第一章-矢量分析

1第一章矢量分析標量和矢量矢量的代數(shù)運算矢量的標積和矢積4標量場的方向導數(shù)與梯度5矢量場的通量與散度6

矢量場的環(huán)量與旋度7無散場和無旋場8格林定理9矢量場的惟一性定理10亥姆霍茲定理11正交曲面坐標系21.1標量與矢量1.標量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力F、速度V、電場E等如：溫度T、長度L等其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。3根據(jù)矢量加法運算：在直角坐標系下的矢量表示:三個方向的單位矢量用表示。所以：其中：4矢量：模的計算：單位矢量：方向角與方向余弦：5例1：在直角坐標系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：力的圖示法：61.2矢量的代數(shù)運算1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結合律：72.減法：換成加法運算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標系中兩矢量的減法運算：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。81.3矢量的標積與矢積（1）標量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標量積（點積）：兩矢量的點積含義：一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結果是一標量。9在直角坐標系中，三個坐標軸是相互正交的有兩矢量點積：結論:兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。10推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結合律：推論4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。11在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo12（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標量與矢量相乘。標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。a.標量三重積法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。定義：含義：

標量三重積結果為三矢量構成的平行六面體的體積。13注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件。在直角坐標系中：b.矢量三重積：14例2：求：中的標量a、b、c。解：則：設15例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。161.4標量場的方向導數(shù)與梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：17

標量場的等值面以溫度場為例：

可以看出：標量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。1.4標量場的方向導數(shù)與梯度18標量場的等值面:為了直觀表示場在空間的變化，經(jīng)常使用場的等值面來直觀。所謂等值面是標量場為同一數(shù)值各點在空間形成的曲面。導體等電位面在實際應用中不僅需要宏觀上了解場在空間的數(shù)值，還需要知道場在不同方向上場變化的情況。應用方向性導數(shù)可以描述標量場在空間某個方向上變化的情況。1.4標量場的方向導數(shù)與梯度19標量場在某點的方向導數(shù)表示標量場自該點沿某一方向上的變化率。

標量場

在

P

點沿

l

方向上的方向導數(shù)定義為Pl20式中的grad是英文字gradient的縮寫。某點梯度的大小等于該點的最大方向導數(shù)，某點梯度的方向為該點具有最大方向導數(shù)的方向。在直角坐標系中，為標量場

的梯度可表示為若引入算符，在直角坐標系中該算符可表示為則梯度可以表示為21標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向導數(shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）22解：例=？23例計算和。

表示對

運算。表示對運算。這里zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')24解表示源點，P

表示場點。

zxyr

OP(x,y,z)r'

r–r'

P'(x',y',z')25矢量A沿某一有向曲面S的面積分稱為矢量A通過該有向曲面S的通量，以標量表示，即

1.5矢量場的通量與散度通量可為正、負或零。當矢量穿出某個閉合面時，認為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場的源；當矢量進入這個閉合面時，認為該閉合面中存在匯聚該矢量場的洞（或匯）。26閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外法線方向。當閉合面中有源時，矢量通過該閉合面的通量一定為正；反之，當閉合面中有洞時，矢量通過該閉合面的通量一定為負。前述的源稱為正源，而洞稱為負源。S27已知真空中的電場強度E通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量q與真空介電常數(shù)0

之比，即，當閉合面中存在正電荷時，通量為正。當閉合面中存在負電荷時，通量為負。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為零。十一28但是，通量僅能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場的散度。當閉合面

S向某點無限收縮時，矢量

A通過該閉合面S

的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場

A

在該點的散度，以

divA

表示，即式中，div

是英文字divergence的縮寫；

V

為閉合面

S包圍的體積。29直角坐標系下散度表達式的推導

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為

不失一般性，令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP30根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度表達式為

同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為31上式表明，散度是一個標量，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。

直角坐標系中散度可表示為

因此散度可用算符表示為32散度定理或者寫為從數(shù)學角度可以認為散度定理建立了面積分和體積分的關系。從物理角度可以理解為散度定理建立了區(qū)域V中的場和包圍區(qū)域V

的邊界S上的場之間的關系。因此，如果已知區(qū)域V中的場，根據(jù)散度定理即可求出邊界S上的場，反之亦然。33散度定理的證明證明：將閉面S所包圍的區(qū)域V

