第六單元 互感耦合電路分析

第6單元互感耦合電路分析

6.1互感及互感電壓6.2含耦合電感電路的分析6.3變壓器6.1互感及互感電壓6.1.1互感現(xiàn)象1．互感現(xiàn)象

在交流電路中，如果在一個線圈的附近還有另一個線圈，當(dāng)其中一個線圈中的電流變化時，不僅在本線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓，而且在另一個線圈中也會產(chǎn)生感應(yīng)電壓，這種現(xiàn)象稱為互感耦合或互感現(xiàn)象，由此而產(chǎn)生的感應(yīng)電壓稱為互感電壓。這樣的兩個線圈稱為互感線圈。2．互感系數(shù)M與耦合系數(shù)k（1）互感系數(shù)

如圖所示，若穿過線圈每一匝的磁通都相等，則以上的自感磁鏈與自感磁通、互感磁鏈與互感磁通之間有如下關(guān)系：

類似于自感系數(shù)的定義，互感系數(shù)的定義為M12=M21=M，因而可以一律用M表示?；ジ邢禂?shù)簡稱互感，在國際單位制中，M的單位為亨[利]，符號為H（亨）。（2）耦合系數(shù)兩耦合線圈相互交鏈的磁通越大，表明兩個線圈耦合得越緊密。因為φ21≤φ11，φ12≤φ22，所以

式中L1與L2分別為線圈１和線圈２的自感系數(shù)，由上式很容易可得工程中常用耦合系數(shù)k來衡量兩線圈耦合的緊密程度，其定義式為一般情況下k值小于１，k值越大，說明兩個線圈之間耦合越緊。當(dāng)k=1時，稱全耦合；k=0時，說明兩線圈沒有耦合。6.1.2互感電壓

兩線圈因變化的互感磁通而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢或電壓稱為互感電動勢或互感電壓。

若選擇互感電壓的參考方向與互感磁通的參考方向符合右手螺旋關(guān)系，互感磁通的參考方向與產(chǎn)生它的電流參考方向也符合右手螺旋關(guān)系，則由電磁感應(yīng)定律可得以下關(guān)系式：

當(dāng)線圈中的電流為正弦交流時，互感電壓與電流的大小關(guān)系如下：由于在線圈中，電壓始終超前于電流90°所以可用相量表示為：6.1.3耦合電感上電壓與電流的關(guān)系1．耦合電感的伏安關(guān)系

各線圈中的總磁鏈包含自感磁鏈和互感磁鏈兩部分。

ψ1=ψ11+ψ12=L1i1+Mi2

ψ2=ψ22+ψ21=L2i2+Mi1

當(dāng)i1為時變電流時，磁通也將隨時間變化，從而在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓u11和u21。當(dāng)i1、u11、u21方向與φ符合右手螺旋時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律可得自感電壓u11與互感電壓u21如下

耦合電感上的電壓等于自感電壓與互感電壓的代數(shù)和。在線圈電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)的條件下，自感電壓前取“+”，否則自感電壓前取“-”；當(dāng)磁通相助時，互感電壓前取“+”，當(dāng)磁通相消時，互感電壓前取“-”。當(dāng)線圈電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向則有在正弦交流電路中，其相量形式的方程為6.1.4同名端1．同名端的定義及判別所謂同名端是指耦合線圈中的這樣一對端鈕：當(dāng)線圈電流同時流入（或流出）該對端鈕時，若各線圈中的自感磁鏈和互感磁鏈的參考方向一致，就認(rèn)為磁通相助，即產(chǎn)生的磁通相互增強，則這一對端鈕稱為耦合線圈的同名端；反之，稱為異名端。同名端總是成對出現(xiàn)的

，同一組同名端通常用“·”、“Δ”或“*”表示。

如圖a中，電流i1與i2同時流入左端線圈的1端鈕與右邊線圈的3端鈕，根據(jù)右手螺旋法則，它們產(chǎn)生的磁通如圖中所示，可以看出，φ1、φ2是相互增強的，則1與3是同名端，2與4也是同名端。如圖b中，設(shè)電流分別從端鈕1和端鈕3流入，根據(jù)右手螺旋法則，它們產(chǎn)生的磁通是相互增強的，所以端鈕1和端鈕3是同名端，2和4也是同名端。

對于未標(biāo)出同名端的任何一對耦合線圈，可用下圖所示的電路來確定其同名端。

當(dāng)開關(guān)S迅速閉合時，i1將從線圈L1的1端流入，且。如果電壓表正向偏轉(zhuǎn)，表示線圈L2中的互感電壓，則可判定電壓表的正極所接端鈕3與i1的流入端鈕1為同名端；反之，亦可加以判斷。

