第五章線性系統(tǒng)頻率分析

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析§5.1頻率特性的概念§5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性§5.4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性§5.3系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性§5.5利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能§5.6利用閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能本章重點(diǎn)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制(包括極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖)；乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)及其在Bode圖中的應(yīng)用；對(duì)數(shù)頻率特性和閉環(huán)系統(tǒng)性能的關(guān)系；開(kāi)環(huán)頻率特性指標(biāo)；閉環(huán)頻率特性指標(biāo)。本章難點(diǎn)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制；乃奎斯特判據(jù)的原理及其應(yīng)用；剪切頻率及相角、幅值裕度的求?。欢A系統(tǒng)頻率特性指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)的換算；典型二型系統(tǒng)頻、時(shí)域指標(biāo)的定性關(guān)系。時(shí)域方法準(zhǔn)確、直觀。但用解析法求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)不易。正弦輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量稱為頻率響應(yīng)。系統(tǒng)頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)的關(guān)系稱為頻率特性。是一種圖解分析法，不僅可以反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且可以用來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性的暫態(tài)性能。具有明確的物理意義。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是傅利葉變換?！?.1頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個(gè)幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。AB相角問(wèn)題①

穩(wěn)態(tài)輸出遲后于輸入的角度為：②該角度與ω有BA360oφ=AB③該角度與初始關(guān)系∴為φ(ω),角度無(wú)關(guān)∴,…例：如圖所示電氣網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為若輸入為正弦信號(hào)：其拉氏變換為：輸出拉氏變換為：其拉氏反變換為：一、頻率特性的定義

其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：上式表明：對(duì)于正弦輸入，其輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是一個(gè)同頻率正弦信號(hào)。但幅值降低，相角滯后。輸入輸出為正弦函數(shù)時(shí)，可以表示成復(fù)數(shù)形式，設(shè)輸入為Xej0，輸出為Yejφ，則輸出輸入之復(fù)數(shù)比為：—幅值頻率特性—相角頻率特性頻率特性的定義：

線性定常系統(tǒng)（或元件）的頻率特性是指：在零初始條件下穩(wěn)態(tài)輸出的正弦信號(hào)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比。例題中輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)表示為：例題中輸出信號(hào)的復(fù)數(shù)表示為：它們之比為：010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90幅頻特性和相頻特性數(shù)據(jù)頻率特性G(jω)也可以表示成實(shí)部和虛部的復(fù)數(shù)形式。二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式為輸入為r(t)=Msin(ωt)，若無(wú)重極點(diǎn)，上式可寫(xiě)為若系統(tǒng)穩(wěn)定，pi都具有負(fù)實(shí)部，則穩(wěn)態(tài)分量為：G(jω)是一復(fù)數(shù)，可寫(xiě)為得到線性系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性：頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系為

系統(tǒng)的頻率特性也是輸入信號(hào)的氏變換和輸出信號(hào)的傅氏變換之比。系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：其中經(jīng)過(guò)傅氏反變換三、頻率特性的幾種圖示方法1.幅相頻率特性曲線

