第十章 積分學(xué)在幾何上應(yīng)用

第十章積分學(xué)的應(yīng)用第一節(jié)積分學(xué)在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形和空間曲面的面積

1）用定積分計(jì)算平面圖形的面積

（1）直角坐標(biāo)情形如圖,設(shè)曲邊梯形以區(qū)為頂,由元素法得曲邊梯形的面積曲線間[a,b]為底,面積元素1.平面圖形的面積得交點(diǎn)為(0，0)及(3，3)，在區(qū)間[0，3]上任取一個(gè)小區(qū)間得面積元素為例1

求拋物線與直線所圍成圖形的面積.解：如圖，解方程組于是，所求面積為

例4

求由擺線及解

利用參數(shù)方程得軸圍成圖形的面積2）用二重積分計(jì)算平面圖形的面積

例8

用二重積分的方法求橢圓由二重積分的性質(zhì)，平面區(qū)域的面積解如圖所示，由二重積分計(jì)算法并注意到對(duì)稱性有的面積.所求面積為（2）極坐標(biāo)的情形圖10-7（）在極坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線所圍成的圖形稱為曲邊扇形(見(jiàn)10-7（）)，現(xiàn)在求它的面積.情形1極點(diǎn)不包含在區(qū)域內(nèi)部的情形其中函數(shù)在上連續(xù)，則曲邊扇形面積為于是曲邊扇形面積為

情形2極點(diǎn)包含在區(qū)域內(nèi)部的情形情形3極點(diǎn)在區(qū)域的邊界上,可得曲邊扇形面積為

例6

求心形線所圍圖形的面積.解心形線如圖所示，由對(duì)稱性

例7

求由圓與圓所圍成的圖形的面積（在外面部分,如圖所示）.

解將與化為極坐標(biāo)方程為與解方程組得兩曲線交點(diǎn)為和由對(duì)稱性得所求的面積為3）用曲線積分計(jì)算平面圖形的面積的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?利用格林公式得到閉曲線L所圍區(qū)域D的面積為其中

例9

求星形線所圍圖形的面積.

解當(dāng)從變到時(shí)，點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛎璩隽苏麄€(gè)封閉曲線如圖，故所求面積為2.空間曲面的面積設(shè)曲面由方程給出，為曲面在面上的投影區(qū)域（如圖），函數(shù)在上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)和則曲面

的面積或若曲面的方程為或可分別將曲面投影到面或面，設(shè)所得到的投影區(qū)域分別為或類似地有

例11

求球面含在柱面解如圖，所求曲面在xoy面的投影區(qū)域上半球面方程為則

內(nèi)部的面積.曲面在xoy面上的投影區(qū)域Dxy(如圖).據(jù)曲面的對(duì)稱性，有二、空間立體的體積

一個(gè)空間立體，如果該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積已知為（如圖），則這個(gè)立體的體積為1）平行截面面積為已知的立體體積

例12

設(shè)有底半徑為R的正圓柱體，被通過(guò)其底面直徑且與底面交成角的平面所截，得一圓柱楔形，求其體積.故圓柱楔形體積為解如圖,取底面直徑為x軸,底面中心為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)直徑上任一點(diǎn)x作平面垂直于x軸,此平面與楔形相截所得為直角三角形,其底為高為因此截面面積為2）旋轉(zhuǎn)體體積

一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．例如，圓柱可以看成是矩形沿它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，球體是半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體等等．

現(xiàn)在,我們來(lái)求由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形（其中a<b,且在繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積(如圖)．過(guò)上任一點(diǎn)x作平面垂直于x軸，此平面與旋轉(zhuǎn)體相截所得截面是圓，其半徑為y=f(x),因此截面面積為由平行截面面積為已知的立體體積公式得旋轉(zhuǎn)體體積為同理,由曲線直線及y軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體(如圖所示)體積為

例13

求橢圓分別繞軸與軸旋轉(zhuǎn)所

得旋轉(zhuǎn)體的體積．

而繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

可得半徑為a的球體體積為

解如圖所示，由橢圓方程得利用對(duì)稱性，繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)橢球體積為當(dāng)a=b時(shí)，

例14

求由兩條拋物線所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積．

(1，1)，于是解如圖，解方程組得兩曲線交點(diǎn)為(0，0)，

例15

計(jì)算由擺線的一拱與軸所圍圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．

解如圖，由旋轉(zhuǎn)體體積公式，所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成立體體積為為求所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成體積,仍取x為積分變量，由于如圖陰影部分圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成體積近似為取體積元素為于是所求體積為

或3）空間立體的體積由下底上底及投影區(qū)域所圍的“柱體”的體積為

例16

求由錐面及旋轉(zhuǎn)拋物面解法一由極坐標(biāo)解法二（用二重積分）（用三重積分）由消去z,得到投影區(qū)域?yàn)椋河芍孀鴺?biāo)所圍成的立體的體積.三、曲線的弧長(zhǎng)弧微分:所求平面曲線的弧長(zhǎng)為

(1)曲線弧由直確定時(shí),角坐標(biāo)方程(2)當(dāng)曲線弧由參數(shù)方程所求弧長(zhǎng)為確定時(shí),(3)當(dāng)曲線弧由極坐標(biāo)方程所求弧長(zhǎng)為確定時(shí),(4)同樣對(duì)于空間曲線其弧長(zhǎng)為

例16

求曲線位于區(qū)間[0，1]上的弧長(zhǎng)．解由弧長(zhǎng)公式

例17

求擺線