第三章數(shù)控插補(bǔ)原理

第三章數(shù)控插補(bǔ)原理機(jī)械工程學(xué)院第一節(jié)概述數(shù)控機(jī)床最突出的優(yōu)點(diǎn)是：可以根據(jù)編程，加工出較為復(fù)雜的曲線，比如圓、拋物線等。為什么數(shù)控機(jī)床能加工出這些曲線？怎樣把單個(gè)的坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)組合成理想曲線呢？這就是插補(bǔ)所解決的問題！插補(bǔ)是一種運(yùn)算程序，經(jīng)過運(yùn)算，判斷出每一步應(yīng)進(jìn)哪一個(gè)坐標(biāo)，進(jìn)多少，本章將介紹插補(bǔ)的原理、方法、種類、實(shí)質(zhì)等問題。機(jī)械工程學(xué)院一、插補(bǔ)的基本概念插補(bǔ)（Interpolation）：數(shù)控系統(tǒng)依照一定的方法確定刀具實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的過程。插補(bǔ)是協(xié)調(diào)各坐標(biāo)的移動(dòng)使其合成的軌跡近似于理想軌跡的方法，它是協(xié)調(diào)各坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)的方法。插補(bǔ)也是指在一條已知起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線上進(jìn)行數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化。插補(bǔ)有二層意思：

一是用小線段逼近產(chǎn)生基本線型（如直線、圓弧等）；二是用基本線型擬和其它輪廓曲線。機(jī)械工程學(xué)院插補(bǔ)算法：對(duì)應(yīng)于每種插補(bǔ)方法(原理)的各種實(shí)現(xiàn)算法。插補(bǔ)功能是輪廓控制系統(tǒng)的本質(zhì)特征。插補(bǔ)器：數(shù)控系統(tǒng)中完成插補(bǔ)工作的裝置。軟件插補(bǔ)器：程序，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，靈活，速度慢。硬件插補(bǔ)器：數(shù)字電路，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，速度快。機(jī)械工程學(xué)院*插補(bǔ)的實(shí)質(zhì)*插補(bǔ)要解決的問題讓單獨(dú)的坐標(biāo)分別運(yùn)動(dòng)合成理想的軌跡；幾個(gè)坐標(biāo)同時(shí)進(jìn)，還是每次進(jìn)一個(gè)；判斷進(jìn)給那一個(gè)坐標(biāo)使下一步誤差更?。贿M(jìn)多少；如果同時(shí)進(jìn)給，各個(gè)坐標(biāo)進(jìn)給的比例是多少；選用什么樣的實(shí)際軌跡合成后與理想軌跡誤差最小。機(jī)械工程學(xué)院曲線方程Y=F（X）本身就代表坐標(biāo)量之間的制約，函數(shù)關(guān)系表示X與Y一一對(duì)應(yīng)，對(duì)于曲線上的某一點(diǎn)的鄰域，其坐標(biāo)增量關(guān)系也是確定的，即給X1一個(gè)增量△X存在一個(gè)△Y使Y1+△Y=F（X1+△X）這是△X與△Y之間有一種制約，那就是由△X找到一個(gè)△Y使F（X1+△X）等于或接近于Y1+△Y，插補(bǔ)就是這種尋找△X與△Y之間制約的方法。數(shù)學(xué)是通過函數(shù)關(guān)系算出來的。插補(bǔ)不一定是計(jì)算算出來，由于增量有一定的限制，比如規(guī)定了一個(gè)最小進(jìn)給單位，比這更小的量進(jìn)給起來就困難，所以插補(bǔ)有它獨(dú)特的處理方法機(jī)械工程學(xué)院二、插補(bǔ)方法的分類（一）基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)（脈沖增量插補(bǔ)）1．?dāng)?shù)字脈沖乘法器插補(bǔ)法2．逐點(diǎn)比較法3．?dāng)?shù)字積分法4．矢量判別法5．比較積分法6．最小差分法7．目標(biāo)點(diǎn)跟蹤法8．單步追蹤法9．直接函數(shù)法10．加密判別和雙判別插補(bǔ)法機(jī)械工程學(xué)院二、插補(bǔ)方法的分類（二）數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)1．直線函數(shù)法2．?dāng)U展數(shù)字積分法3．二階遞歸擴(kuò)展數(shù)字積分插補(bǔ)法4．雙數(shù)字積分插補(bǔ)法5．角度逼近圓弧插補(bǔ)法6．“改進(jìn)吐斯丁”（ImprovedTustinMethod-------ITM）法機(jī)械工程學(xué)院三、評(píng)價(jià)插補(bǔ)算法的指標(biāo)穩(wěn)定性指標(biāo)插補(bǔ)運(yùn)算是一種迭代運(yùn)算，存在著算法穩(wěn)定性問題。插補(bǔ)算法穩(wěn)定的充必條件：在插補(bǔ)運(yùn)算過程中，對(duì)計(jì)算誤差和舍入誤差沒有累積效應(yīng)。插補(bǔ)算法穩(wěn)定是確保輪廓精度要求的前提機(jī)械工程學(xué)院三、評(píng)價(jià)插補(bǔ)算法的指標(biāo)插補(bǔ)精度：插補(bǔ)輪廓與給定輪廓的符合程度，它可用插補(bǔ)誤差來評(píng)價(jià)。插補(bǔ)誤差分類：逼近誤差（指用直線逼近曲線時(shí)產(chǎn)生的誤差）；計(jì)算誤差（指因計(jì)算字長(zhǎng)限制產(chǎn)生的誤差）；圓整誤差其中，逼近誤差和計(jì)算誤差與插補(bǔ)算法密切相關(guān)。采用逼近誤差和計(jì)算誤差較小的插補(bǔ)算法；采用優(yōu)化的小數(shù)圓整法，如：逢奇（偶）四舍五入法、小數(shù)累進(jìn)法等。一般要求上述三誤差的綜合效應(yīng)小于系統(tǒng)的最小運(yùn)動(dòng)指令或脈沖當(dāng)量。機(jī)械工程學(xué)院三、評(píng)價(jià)插補(bǔ)算法的指標(biāo)合成速度的均勻性：插補(bǔ)運(yùn)算輸出的各軸進(jìn)給率，經(jīng)運(yùn)動(dòng)合成的實(shí)際速度（Fr）與給定的進(jìn)給速度（F）的符合程度。速度不均勻性系數(shù)：合成速度均勻性系數(shù)應(yīng)滿足：