它是在復(fù)平面上以極坐標(biāo)的形式來(lái)描述的。又稱極坐標(biāo)圖。又稱Nyquist曲線。系統(tǒng)的頻率特性可表示為：對(duì)某一固定頻率ω1在極坐標(biāo)系中畫(huà)出該向量。ω從-∞→+∞變換時(shí)該向量在極坐標(biāo)系中形成的曲線，稱為Nyquist曲線。實(shí)頻特性是ω的偶函數(shù)，虛頻特性是ω的奇函數(shù)。為什么？慣性環(huán)節(jié)G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.45 0.37 0.24 0.052.對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上繪制，由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲線所組成。頻率的對(duì)數(shù)分度半對(duì)數(shù)坐標(biāo)：橫坐標(biāo)不均勻，而縱坐標(biāo)是均勻刻度。十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程對(duì)數(shù)幅頻特性：指G(jω)的對(duì)數(shù)值20lg|G(jω)|和頻率ω的關(guān)系曲線。對(duì)數(shù)相頻特性：指G(jω)的相角值φ(ω)和頻率ω的關(guān)系曲線。即縱坐標(biāo)L(ω)稱為對(duì)數(shù)幅值，單位是dB(分貝)?？v坐標(biāo)是的單位是“°”。采用線性刻度。采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：（1）將低頻段展開(kāi)，將高頻段壓縮。（2）當(dāng)系統(tǒng)由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時(shí)，簡(jiǎn)化運(yùn)算?！?）所有典型環(huán)節(jié)乃至系統(tǒng)的頻率特性可用分段直線近似表示。（4）容易將頻率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用分段直線擬合，從而得到對(duì)數(shù)頻率特性或傳遞函數(shù)。3.對(duì)數(shù)幅相特性曲線（Nichols圖)由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性合并而成。可以方便求出系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性及有關(guān)特征參數(shù)，作為評(píng)估系統(tǒng)性能的依據(jù)?！?.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性、典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性步驟：（1）求環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)；（2）令s=jω,求出頻率特性表達(dá)式G(jω)（3）G(jω)分為實(shí)部P(ω)和虛部Q(ω)，若G(jω)的分母為復(fù)數(shù)和虛實(shí)需要做有理化處理。（4）求出幅頻和相頻特性A(ω)和的表達(dá)式，根據(jù)不同的值計(jì)算和在極坐標(biāo)上描點(diǎn)并繪制成曲線。一、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K=const

頻率特性表達(dá)式為：返回ωL(ω)/dB0dBω0°φ(ω)20lgK比例環(huán)節(jié)的Bode圖二、慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：此慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一個(gè)以(1/2,j0)為圓心，以1/2為半徑的半圓。

0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1慣性環(huán)節(jié)1G(jω)慣性環(huán)節(jié)的bode圖采用近似方法，即用漸近線分段表示頻率特性。對(duì)數(shù)幅頻特性為：在低頻段，ω<<1/τ，即ωτ<<1，可略去ω2τ2。頻率特性可近似為：L(ω)≈0dB在高頻段，ω>>1/τ，即ωτ>>1，可略去1。頻率特性可近似為：L(ω)≈-20lgωτω的頻率增大10倍時(shí)ΔL(ω)=L(10ω1)-L(ω1)=-20(dB)高頻漸近線具有-20dB/10倍頻程的斜率，記為-20db/dec或[-20]。高頻漸近線正好在ωτ＝1處與低頻漸近線相交，交點(diǎn)處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率?！皖l漸近線—高頻漸近線0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[+20]8db返回慣性環(huán)節(jié)L(ω)三、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：ω＝1時(shí)，L(ω)＝-20lg1=0dBω＝10時(shí)，L(ω)＝-20lg10=-20dB0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20]返回積分環(huán)節(jié)L(ω)四、微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：ω＝1時(shí)，L(ω)＝20lg1=0dBω＝10時(shí)，L(ω)＝20lg10=20dB0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[+20]返回微分環(huán)節(jié)L(ω)

（2）一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性為：在低頻段，即ωτ<<1，可略去ω2τ2。在高頻段，即ωτ>>1，可略去1。0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[+20]-8db返回一階微分L(ω)

（3）二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：頻率特性為：二階微分j01幅相曲線對(duì)數(shù)幅頻漸近曲線0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ξ<0.707時(shí)有峰值：0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω返回0.1110100[40]二階微分L(ω)

