人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)123不等關(guān)系與不等式實(shí)數(shù)(式)的比較大小不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用2.1.1不等關(guān)系與不等式教學(xué)目標(biāo)1.能用不等式(組)表示實(shí)際問題的不等關(guān)系.2.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.核心素養(yǎng)：通過運(yùn)用不等式(組)表示實(shí)際問題的不等關(guān)系及比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).不等關(guān)系與不等式1.能用不等式(組)表示實(shí)際問題的不等關(guān)系.2.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.核心素養(yǎng)：通過運(yùn)用不等式(組)表示實(shí)際問題的不等關(guān)系及比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1.在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和__________.2.關(guān)于實(shí)數(shù)a，b大小的比較，有以下基本事實(shí)：不等關(guān)系如果a－b是正數(shù)，那么________；如果a－b等于0，那么________；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么________，反過來也對(duì).這個(gè)基本事實(shí)可以表示為a>b?____________；a＝b?____________；a<b?____________.3.一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥________，當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立.a>ba＝ba<ba－b>0a－b＝0a－b<02aba＝b不等關(guān)系與不等式[例](多選題)下面列出的不等式中，正確的是(

)解析

a不是負(fù)數(shù)，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成m－4<0；x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x＋2≥0.答案：ACA.a不是負(fù)數(shù)，可表示成a≥0B.x不大于3，可表示成x<3C.m與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成m－4<0D.x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x＋2>0不等關(guān)系與不等式解析

兩個(gè)條件同時(shí)成立，需用不等式組表示.答案：D不等關(guān)系與不等式10y＋x>70[例]一個(gè)兩位數(shù)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，且這個(gè)兩位數(shù)大于70，用不等式表示為____________.

解析

該兩位數(shù)可表示為10y＋x，∴10y＋x>70.答案：不等關(guān)系與不等式題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系[例]某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍，寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式(組).解

設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.不等關(guān)系與不等式1.將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路(1)讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.(3)多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.2.常見的文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號(hào)語言>

<

≥≤總結(jié)提升[例]某汽車公司因發(fā)展需要，需購進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車，根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式(組).解

設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則不等關(guān)系與不等式題型二實(shí)數(shù)(式)的比較大小不等關(guān)系與不等式作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟第一步：作差并變形，其目標(biāo)是應(yīng)容易判斷差的符號(hào).變形有兩種情形：①將差式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因式相乘.②將差式通過配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和，然后判斷.第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系.第三步：得出結(jié)論.總結(jié)提升[練]已知x<1，試比較x3－1與2x2－2x的大小.解

∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)∴x3－1<2x2－2x.不等關(guān)系與不等式[例]為打造“書香校園”，某學(xué)校計(jì)劃用不超過1900本科技類書籍和1620本人文類書籍，組建中、小型兩類圖書角共30個(gè).已知組建一個(gè)中型圖書角需科技類書籍80本，人文類書籍50本；組建一個(gè)小型圖書角需科技類書籍30本，人文類書籍60本.設(shè)組建中型圖書角x個(gè)，用不等式組將題目中的不等關(guān)系表示出來，并求有哪些符合題意的組建方案.題型三不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用解

因?yàn)榻M建中型圖書角x個(gè)，所以組建小型圖書角為(30－x)個(gè)，解這個(gè)不等式組得18≤x≤20.不等關(guān)系與不等式由于x只能取正整數(shù)，∴x的取值是18，19，20.當(dāng)x＝18時(shí)，30－x＝12；當(dāng)x＝19時(shí)，30－x＝11；當(dāng)x＝20時(shí)，30－x＝10.故有三種組建方案：方案一，組建中型圖書角18個(gè)，小型圖書角12個(gè)；方案二，組建中型圖書角19個(gè)，小型圖書角11個(gè)；方案三，組建中型圖書角20個(gè)，小型圖書角10個(gè).不等關(guān)系與不等式1.根據(jù)實(shí)際問題列不等式(組)的關(guān)鍵是通過分析找出問題中的不等關(guān)系，并確定不等號(hào)，然后寫出不等號(hào)兩邊的代數(shù)式.2.根據(jù)實(shí)際問題列出不等式(組)，應(yīng)從是否符合實(shí)際意義出發(fā)，而不能拘于某一種形式.總結(jié)提升[例]在例3的方案中，哪種方案用書籍最少？共用多少本？解

比較3種方案可知當(dāng)x＝18時(shí)用書籍最少.共用書籍130×18＋90×12＝3420(本).不等關(guān)系與不等式1.用不等式(組)表示不等關(guān)系，要注意不等式與不等關(guān)系的對(duì)應(yīng)，不重、不漏，尤其要檢驗(yàn)實(shí)際問題中變量的取值范圍.2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考查它們的差就可以了.作差法比較實(shí)數(shù)的大小一般步驟是作差→恒等變形→判斷差的符號(hào)→下結(jié)論.作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步，變形的方向是化成幾個(gè)完全平方數(shù)和的形式或一些易判斷符號(hào)的因式積的形式.