λmax≤1%機(jī)械工程學(xué)院第二節(jié)逐點(diǎn)比較法早期數(shù)控機(jī)床廣泛采用的方法，又稱代數(shù)法、醉步伐，適用于開環(huán)系統(tǒng)。插補(bǔ)原理及特點(diǎn)

原理：每次僅向一個(gè)坐標(biāo)軸輸出一個(gè)進(jìn)給脈沖，而每走一步都要通過偏差函數(shù)計(jì)算，判斷偏差點(diǎn)的瞬時(shí)坐標(biāo)同規(guī)定加工軌跡之間的偏差，然后決定下一步的進(jìn)給方向。每個(gè)插補(bǔ)循環(huán)由偏差判別、進(jìn)給、偏差函數(shù)計(jì)算和終點(diǎn)判別四個(gè)步驟組成。逐點(diǎn)比較法可以實(shí)現(xiàn)直線插補(bǔ)、圓弧插補(bǔ)及其它曲安插補(bǔ)。特點(diǎn)：運(yùn)算直觀，插補(bǔ)誤差不大于一個(gè)脈沖當(dāng)量，脈沖輸出均勻，調(diào)節(jié)方便。機(jī)械工程學(xué)院逐點(diǎn)比較法的四個(gè)節(jié)拍：1、偏差判別：判別偏差函數(shù)的正負(fù)，確定工作點(diǎn)相對(duì)于規(guī)劃曲線的位置；2、坐標(biāo)進(jìn)給：根據(jù)偏差情況，控制x或y坐標(biāo)進(jìn)給一步，使工作點(diǎn)向規(guī)劃軌跡靠攏；3、偏差計(jì)算：進(jìn)給一步后，計(jì)算工作點(diǎn)與規(guī)定曲線新的偏差，作為下一步偏差判別的依據(jù)；4、終點(diǎn)判斷：判斷終點(diǎn)是否到達(dá)。機(jī)械工程學(xué)院一、逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)1．原理1）偏差函數(shù)構(gòu)造