五、振蕩環(huán)節(jié)(0<ξ<0.707)0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:B:返回振蕩環(huán)節(jié)G(jω)振蕩環(huán)節(jié)L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]振蕩環(huán)節(jié)再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5ξ=0.50.5＜ξ＜1提醒:φ(ωn)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w=ω=

r五、滯后環(huán)節(jié)ω0dBω0°φ(ω)L(ω)/dB90°180°270°§5.3系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性的繪制例5.1設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為已知：K＝10，T1＝1，T2＝5，繪制開(kāi)環(huán)幅相頻率特性。可以得到開(kāi)環(huán)幅相特性為：例5.2設(shè)某I型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為繪制開(kāi)環(huán)幅相頻率特性。ImReω→0-K(T1+T2)ω→∞0GH平面繪制開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖時(shí)應(yīng)注意的特征ω→0時(shí)，低頻段從何處出發(fā)？ω→∞時(shí)，高頻段以何種姿態(tài)卷入原點(diǎn)？曲線在ω為何值時(shí)穿越實(shí)軸和虛軸？穿越的坐標(biāo)值為多少？ω→0時(shí)，低頻段的表達(dá)式為：幅頻和相頻表達(dá)式分別為：ω→∞時(shí)，高頻段的幅頻和相頻特性為：n-m=1時(shí)，曲線沿負(fù)虛軸卷向原點(diǎn)；n-m=2時(shí)，曲線沿負(fù)實(shí)軸卷向原點(diǎn)；n-m=3時(shí)，曲線沿正虛軸卷向原點(diǎn)。試分析v=0、1、2時(shí)，曲線的起始點(diǎn)情況？N-m=1ReImω→0ω→0ω→0ω→∞0型

Ⅰ型

Ⅱ型

ReImGH平面極坐標(biāo)的低頻段極坐標(biāo)的高頻段N-m=2N-m=3GH平面0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]例題1：繪制的幅相曲線。解：求交點(diǎn)：

曲線如圖所示：返回開(kāi)環(huán)幅相曲線的繪制二、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性的繪制如果已知幾個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)頻率特性，則系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性為：步驟—求出低頻漸近線的斜率和位置。再確定轉(zhuǎn)折頻率和轉(zhuǎn)折和的直線的斜率。由低頻到高頻繪出開(kāi)環(huán)頻率特性。1.低頻漸近線的繪制ω→0時(shí)，G(jω)低頻段表達(dá)式為：則幅頻特性為：無(wú)論v為何值，ω=1時(shí)，總是L(ω)＝20lgK(dB)。特征：低頻漸近線（或延長(zhǎng)線）在ω=1處的高度為20lgK(dB)，K是開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)。與0dB相交點(diǎn)的頻率為K1/v。低頻漸近線的斜率為－20v(dB/dec)，v是無(wú)差度的階數(shù)。2.轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定經(jīng)過(guò)ωi后，斜率變化量為+20dB/dec。經(jīng)過(guò)ωk后，斜率變化量為+40dB/dec。經(jīng)過(guò)ωj后，斜率變化量為-20dB/dec。經(jīng)過(guò)ωl后，斜率變化量為-40dB/dec。相頻特性的表達(dá)式為：定義：若L(ωc)＝0dB，則ωc稱作剪切頻率，也叫0dB頻率。剪切頻率下的相角為φ(ωc)。繪制L(ω)例題100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]繪制的L(ω)曲線低頻段：時(shí)為38db時(shí)為52db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]ωc-剪切頻率0.52812dB[-20][-40][-20][-60]三.最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)和開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)1.最小相位傳遞系統(tǒng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)的全部極點(diǎn)位于s平面的左半部，沒(méi)有零點(diǎn)落在s的右半平面。2.非最小相位系統(tǒng)