2．同名端的應(yīng)用

引入同名端概念后，根據(jù)各線圈電壓和電流的參考方向，就能從耦合電感直接寫出其伏安關(guān)系式。具體規(guī)則是：若耦合電感的線圈電壓與電流參考方向為關(guān)聯(lián)參考方向，該線圈的自感電壓前取正號，否則取負(fù)號；若耦合電感線圈的線圈電壓的正極性端與在該線圈中產(chǎn)生互感電壓的另一線圈的電流的流入端為同名端，該線圈的互感電壓前取正，否則取負(fù)。【例】判斷下圖所示互感線圈的同名端?！窘?】根據(jù)同名端的定義，利用電磁感應(yīng)定律判斷。（1）圖a中端鈕1、4為同名端，2、3為同名端（2）圖b中端鈕1、3為同名端，1、6為同名端，3、6為同名端，2、4為同名端，2、5為同名端，4、5為同名端。（3）圖c中端鈕1、4為同名端，1、6為同名端，3、6為同名端，4、5為同名端、2、3為同名端，2、5為同名端?！纠咳鐖D所示四個互感線圈，已知同名端和各線圈上電壓電流參考方向，試寫出每一互感線圈上的電壓電流關(guān)系?！窘?】由互感電壓參考方向與產(chǎn)生它的電流對同名端的參考方向一致這個結(jié)論可得

圖a所示的電壓電流關(guān)系為圖b所示的電壓電流關(guān)系為圖c所示的電壓電流關(guān)系為圖d所示的電壓電流關(guān)系為6.2含耦合電感電路的分析

6.2.1耦合電感的串聯(lián)

1．耦合電感的順向串聯(lián)

兩個互感耦合線圈流過同一電流，且電流都是由線圈的同名端流入或流出，即異名端相接，由于互感起“增助”作用，這種連接方式稱為順向串聯(lián)。如圖a所示。

由圖a可知

Leq為耦合線圈順向串聯(lián)后的等效電感，如圖b所示，可以看出順向串聯(lián)使等效電感加大。

若使用相量形式進行表示，則可以得到可見，順向串聯(lián)使等效阻抗加大。其中等效阻抗為2．耦合電感的反向串聯(lián)

當(dāng)兩個互感耦合線圈如下圖a所示連接時，電流都是由線圈的異名端流入或流出，即同名端相聯(lián)接，由于互感起“削弱”作用，這種聯(lián)接方式稱為反向串聯(lián)。

Leq為耦合線圈反向串聯(lián)后的等效電感，如圖b所示可以看出反向串聯(lián)使等效電感減小。

使用相量形式進行表示，則可以得到

其中等效阻抗為可見，反向串聯(lián)使等效阻抗減小。

順串時的等效電感大于兩電感之和，這是由于互感磁鏈與自感磁鏈相互加強導(dǎo)致的，反串時的等效電感小于兩電感之和，這是由于互感磁鏈與自感磁鏈相互削弱導(dǎo)致的。

測量互感系數(shù)的方法：把兩線圈順接一次，反接一次，則可得到互感系數(shù)為【例】如下圖所示。已知L1=1H，L2=2H，M=0.5HR1=R2=1kΩ，，試求電流i。

【解:】由圖可以看出電感是反向串聯(lián)，根據(jù)已知條件，得因為則

6.2.2耦合電感的并聯(lián)

耦合電感的兩線圈并聯(lián)時也有兩種接法：一種是兩線圈的同名端兩兩相接，稱為同側(cè)并聯(lián)（順并），如圖a所示；另一種是兩線圈的異名端兩兩相接，稱為異側(cè)并聯(lián)（反并），如圖b所示。1．耦合電感的同側(cè)并聯(lián)

（同側(cè)并聯(lián)等效電感）2．耦合電感的異側(cè)并聯(lián)

（異側(cè)并聯(lián)等效電感）

同名端相接（同側(cè)并聯(lián)）時，耦合電感并聯(lián)的等效電感大；反之，異名端相接（異側(cè)并聯(lián)）時，則等效電感小。因此，應(yīng)注意同名端的連接對等效電路參數(shù)的影響。同時應(yīng)該注意，在任何一種情況下，等效電感都不可能成為負(fù)值，即≥0

把耦合互感電路化為等效的無互感電路的方法稱為互感消去法，或去耦法。應(yīng)用去耦法，可解決互感串、并聯(lián)電路等效電感求解的問題。圖a與圖b分別是耦合電感同側(cè)并聯(lián)與異側(cè)并聯(lián)電路的去耦等效電路。6.2.3耦合電感的T形連接

如果耦合電感的兩個線圈各取一端連接起來與第三條支路形成一個僅含三條支路的共同節(jié)點，稱為耦合電感的T型連接。顯然耦合電感的并聯(lián)也屬于T型連接。一種是將同名端相接，構(gòu)成如圖a所示T形連接電路；另一種是將異名端相接，構(gòu)成b所示T形連接電路。

根據(jù)分析，從而得到耦合電感T形連接時的去耦等效電路如下圖所示?！纠壳髨Da電路的端口復(fù)阻抗Zab?！窘?】圖a中的電感為同側(cè)相接的T形結(jié)構(gòu)，其去耦等效電路如圖b所示，則復(fù)阻抗6.2.4含有耦合電感電路的計算