對(duì)于第一象限直線OA上任一點(diǎn)(X,Y):Y/X=Ye/Xe[規(guī)劃曲線：y=f（x），偏差函數(shù)：F=y-f（x）]若刀具加工點(diǎn)為Pi（Xi，Yi），則該點(diǎn)的偏差函數(shù)Fi可表示為若Fi=0，表示加工點(diǎn)位于直線上；若Fi>0，表示加工點(diǎn)位于直線上方；若Fi<0，表示加工點(diǎn)位于直線下方。（2）偏差函數(shù)字的遞推計(jì)算采用偏差函數(shù)的遞推式（迭代式）既由前一點(diǎn)計(jì)算后一點(diǎn)YXF<0F>0Pi(Xi,Yi)Ae(Xe,Ye)O機(jī)械工程學(xué)院Fi=YiXe-XiYe若Fi>=0，規(guī)定向+X方向走一步Xi+1=Xi

+1Fi+1=XeYi

–Ye(Xi

+1)=Fi

-Ye若Fi<0，規(guī)定+Y方向走一步，則有Yi+1=Yi

+1Fi+1=Xe(Yi

+1)-YeXi

=Fi

+Xe（3）終點(diǎn)判別直線插補(bǔ)的終點(diǎn)判別可采用三種方法。1）判斷插補(bǔ)或進(jìn)給的總步數(shù)：；2）分別判斷各坐標(biāo)軸的進(jìn)給步數(shù)；3）僅判斷進(jìn)給步數(shù)較多的坐標(biāo)軸的進(jìn)給步數(shù)。機(jī)械工程學(xué)院2、舉例對(duì)于第一象限直線OA，終點(diǎn)坐標(biāo)Xe=6,Ye=4，插補(bǔ)從直線起點(diǎn)O開始，故F0=0。終點(diǎn)判別是判斷進(jìn)給總步數(shù)N=6+4=10，將其存入終點(diǎn)判別計(jì)數(shù)器中，每進(jìn)給一步減1，若N=0，則停止插補(bǔ)。OA98754321610YX步數(shù)偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差計(jì)算終點(diǎn)判斷0

F0=0∑=101F=0+XF1=F0-ye=0-4=-4∑=10-1=92F<0+YF2=F1+xe=-4+6=2∑=9-1=83F>0+XF3=F2-ye=2-4=-2∑=8-1=74F<0+YF4=F3+xe=-2+6=4∑=7-1=65F>0+XF5=F4-ye=4-4=0∑=6-1=56F=0+XF6=F5-ye=0-4=-4∑=5-1=47F<0+YF7=F6+xe=-4+6=2∑=4-1=38F>0+XF8=F7-ye=2-4=-2∑=3-1=29F<0+YF9=F8+xe=-2+6=4∑=2-1=110F>0+XF10=F9-ye=4-4=0∑=1-1=0機(jī)械工程學(xué)院3、其他象限坐標(biāo)值帶符號(hào)直線插補(bǔ)公式象限坐標(biāo)進(jìn)給偏差計(jì)算F≥0F＜0F≥0F＜0Ⅰ+X+YFi+1=Fi-YeFi+1=Fi+XeⅡ-X+YFi+1=Fi-YeFi+1=Fi-XeⅢ-X-YFi+1=Fi+YeFi+1=Fi-XeⅣ+X-YFi+1=Fi+YeFi+1=Fi+Xe絕對(duì)值坐標(biāo)值直線插補(bǔ)公式象限坐標(biāo)進(jìn)給偏差計(jì)算F≥0F＜0F≥0F＜0Ⅰ+X+YFi+1=Fi-YeFi+1=Fi+XeⅡ-X+YⅢ-X-YⅣ+X-Y機(jī)械工程學(xué)院二、逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)1、原理（1）偏差函數(shù)任意加工點(diǎn)Pi（Xi，Yi），偏差函數(shù)Fi可表示為若Fi=0，表示加工點(diǎn)位于圓上；若Fi>0，表示加工點(diǎn)位于圓外；若Fi<0，表示加工點(diǎn)位于圓內(nèi)XYPi（Xi，Yi）ABF>0F<0機(jī)械工程學(xué)院2）偏差函數(shù)的遞推計(jì)算