系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)有一個(gè)或多個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)落在右半s平面上，則這種函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。3.開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)：系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)有一個(gè)或多個(gè)極點(diǎn)落在s平面的右半部。最小相位系統(tǒng)—在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)ω從0變至∞時(shí)，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。例：最小相位系統(tǒng)的特點(diǎn)：（1）最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性是密切相關(guān)的。若L(ω)特性的斜率變得更負(fù)，則對(duì)數(shù)相頻特性的相位也要朝著更負(fù)的方向變化；反之亦然。(2)對(duì)于最小相位系統(tǒng)，對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性是一一對(duì)應(yīng)的。對(duì)于最小相位系統(tǒng)一般只畫(huà)出幅頻特性就夠了，而對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，要同時(shí)畫(huà)出幅頻和相頻特性。§5.4乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性一、映射定理（幅角定理）設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為：由復(fù)變函數(shù)的理論可知：如果函數(shù)F(s)在s平面的指定區(qū)域內(nèi)是非奇異的，則對(duì)應(yīng)于此區(qū)域上的任何一點(diǎn)d，都可以通過(guò)F(s)的映射關(guān)系在F(s)平面內(nèi)找到對(duì)應(yīng)的一個(gè)點(diǎn)d′(稱d′為d的象)，對(duì)于s平面內(nèi)任何一條不通過(guò)F(s)奇異點(diǎn)的封閉曲線Γ，也可以通過(guò)F(s)的映射關(guān)系在F(s)平面內(nèi)找到一條與之相對(duì)應(yīng)的封閉曲線?！?稱Γ′為Γ的象)。復(fù)變函數(shù)的相角可以表示為：若在s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的一個(gè)零點(diǎn)z1，其它的零極點(diǎn)都位于封閉曲線之外，則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，相量(s+z1)的相角變化－2π，其它各相量的相角變化為零，即這意味著在F(s)平面上映射的曲線沿順時(shí)針?lè)较驀@著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周。若s平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)。則在F(s)平面上映射的曲線將按順時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)Z周。若s平面上的封閉曲線包圍著F(s)的P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，則在F(s)平面上映射的曲線將按逆時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)P周。映射定理(幅角定理)：設(shè)s平面上不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的某條封閉曲線Γ，它包圍了F(s)在s平面上的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線Γ移動(dòng)一用時(shí)，則在F平面上相對(duì)應(yīng)于封閉曲線Γ的像?！鋵⒁皂槙r(shí)針的方向圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N與Z、P的關(guān)系為N=Z－P。二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為構(gòu)造輔助函數(shù)輔助函數(shù)F(s)具有以下特點(diǎn)：(1)輔助函數(shù)F(s)是閉環(huán)特征多項(xiàng)式與開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式之比，其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為閉環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。(2)F(s)的零極點(diǎn)數(shù)目相同，都為n。(3)F(s)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)之間只差一個(gè)常量1，F(xiàn)(s)=1+G(s)H(s)的幾何意義為：F平面的坐標(biāo)原點(diǎn)就是GH平面的(-1,j0)點(diǎn)。

為了確定輔助函數(shù)F(s)位于右半s平面內(nèi)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)數(shù)，將封閉曲線Γ擴(kuò)展展為整個(gè)右平面。為此，Γ曲線由以下3段所組成：Ⅰ.正虛軸s=jω，ω從0變化到+∞；Ⅱ.半徑為無(wú)限大的右半圓，s=Rejθ，R→∞，θ由π/2變化到-π/2；Ⅲ.負(fù)虛軸s=jω，ω從-∞變化到0。ⅠⅡⅢRejθR→∞乃奎斯特回線ReIm奈氏曲線肯定包圍了F(s)位于s平面右半部的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)。