含耦合電感電路分析計算有兩種方法，一是“直接法”，二是去耦等效電路法。對于含有耦合電感的正弦電路，仍可采用相量法進行分析。只是應(yīng)該注意耦合互感元件的特殊之點，那就是在考慮其電壓時，不僅要計及自感電壓，還要計及互感電壓；而互感電壓的確定又要顧及同名端的位置及電壓、電流參考方向的選取。

【解:】用去耦法。圖a的去耦等效電路如圖b所示。用網(wǎng)孔電流法，設(shè)回路電流如圖所示，可得回路方程

【例】電路及參數(shù)如圖a所示，求流經(jīng)5Ω電阻的電流。則

含有耦合電感的電路分析原則與一般正弦電路的分析一樣，只是要考慮互感電壓。在列寫電路方程時要特別注意，不要遺漏了互感電壓項，不要搞錯了互感電壓項的正、負(fù)號。在運用戴維南定理時，更要注意不能把互感元件的兩個線圈拆開。6.3變壓器

變壓器是利用電磁感應(yīng)原理傳輸電能或電信號的器件，它具有變換電壓、變換電流和變換阻抗的功能。其主要結(jié)構(gòu)基本是相似的，它通常由兩個具有磁耦合的線圈組成，一個線圈與電源相接，稱為一次線圈或初級線圈；另一個線圈與負(fù)載相接，稱為二次線圈或次級線圈。常用的實際變壓器有空心變壓器和鐵心變壓器兩種類型。6.3.1空心變壓器

空心變壓器是利用電磁感應(yīng)原理制成的，故可以用耦合電感來構(gòu)成其模型?？招淖儔浩鲝囊淮尉€圈電源兩端看進去的等效阻抗

可用去耦等效的方法對空心變壓器電路進行分析。因為圖a所示空心變壓器中的耦合電感作T形連接，通過去耦等效得到圖b所示等效電路，對該電路用正弦穩(wěn)態(tài)的分析方法即可求解。【例】電路如上圖a所示，已知R1=20Ω，R2=0.08Ω，RL=42Ω，L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，ω=314rad/s，，試求、?！窘?】應(yīng)用初級等效電路可得

6.3.2理想變壓器

1．理想變壓器的三個理想化條件（1）耦合電感無損耗，即線圈是理想的。（2）理想變壓器無漏磁通，即耦合系數(shù)k=1，為全耦合。（3）自感系數(shù)L1、L2和互感系數(shù)M無限大，且L1/L2為常數(shù)。針對線性變壓器而言，磁通與電流是線性關(guān)系，理想變壓器是一種線性非時變元件。2．理想變壓器的主要性能（1）變壓關(guān)系

經(jīng)推導(dǎo)可知理想變壓器一次、二次線圈的匝數(shù)N1、N2

與一次、二次線圈端電壓成正比。即

式中，為匝比或變比，它為正實數(shù)，是理想變壓器的唯一參數(shù)。

理想變壓器輸入端和輸出端的電壓比等于匝數(shù)比，若線圈匝數(shù)N1>N2（即n>1），則有u1>u2，此時理想變壓器為降壓變壓器；若線圈匝數(shù)N1<N2（即n<1），則有u1<u2，此時理想變壓器為升壓變壓器。需要注意的是，理想變壓器的變壓關(guān)系與兩線圈中電流參考方向的假設(shè)無關(guān)，但與電壓極性的設(shè)置有關(guān)，若u1、u2的參考方向的“+”極性端一個設(shè)在同名端，一個設(shè)在異名端，如右圖所示，此時則有

（2）變流關(guān)系電流比等于負(fù)的匝比倒數(shù)。

需要注意的是，理想變壓器的變流關(guān)系與兩線圈上電壓參考方向的假設(shè)無關(guān)，但與電流參考方向的設(shè)置有關(guān)，若i1、i2的參考方向一個是從同名端流入，一個是從同名端流出，此時i1與i2之比為

理想變壓器的伏安關(guān)系統(tǒng)一可表示為

或（3）變阻抗關(guān)系

當(dāng)理想變壓器次級接有阻抗為ZL的負(fù)載時，由理想變壓器的變壓、變流關(guān)系可得一次側(cè)的輸入阻抗為

理想變壓器輸入端的等效阻抗與負(fù)載阻抗成正比，比例常數(shù)是變壓器匝比的平方。Zi稱為二次側(cè)對一次側(cè)的折合等效阻抗。

換言之，理想變壓器具有變換阻抗的功能，二次側(cè)折算到一次側(cè)后，阻抗擴大了n2倍，而一次側(cè)電流保持不變；一次側(cè)折算到二次側(cè)后，阻抗縮小了1/n2倍。若負(fù)載為純電阻RL時，一次側(cè)的輸入阻抗也變?yōu)榧冸娮栊裕渲禐?/p>

（4）傳輸能量由理想變壓器的變壓、變流關(guān)系得初級端口與次級端口吸收的功率和為

上式表明理想變壓器既不儲能，也不耗能，在電路中只起傳遞信號和能量的作用。如果在理想變壓器的二次側(cè)接上負(fù)載，則一次側(cè)電源提供的功率將全部傳輸?shù)截?fù)載上，即理想變壓器本身消耗的功率為零。