1）逆圓插補(bǔ)若F≥0，規(guī)定向-X方向走一步若Fi<0，規(guī)定向+Y方向走一步

2）順圓插補(bǔ)

若Fi≥0，規(guī)定向-Y方向走一步

若Fi<0，規(guī)定向+y方向走一步（3）終點(diǎn)判別

1）判斷插補(bǔ)或進(jìn)給的總步數(shù)；

2）分別判斷各坐標(biāo)軸的進(jìn)給步數(shù)；機(jī)械工程學(xué)院2、舉例對(duì)于第一象限圓弧AB，起點(diǎn)A（4，0），終點(diǎn)B（0，4ABYX44步數(shù)偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給

偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算終點(diǎn)判別起點(diǎn)

F0=0x0=4,y0=0Σ=4+4=81F0=0-xF1=F0-2x0+1=0-2*4+1=-7x1=4-1=3y1=0Σ=8-1=72F1<0+yF2=F1+2y1+1=-7+2*0+1=-6x2=3y2=y1+1=1Σ=7-1=63F2<0+yF3=F2+2y2+1=-3x3=4,y3=2Σ=54F3<0+yF4=F3+2y3+1=2x4=3,y4=3Σ=45F4>0-xF5=F4-2x4+1=-3x5=4,y5=0Σ=36F5<0+yF6=F5+2y5+1=4x6=4,y6=0Σ=27F6>0-xF7=F6-2x6+1=1x7=4,y7=0Σ=18F7<0-xF8=F7-2x7+1=0x8=4,y8=0Σ=0機(jī)械工程學(xué)院3、其他象限絕對(duì)值坐標(biāo)值圓弧插補(bǔ)公式偏差≥0偏差＜0線型進(jìn)給偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算線型進(jìn)給偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算CW1CC2-YFi+1=Fi-2Yi+1Xi+1=XiYi+1=Yi-1CW1CC4+XFi+1=Fi+2Xi+1Xi+1=Xi+1Yi+1=YiCW3CC4+YCW3CC2-XCW4CC1-XFi+1=Fi-2Xi+1Xi+1=Xi-1Yi+1=YiCW2CC1+YFi+1=Fi+2Yi+1Xi+1=XiYi+1=Yi+1CW2CC3+XCW4CC3-Y機(jī)械工程學(xué)院4、過象限問題處理1）分段各象限分別插補(bǔ)2）檢零切換（過象限必然有一個(gè)坐標(biāo)值為0）CW2CW1CW4CW3Y=0X=0Y=0X=0CC4CC1CC2CC3X=0Y=0X=0Y=0模擬插補(bǔ)機(jī)械工程學(xué)院第三節(jié)數(shù)字積分法

用數(shù)字積分的方法計(jì)算刀具沿各坐標(biāo)軸的位移，數(shù)字積分法又稱數(shù)字微分分析（DDA）法.1.DDA直線插補(bǔ)

（1）原理：積分的過程可以用微小量的累加近似：

由右圖所示則X、Y方向的位移

（積分形式）XYA(Xe,Ye)VyXYA(Xe,Ye)VxVyVO

△Y

△XL機(jī)械工程學(xué)院

（累加形式）

其中，m為累加次數(shù)（容量）取為整數(shù)，m=0?2N-1，共2N次(N為累加器位數(shù))。令△t=1,mK=1，則K=1/m=1/2N。則（2）結(jié)論：直線插補(bǔ)從始點(diǎn)走向終點(diǎn)的過程，可以看作是各坐標(biāo)軸每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間間隔，分別以增量kxe（xe/

