能量）平衡關(guān)系，用數(shù)學(xué)推理的方法建立過程的數(shù)學(xué)模型。

建立過程數(shù)學(xué)模型的基本方法：實(shí)驗(yàn)辨識法：又稱為系統(tǒng)辨識與參數(shù)估計法。該法是根據(jù)過程輸入、輸出的實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)，通過過程辨識和參數(shù)估計建立過程的數(shù)學(xué)模型?；旌戏?

即用上述兩種方法的結(jié)合建立過程的數(shù)學(xué)模型。首先通過機(jī)理分析確定過程模型的結(jié)構(gòu)形式，然后利用實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)來確定模型中各參數(shù)的大小解析法建模的一般步驟1）明確過程的輸出變量、輸入變量和其他中間變量；2）依據(jù)過程的內(nèi)在機(jī)理和有關(guān)定理、定律以及公式列寫靜態(tài)方程或動態(tài)方程；3）消去中間變量，求取輸入、輸出變量的關(guān)系方程；4）將其簡化成控制要求的某種形式，如高階微分（差分）方程或傳遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)）等；第二節(jié)解析法建立過程的數(shù)學(xué)模型被控過程的特點(diǎn)：1、被控量的變化往往是不震蕩、單調(diào)的、有滯后和慣性的。如圖：

過程的階躍響應(yīng)曲線a)2、有的過程響應(yīng)也可能不斷變化如圖：

過程的階躍響應(yīng)曲b)被控過程的自平衡能力和無自平衡能力自平衡能力：過程在輸入量作用下，平衡狀態(tài)被破壞后，無須人或儀器的干擾，依靠過程自身能力，逐漸恢復(fù)達(dá)到另一新的平衡狀態(tài)，此特性稱為自平衡能力無自平衡能力：被控過程在輸入量作用下，其平衡狀態(tài)被破壞后，沒有人或儀器的干預(yù)，依靠過程自身能力，最后不能恢復(fù)其平衡狀態(tài)，此特性稱為無自平衡能力。一、單容過程的建模例1：某單容液位過程，如下圖。貯罐中液位高度h為被控參數(shù),流入貯罐的體積流量為q1過程的輸入量并可通過閥門1的開度來改變；流出貯罐的體積流量q2為過程的干擾，其大小可以通過閥門2的開度來改變。試確定q1與h之間的數(shù)學(xué)關(guān)系?解

根據(jù)動態(tài)物料平衡關(guān)系，即在單位時間內(nèi)貯罐的液體流入量與單位時間內(nèi)貯罐的液體流出量之差應(yīng)等于貯罐中液體貯存量的變化率則有：寫為增量形式為其中分別為偏離某平衡狀態(tài)的增量，A為貯罐的截面積。假定近似成正比而與閥門2的液阻R2成反比，即帶入增量式中可得單容液位過程的微分方程增量式

進(jìn)行拉普拉斯變換，

并寫成傳遞函數(shù)形式其中：為被控過程的時間常數(shù)為被控過程的放大系數(shù)為被控過程的容量系數(shù)，或稱

過程容量，這里在工業(yè)過程中，被控過程一般都有一定的貯存物料和能量的能力，貯存能力的大小通常用容量或容量系數(shù)表示，其含義為引起單位被控量變化時被控過程貯存量變化的大小。在有些被控過程中，還經(jīng)常存在純滯后問題，如物料的皮帶輸送過程，管道輸送過程等。為過程的輸入量，那么，當(dāng)閥1的開度產(chǎn)生需流經(jīng)長度為的管道后才能進(jìn)入貯罐而使液位發(fā)生變化。需經(jīng)一段延時才能被控制在上例中，如果以體積流量變化后，即可以得到純滯后的單容過程的微分方程和傳遞函數(shù)單容過程的階躍響應(yīng)曲線：比較有延遲與無延遲的區(qū)別例2-2加熱過程

根據(jù)動態(tài)能量平衡關(guān)系

Q2可表示為

拉氏變換

傳遞函數(shù)為T1T2Q2220VQ1圖2-5電加熱器溫度對象例2-3無自衡單容過程

根據(jù)動態(tài)物料平衡關(guān)系

常數(shù)

寫成增量的形式為：

傳遞函數(shù)為

Q1hQ2定量泵圖2-6單容無自衡液位過程及其相應(yīng)曲線二、多容過程的建模以自衡特性的雙容過程為例，如圖設(shè)q1為過程輸入量，第二個液位槽的液位h2為過程輸出量，若不計第一個與第二個液位槽之間液體輸送管道所形成的時間延遲，試求q1與h2之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。解根據(jù)動態(tài)平衡關(guān)系，列出以下增量方程進(jìn)行拉普拉斯變換，整理

得到傳遞函數(shù)、數(shù)學(xué)模型為槽1的時間常數(shù)為槽2的時間常數(shù)其中與單容的自平衡階躍響應(yīng)過程相比較二階過程的階躍響應(yīng)曲線特點(diǎn)：被控參數(shù)的變化速度不是一開始就最大，而是要經(jīng)過一段延時時間后才達(dá)到最大值，這段時延時間稱為容量時延。雙容過程也可以用有時延的單容過程來近似：在S形曲線的拐點(diǎn)上作一切線，若將它與時間軸的交點(diǎn)近似為反應(yīng)曲線的起點(diǎn)，0tτcT0Δh2（∞）?h2(t)=K0?μ1