根據(jù)映射定理，當(dāng)s沿著平面上的奈奎斯特曲線移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線將按逆時(shí)針?lè)较驀@坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N=P-Z。設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)在s平面的右半部有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：F(s)在s平面的右半部無(wú)零點(diǎn)，即Z=0。如果在s平面上，s沿著奈奎斯特曲線順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線?！鋰@坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)N=P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。G(s)H(s)=F(s)-1，這意味著F(s)的映射曲線Γ′圍繞原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，相當(dāng)于G(s)H(s)圍繞著(-1,j0)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)—閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，當(dāng)ω從-∞變化到+∞時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)P周，P為位于s平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目。若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即位于s平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目為零，則閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，當(dāng)ω從-∞變化到+∞時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性不包含(-1,j0)點(diǎn)。例5.4.1設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為用乃氏判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的乃氏曲線見(jiàn)P43頁(yè)。系統(tǒng)的右半平面的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性不包含(-1,j0)點(diǎn)。N＝0。N＝P－Z所以P＝0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例5.4.2設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為ω=0時(shí)，P(ω)=5.2;ω=2.5時(shí)，P(ω)=0；Q(ω)=-5.06；ω=3時(shí)，P(ω)=2；Q(ω)=0；ω=∞，終止在原點(diǎn)。N=-2，N=P-Z，P=0，Z=2，F(xiàn)(s)有兩個(gè)不穩(wěn)定的零點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)。判斷何時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定？例2判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論K值對(duì)穩(wěn)定性的影響。K<1時(shí)，不包含(-1,j0)點(diǎn)，N=0，而P=1，所以Z=P-N=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。K>1時(shí)，逆時(shí)針包含(-1,j0)點(diǎn)一周，N=1，所以Z=P-N=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。三、奈氏判據(jù)在Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用按照幅角定理的規(guī)定，在s平面的奈氏曲線不能通過(guò)F(s)的奇異點(diǎn)。重新定義乃氏曲線如下：Ⅰ.正虛軸s=jω，ω從0+變化到+∞；Ⅱ.半徑為無(wú)限大的右半圓，s=Rejθ，R→∞，θ由π/2變化到-π/2。Ⅲ.負(fù)虛軸s=jω，ω從-∞變化到0-；IV．半徑為無(wú)窮小的右半圓，s=εejθ，ε→0，θ由-π/2變化到π/2。ⅠⅡⅢRejθR→∞修改的乃奎斯特回線ImⅣcbdeaε→0jεjR當(dāng)s沿著小半圓移動(dòng)時(shí)若開(kāi)環(huán)特性中含有積分環(huán)節(jié)，當(dāng)s→0時(shí)其特性近似為ω從0-→0+時(shí)，θ從-π/2→π/2。G(S)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無(wú)窮大的圓弧按順時(shí)針?lè)较驈膙π/2→-vπ/2。Imcbdeaε→0Res平面K/ε→∞ReImω=0-ω=0+ω=0-a1b1c1d1e1ω=0+ω=0ReImGH平面K/ε→∞ω=0ω=0-ω=0+b2c2d2e2a2Ⅰ型系統(tǒng)對(duì)小半圓路徑的映射曲線Ⅱ型系統(tǒng)對(duì)小半圓路徑的映射曲線小半圓路徑例某I型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如圖所示，沒(méi)有開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)，判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。N=0，P=0，Z=P-N=0沒(méi)有閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)。閉環(huán)穩(wěn)定。若頻率特只畫(huà)出ω從0+→∞部分，則有若閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則Z=0，從而有正負(fù)穿越隨著ω的增大，若頻率特性曲線GH(jω)以逆時(shí)針?lè)较虬鼑?-1，j0)點(diǎn)一圈，則GH(jω)曲線的正半段必然從上至下穿過(guò)G(s)平面負(fù)實(shí)軸的(-∞，-1)區(qū)段一次。這種穿越伴隨著相角的增加而穿越的，故稱為正穿越。反之叫負(fù)穿越。若曲線從(-∞，-1)上出發(fā)，則相應(yīng)的穿越次數(shù)只能算半次。四、根據(jù)伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性-1ImRe+_ω∞+_ωωL(ω)φ00dB例：見(jiàn)69頁(yè)。采用伯德圖時(shí)乃奎斯特判據(jù)的表述如下：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件時(shí)：當(dāng)ω從0變化到∞時(shí)，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性φ(ω)穿越-π線的次數(shù)(正穿越和負(fù)穿越之差)為P/2。P為s平面右半部開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目。例：見(jiàn)54頁(yè)五、系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度的定義

若z=p-2N’中p=0,則G(jω)過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，見(jiàn)下圖：G(jω)曲線過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，G(jω)=1同時(shí)成立！特點(diǎn)：∠

G(jω)

=-180o0j1-1G(jω)j01ωcωgγG(jω)G(jωg)∠G(jωc)∠G(jωc)–γ=–180oG(jωg)Kg=1幅值裕度Kg=G(jωg)1相角裕度=180o+∠G(jωc)γ穩(wěn)定裕度的定義續(xù)1-10dB-180ocωgωcg∠