2N

）及k

ye（ye/

2N

）同時(shí)累加的過程。累加的結(jié)果為：機(jī)械工程學(xué)院選擇k時(shí)應(yīng)使每次增量和均小于1，以使在各坐標(biāo)軸每次分配進(jìn)給脈沖時(shí)不超過一個(gè)脈沖(即每次增量只移動(dòng)一個(gè)脈沖當(dāng)量)，即

xe及ye的最大允許值，受到寄存器容量的限制。設(shè)寄存器的字長(zhǎng)為N，則xe及ye的最大允許值為。為滿足式上式的條件即要求,通常取,則這樣既決定了系數(shù)，又保證了和均小于1的條件。故累加次數(shù)為：m=1/k=1/2N

機(jī)械工程學(xué)院

DDA直線插補(bǔ)：以Xe/2N、ye/2N（二進(jìn)制小數(shù)，形式上即Xe、ye）作為被積函數(shù)，同時(shí)進(jìn)行積分（累加），N為累加器的位數(shù)，當(dāng)累加值大于2N-1時(shí)，便發(fā)生溢出，而余數(shù)仍存放在累加器中。積分值=溢出脈沖數(shù)代表的值+余數(shù)當(dāng)兩個(gè)積分累加器根據(jù)插補(bǔ)時(shí)鐘脈沖同步累加時(shí)，用這些溢出脈沖數(shù)（最終X坐標(biāo)Xe個(gè)脈沖、Y坐標(biāo)ye個(gè)脈沖）分別控制相應(yīng)坐標(biāo)軸的運(yùn)動(dòng)，加工出要求的直線。（3）終點(diǎn)判別累加次數(shù)、即插補(bǔ)循環(huán)數(shù)是否等于2N可作為DDA法直線插補(bǔ)判別終點(diǎn)的依據(jù)。（4）組成：二坐標(biāo)DDA直線插補(bǔ)器包括X積分器和Y積分器，每個(gè)積分器都由被積函數(shù)寄存器JVX（速度寄器）和累加器JRX（余數(shù)寄存器）組成。初始時(shí)，X被積函數(shù)寄存器存Xe，Y被積函數(shù)寄存器存ye。機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院2.DDA法直線插補(bǔ)舉例插補(bǔ)第一象限直線OE，起點(diǎn)為O（0，0），終點(diǎn)為E（5，3）。取被積函數(shù)寄存器分別為JVX、JVY，余數(shù)寄存器分別為JRX、JRY，終點(diǎn)計(jì)數(shù)器為JE，均為三位二進(jìn)制寄存器。

累加次數(shù)

X積分器

Y積分器

終點(diǎn)計(jì)數(shù)器JE

備注

JVX(Xe)JRX溢出

Jvy(Ye)JRy溢出0101000011000000初始狀態(tài)1101101011011001第一次迭代21010101011110010X溢出31011110110011011Y溢出41011001011100100X溢出51010011011111101X溢出61011100110101110Y溢出71010111011101111X溢出810100010110001000X,Y溢出A(5,3)XY機(jī)械工程學(xué)院3.DDA法圓弧插補(bǔ)DDA法圓弧插補(bǔ)的積分表達(dá)式 由

令 則圓弧插補(bǔ)時(shí)，是對(duì)切削點(diǎn)的即時(shí)坐標(biāo)Xi與Yi的數(shù)值分別進(jìn)行累加

VVyVxPABRXYO機(jī)械工程學(xué)院

(2)其特點(diǎn)是：1)各累加器的初始值為零，各寄存器為起點(diǎn)坐標(biāo)值；2)X被寄函數(shù)積存器存Yi,Y被寄函數(shù)積存器存Xi，為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)；3)Xi、