劃分成N個體積元，如圖所示。取體積元用Vi表示，相應的閉合表面則為Si。于是有或寫成除含部分外表面S的那些面元之外，其它處于V內(nèi)的每一內(nèi)部面元都是鄰體積元的公共面元。圖中所示的1、2號體積元的公共面元上，其外法向單位矢量en1和en2是反向的，它使得該公共面元上F的元通量在求和時將互相抵消。當取N→、→0時，總通量僅為所有外表面面元上元通量之和，即外表面S上的閉合面通量，可知上式的極限

SV12(a)(b)12en2en134拉普拉斯算子散度運算規(guī)則35例求空間任一點位置矢量r的散度。求得已知解rOxzyxzy36

證明證：37求38標量場的梯度矢量場的散度矢量場的旋度？算子39矢量場

F

沿一條有向曲線

l的線積分稱為矢量場

F

沿該曲線的環(huán)量，以

表示，即1.6矢量場的環(huán)量、旋度與旋度定理可見，若在閉合有向曲線l

上，矢量場F

的方向處處與線元dl

的方向保持一致，則環(huán)量>0；若處處相反，則<0

?？梢?，環(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦特性。l4041已知真空中磁通密度

B沿任一閉合有向曲線

l

的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導電流強度

I

與真空磁導率

0

的乘積。即

式中，電流

I的正方向與

dl

的方向構成

右旋關系。環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場的旋度。⊙I1I242旋度是一個矢量。以符號curlA表示矢量A的旋度，其方向是使矢量A具有最大環(huán)量強度的方向，其大小等于對該矢量方向的最大環(huán)量強度，即式中curl是旋度的英文字；

為最大環(huán)量強度的方向上的單位矢量，S

為閉合曲線

l

包圍的面積。矢量場的旋度大小可以認為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。

43而

推導

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖

直角坐標系中、、的表達式44于是

同理可得故得45直角坐標系中，旋度可用矩陣表示為

或者無論梯度、散度或旋度都是微分運算，它們表示場在某點附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是場的點特性或稱為微分特性。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。

46旋度與散度的區(qū)別（一）一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)；一個矢量場的散度是一個標量函數(shù)。（二）旋度表示場中各點的場與漩渦源的關系;散度表示場中各點的場與通量源的關系。（三）旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律;散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律.47旋度定理（斯托克斯定理）

從數(shù)學角度可以認為旋度定理建立了面積分和線積分的關系。從物理角度可以理解為旋度定理建立了區(qū)域S中的場和包圍區(qū)域S

的邊界l上的場之間的關系。因此，如果已知區(qū)域

S中的場，根據(jù)旋度定理即可求出邊界

l

上的場，反之亦然?；蛘?8例試證任何矢量場F均滿足下列等式式中，S為包圍體積V

的閉合表面。此式又稱為矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。SVF49證明：用高斯散度定理證明。用任意常矢C點乘其兩邊，

左端：右端：

可知

基于常矢C的任意性，則：

證畢50散度處處為零的矢量場稱為無散場，旋度處處為零的矢量場稱為無旋場。

1.7無散場和無旋場可以證明結論：任一矢量場A的旋度的散度一定等于零。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。51試證明enenS1S2l1l2V證明：在任意閉面S及其包圍的區(qū)域V內(nèi)，設矢量有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則

用一平面將圖示閉面S剖分為S1、S2兩個開面，將界定它們的圍線分開畫成了l1和l2，二者的循行方向應分別與en符合右手定則。由斯托克斯定理故而

由于V的任意性，必有

52結論：任一標量場

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。又可證明531.8格林定理

SVφ，ψ兩任意標量場,在所區(qū)域V內(nèi)有連續(xù)的二階偏導數(shù)，在V的閉合邊界S上應有連續(xù)的一階偏導數(shù)。令矢量場

由高斯定理因為于是得格林第一公式式中：54將上式中

和

的位置交換，得式中：是

在S上的外法向導數(shù)。

將兩式相減，得格林第二公式

55設任意兩個矢量場P與Q

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，可以證明該矢量場P及Q滿足下列等式：式中S

為包圍V

的閉合曲面；面元dS的方向為S

的外法線方向。上式稱為矢量第一格林定理。

56基于上式還可獲得下式：此式稱為矢量第二格林定理。57格林定理建立了區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。格林定理說明了兩種標量場或矢量場之間應該滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場的分布特性。58考慮如下問題：（1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？（3）如