G(jωc)20lg–γ–180o=γ=180+∠

G(jωc)相角裕度:幅值裕度:hdB=－20lg穩(wěn)定裕度的定義續(xù)2§5.5利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能一、L(ω)低頻漸近線與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差之間的關(guān)系。

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目(系統(tǒng)的型別)決定了低頻漸近線的斜率。

低頻漸近線的高度決定了開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)(靜態(tài)誤差系數(shù))。1.0型系統(tǒng)則低頻漸近線為ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK2.Ⅰ型系統(tǒng)低頻漸近線方程為ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK1[-20][-40]ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK1[-20][-40]ω=K時(shí)，L(ω)=0ω=1時(shí)，L(ω)=20lgK3.Ⅱ型系統(tǒng)低頻漸近線方程為ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK1[-40][-60]ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK1[-40][-60]

時(shí)，L(ω)=0ω=1時(shí)，L(ω)=20lgK二、L(ω)中頻段斜率與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。中頻段：剪切頻率ωc附近的頻率段。

在ωc處，L(ω)曲線的斜率對(duì)相角裕度γ的影響最大，遠(yuǎn)離ωc處的對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)γ的影響很小。例：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為ω0dBL(ω)/dBω1=1/T10dBωcωc處的相角為ωc較小時(shí)，γ由低頻段頻率特性決定，如ωc

T1=0.001時(shí)，φ(ωc)=-179.94°,γ≈0.06°ωc較大時(shí)，γ由高頻段頻率特性決定，如ωc

T1=100時(shí)，φ(ωc)=-90.6°,γ=89.4°。在中頻段，則同時(shí)受這兩種曲線斜率影響。例：設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為ω0dBL(ω)/dBω1=1/T10dBωcω2=1/T2[-40][-20][-40]若ωc、ω2不變，ω1↓，γ↑；ω1↑，γ↓。若ωc、ω1不變，ω2↓，γ↓；ω2↑，γ↑。中頻段的寬度越大，γ越大。若T1較大，ω1很小，斜率為[-40]的低頻段對(duì)γ的影響可以忽略。若T2較小，ω2很大，斜率為[-40]的高頻段對(duì)γ的影響可以忽略。若ω1、ω2不變，令ω2=hω1,h表示中頻段的寬度。找出ωc變化為何值時(shí)，γ出現(xiàn)最大值。ωc在ω1、ω2的幾何中心處，具有最大的相角裕度γm。此時(shí)h越大，γ也越大。三、開(kāi)環(huán)頻率特性和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系開(kāi)環(huán)頻率特性的特征量(開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo))：γ和ωc。系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的時(shí)域指標(biāo)：σ%、ts。它們之間的關(guān)系是什么？1.二階系統(tǒng)閉環(huán)傳函為開(kāi)環(huán)傳函為開(kāi)環(huán)頻率特性為(1)γ與σ%的關(guān)系開(kāi)環(huán)幅頻和相頻特性為：在ω=ωc處，A(ωc)=1，即解得：當(dāng)ω=ωc時(shí)，相角裕度為：ζγγσ%γ越小(即ξ越小)σ%越大，γ越大，σ%就越小，通常為是使二階系統(tǒng)在階躍函數(shù)的作用下振蕩不至于過(guò)于劇烈，以及調(diào)節(jié)時(shí)間不至太長(zhǎng)，通常取30°<γ<60°。(2)γ、ωc與ts的關(guān)系二階系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為(取Δ=0.05)：

因?yàn)樗杂锌紤]到調(diào)節(jié)時(shí)間ts與γ和ωc都有關(guān)。如果相角裕度γ已經(jīng)給定，那么ts與ωc成反比。如果兩個(gè)二階系統(tǒng)的相角余量γ相同，那么它的最大超調(diào)量也相同，這樣，ωc較大的系統(tǒng)，其調(diào)節(jié)時(shí)間ts必然較短。2.高階系統(tǒng)一般三階或三階以上的系統(tǒng)要導(dǎo)出其頻域特征量和時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系是比較困難的，可用近似方法。結(jié)論：隨