(1－e)t≥τc

-(t－τc)T00t<τc被控過程的容量系數(shù)C越大，τc越大；容量個數(shù)越多（階數(shù)n越多），階躍響應(yīng)曲線上升越慢。Δh(∞)OtΔhn=1n=2n=3n=4n=5切線在時間軸上截出的時間段τc為容量滯后。補(bǔ)充：容量滯后與純滯后1.容量滯后0tτcT0Δh2（∞）2、純滯后由信號或能量的傳輸時間造成的滯后現(xiàn)象。如圖是一個用蒸汽來控制水溫的系統(tǒng)。蒸汽作用點(diǎn)與被調(diào)量測量點(diǎn)相隔l距離，蒸汽量階躍增大引起的水溫升高，要經(jīng)過路程l后才反應(yīng)出來。0tτ0℃v——水的流速；0tτ0℃純滯后時間有些對象容量滯后與純滯后同時存在，很難嚴(yán)格區(qū)分。常把兩者合起來，統(tǒng)稱為滯后時間τ

τ=τo+τc0tτcT0Δh2（∞）τ0例2-5無自衡能力的雙容過程分別對水箱1和水箱2列寫物料平衡方程，可以得到無自平衡能力的多容對象的傳遞函數(shù)為：

若多容無自平衡對象具有純遲延時，則

第三節(jié)響應(yīng)曲線辨識過程的數(shù)學(xué)模型試驗(yàn)辨識法可分為經(jīng)典辨識法與現(xiàn)代辨識法兩大類。在經(jīng)典辨識法中，最常用的有基于響應(yīng)曲線的辨識方法；在現(xiàn)代辨識法中，又以最小二乘辨識法最為常用。響應(yīng)曲線法響應(yīng)曲線法是指通過操作調(diào)節(jié)閥，使被控過程的控制輸入產(chǎn)生一階躍變化或方波變化，得到被控量隨時間變化的響應(yīng)曲線或輸出數(shù)據(jù)，再根據(jù)輸入－輸出數(shù)據(jù)，求取過程的輸入－輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。響應(yīng)曲線法又分為階躍響應(yīng)曲線法和方波響應(yīng)曲線法

1）試驗(yàn)測試前，被控過程應(yīng)處于相對穩(wěn)定的工作狀態(tài)；注意事項2）在相同條件下應(yīng)重復(fù)多做幾次試驗(yàn)，減少隨機(jī)干擾的影響3）對正、反方向的階躍輸入信號進(jìn)行試驗(yàn)，以衡量過程的非線性程度；4）一次試驗(yàn)后，應(yīng)將被控過程恢復(fù)到原來的工況并穩(wěn)定一段時間再做第二次試驗(yàn)；5）輸入的階躍幅度不能過大，以免對生產(chǎn)的正常進(jìn)行產(chǎn)生不利影響。但也不能過小，以防其它干擾影響的比重相對較大而影響試驗(yàn)結(jié)果。一、階躍響應(yīng)曲線法二、矩形脈沖響應(yīng)曲線的測定

矩形脈沖響應(yīng)曲線是在正常輸入的基礎(chǔ)上，施加一矩形脈沖輸入，并測取相應(yīng)輸出的變化曲線，據(jù)此估計過程參數(shù)。通常在實(shí)驗(yàn)獲取矩形脈沖響應(yīng)曲線后，先將其轉(zhuǎn)換為階躍響應(yīng)曲線，然后再按階躍響應(yīng)法確定有關(guān)參數(shù)。如圖所示、輸出響應(yīng)由兩個時間相差t0、極性相反、形狀完全相同的階躍響應(yīng)的疊加而成。

于是得到階躍響應(yīng)為t=0～t0階躍響應(yīng)曲線與矩形脈沖響應(yīng)曲線重合t=0～2t0時，三、常用數(shù)學(xué)模型在完成階躍響應(yīng)試驗(yàn)后，應(yīng)根據(jù)試驗(yàn)所得的響應(yīng)曲線確定模型的結(jié)構(gòu)對于大多數(shù)過程，數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)分別為：一階慣性一階慣性+純滯后二階慣性+純滯后二階慣性對于某些無自衡特性過程，

其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為：注意：對于更高階或其它較復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)在保證辨識精度的前提下， 數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)應(yīng)盡可能簡單（一）由階躍響應(yīng)曲線確定一階過程的參數(shù)曲線特點(diǎn)：t=0時曲線斜率最大，之后斜率減小，逐漸上升至穩(wěn)態(tài)值。1.直角坐標(biāo)圖解法對象參數(shù)K0參數(shù)T0：過原點(diǎn)作曲線的切線，該切線與y(∞)交于A點(diǎn)，則OA在時間軸上的投影即為時間常數(shù)

的確定還可以使用計算法：令t分別為時，則有在階躍響應(yīng)曲線上求得三個狀態(tài)下的時間t1、t2、t3，計算出（二）由階躍響應(yīng)曲線確定一階時延過程的參數(shù)曲線特點(diǎn)：t=0時曲線斜率幾乎為零，之后斜率增大，到某點(diǎn)后斜率又減小，曲線呈S形。1.作圖法確定模型參數(shù)對象參數(shù)K0參數(shù)T0和τ：過D點(diǎn)作曲線的切線，該切線與y(∞)、X軸線交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，則BA在時間軸上的投影為C。

（二）由階躍響應(yīng)曲線確定一階時延過程的參數(shù)2.計算法確定模型參數(shù)在曲線上選取四個點(diǎn)：（三）由階躍響應(yīng)曲線確定二階過程的參數(shù)T1和T2的確定采用兩點(diǎn)法取兩點(diǎn)：求解方程：二階慣性注意：用這種方法確定T1和T2時，應(yīng)滿足的條件因?yàn)?，?dāng)時，應(yīng)為一階環(huán)節(jié)其中當(dāng)時，應(yīng)為二階環(huán)節(jié)其中時，應(yīng)為二階以上環(huán)節(jié)。當(dāng)對于n階環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)可以按近似計算大小由下表確定其中n可以根據(jù)的n1234