Yi在積分過程中，產(chǎn)生進(jìn)給脈沖△X、△Y時(shí)，要對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)進(jìn)行加1或減1的修改；4)DDA圓弧插補(bǔ)的終點(diǎn)判別要有二個(gè)計(jì)數(shù)器，哪個(gè)坐標(biāo)終點(diǎn)到了，哪個(gè)坐標(biāo)停止積分迭代；5)與DDA直線插補(bǔ)一樣，JVX、JVY中的值影響插補(bǔ)速度。機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院4.DDA圓弧插補(bǔ)舉例

YX次序X積分器X終Y積分器Y終注(Yi)(Xi)000000001011010000101初始100000001011011010101200000100001011010101100修正Yi300100101011011110100400101001001011011001011修正Yi501001110001011010011010修正Yi601111101011011100010701110001011001011000111001修正Yi修正Xi810011001001001110001910010101010111000110111000修正Yi修正Xi101011110011011111010011001011010修正Xi121010011001010001修正Xi131011100001001141010111000001000結(jié)束機(jī)械工程學(xué)院5．改進(jìn)插補(bǔ)質(zhì)量的措施

使用法插補(bǔ)時(shí)，其插補(bǔ)進(jìn)給速度不僅與迭代頻率（即脈沖源頻率）成正比，而且還與余數(shù)寄存器的容量成反比，與直線段的長(zhǎng)度（或圓弧半徑）成正比。它們之間有下述關(guān)系成立：式中——插補(bǔ)進(jìn)給速度；——系統(tǒng)脈沖當(dāng)量；——直線段的長(zhǎng)度；——寄存器的容量；——迭代頻率。圓弧插補(bǔ)時(shí)，式中應(yīng)改為圓弧半徑。機(jī)械工程學(xué)院

顯然，即使給定同樣大小的速度指令，直線段的長(zhǎng)度不同，其進(jìn)給速度亦不同（假設(shè)和為固定），因此難以實(shí)現(xiàn)編程進(jìn)給速度，必須設(shè)法加以改善。常用的改善方法是左移規(guī)格化和進(jìn)給速率編程（FRN）。1、進(jìn)給速度的均勻化措施——左移規(guī)格化：當(dāng)被積函數(shù)比較小時(shí)，把被積函數(shù)寄存器中的前0移去，左移規(guī)格化可提高溢出速度，而且使溢出脈沖變得比較均勻。直線：同時(shí)左移，最高位出現(xiàn)1時(shí)停止圓弧：同時(shí)左移，次高位出現(xiàn)1時(shí)停止2、進(jìn)給速率編程（FRN）——利用G93，設(shè)置進(jìn)給速率數(shù)FRN，即FRN=v/L=fδ/2n或FRN=v/R=fδ/2n則v=FRN*L，或v=FRN*R，通過FRN調(diào)整插補(bǔ)時(shí)鐘頻率f，使其與給定的進(jìn)給速度相協(xié)調(diào)，消除線長(zhǎng)L與圓弧半徑R對(duì)進(jìn)給速度的影響。機(jī)械工程學(xué)院第四節(jié)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)

一、概述

1.數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)的基本原理

粗插補(bǔ)：采用時(shí)間分割思想，根據(jù)進(jìn)給速度F和插補(bǔ)周期T，將廓型曲線分割成一段段的輪廓步長(zhǎng)L,L=FT，然后計(jì)算出每個(gè)插補(bǔ)周期的坐標(biāo)增量。精插補(bǔ)：根據(jù)位置反饋采樣周期的大小，由伺服系統(tǒng)完成。

2.插補(bǔ)周期和檢測(cè)采樣周期

插補(bǔ)周期大于插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)間與完成其它實(shí)時(shí)任務(wù)時(shí)間之和，現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)一般為2~4ms，有的已達(dá)到零點(diǎn)幾毫秒。插補(bǔ)周期應(yīng)是位置反饋檢測(cè)采樣周期的整數(shù)倍。3.插補(bǔ)精度分析

直線插補(bǔ)時(shí)，輪廓步長(zhǎng)與被加工直線重合，沒有插