課堂小結(jié)1.下面能表示“a與b的和是非正數(shù)”的不等式為(

) A.a＋b<0 B.a＋b>0 C.a＋b≤0 D.a＋b≥0

解析

a與b的和是非正數(shù)，即a＋b≤0.答案：C強(qiáng)化訓(xùn)練2.大橋橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車和貨的總重量T滿足關(guān)系為(

) A.T<40 B.T>40 C.T≤40 D.T≥40

解析

“限重40噸”用不等式表示為T≤40.答案：C強(qiáng)化訓(xùn)練3.(多選題)下列說法正確的是(

)A.限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，用不等式表示為v≤40B.某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種

，若截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根，則500x＋600y＝4000C.完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工每人需付工資500元，請(qǐng)瓦工每人需付工資400元，現(xiàn)工人工資預(yù)算為20000元，設(shè)請(qǐng)木工x人，瓦工y人，則x，y滿足的關(guān)系式是5x＋4y≤200D.將進(jìn)貨單價(jià)為x元的商品按y元一個(gè)售出，且x<y，每天最多能賣出400個(gè)，則每天獲得的利潤(rùn)t元滿足t≤400(y－x)解析

選項(xiàng)B中應(yīng)為500x＋600y≤4000；選項(xiàng)A，C，D正確.答案：ACD.強(qiáng)化訓(xùn)練4.不等式a2＋4≥4a中，等號(hào)成立的條件為________.

解析

令a2＋4＝4a，則a2－4a＋4＝0，∴a＝2.答案：a＝2.強(qiáng)化訓(xùn)練5.已知a，b∈R，且ab≠0，則ab－a2________b2(填“<”，“>”或“＝”).強(qiáng)化訓(xùn)練6.一輛汽車原來每天行駛xkm，如果該輛汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程就超過2200km，寫出不等式為______________；如果它每天行駛的路程比原來少12km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時(shí)間，用不等式表示為____________.8(x＋19)>2200

解析

由題意知，汽車原來每天行駛xkm，

8天內(nèi)它的行程超過2200km，則8(x＋19)>2200.

若每天行駛的路程比原來少12km，則原來行駛8天的路程就要用9天多，強(qiáng)化訓(xùn)練答案強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練8.有學(xué)生若干人，住若干間宿舍，如果每間住4人，那么還余19人，如果每間住6人，那么只有一間不滿但不空，求宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù).解

設(shè)宿舍有x間，則學(xué)生有(4x＋19)人，依題意，∵x∈N*，∴x＝10，11或12.學(xué)生人數(shù)分別為59，63，67.故宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù)分別為10間59人，11間63人或12間67人.強(qiáng)化訓(xùn)練123不等關(guān)系與不等式實(shí)數(shù)(式)的比較大小不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用課堂總結(jié)2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)123不等式的性質(zhì)不等式證明不等式的綜合應(yīng)用2.1.2等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的問題;2.進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實(shí)數(shù)的大小;3.通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和大膽猜測(cè)、樂于探究的良好思維品質(zhì).核心素養(yǎng)：1.數(shù)學(xué)抽象；2.邏輯推理；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算；4.數(shù)據(jù)分析；

5.數(shù)學(xué)建模.

知識(shí)梳理1.等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么________；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么________；性質(zhì)3如果a＝b，那么________________；性質(zhì)4如果a＝b，那么____________；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么_____________.b＝aa＝ca±c＝b±cac＝bc知識(shí)梳理2.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.性質(zhì)2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?________.性質(zhì)3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性質(zhì)4如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么____________.性質(zhì)5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性質(zhì)6如果a>b>0，c>d>0，那么____________.性質(zhì)7如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).a>cac<bcac>bd知識(shí)梳理(1)在應(yīng)用性質(zhì)2時(shí)，如果兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)，而另一個(gè)不帶等號(hào)，那么等號(hào)不能傳遞下去.如由a≥b，b>c不能得到a≥c，只能得到a>c.(2)在應(yīng)用性質(zhì)4時(shí)，要特別注意c的符號(hào).當(dāng)c≠0時(shí)，有a>b?ac2>bc2；若沒有“c≠0”這個(gè)條件，則“a>b?ac2>bc2”是錯(cuò)誤的.(3)在使用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要弄清它們成立的前提條件.如性質(zhì)5要求兩個(gè)不等式為同向不等式，性質(zhì)6要求兩個(gè)不等式為同向不等式且不等式兩邊同正，性質(zhì)7要求不等式兩邊同為正數(shù)且n∈N，n≥2.

不等式的性質(zhì)解析選項(xiàng)A中，當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，不成立，其余選項(xiàng)都成立.答案

BCD不等式的性質(zhì)【例】

(多選題)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足c<b<a且ac<0，則下列選項(xiàng)中一定成立的是(

) A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.ac(a－c)<0 D.cb2<ab2解析

因?yàn)閏<b<a且ac<0，故c<0，a>0，所以ab>ac，故A成立；又b－a<0，故c(b－a)>0，故B成立；而a－c>0，ac<0，故ac(a－c)<0，故C成立；當(dāng)b＝0時(shí)，cb2＝ab2，當(dāng)b≠0時(shí)，有cb2<ab2，故cb2<ab2不一定成立，綜上，選ABC.答案

ABC總結(jié)提升不等式的性質(zhì)常與比較大小結(jié)合考查，此類問題一般結(jié)合不等式的性質(zhì)，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.不等式的性質(zhì)解析

a>b>0，c<d<0，即為－c>－d>0，則有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A錯(cuò)；由－c>－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，則D錯(cuò).故選B.答案

B不等式的性質(zhì)【練】設(shè)x<a<0，則下列不等式一定成立的是(

) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax

解析

∵x<a<0，∴x2>a2. ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.

又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2. ∴x2>ax>a2.答案

B不等式的性質(zhì)【練】(多選題)若x>1>y，則下列不等式一定成立的有(

) A.x－1>1－y B.x－1>y－1 C.x－y>1－y D.1－x>y－x

解析

x－1－(1－y)＝x＋y－2，無法判斷它與0的大小關(guān)系，

任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－(1－y)<0，故選項(xiàng)A中不等式不一定成立； x－1－(y－1)＝x－y>0，故選項(xiàng)B中不等式成立； x－y－(1－y)＝x－1>0，故選項(xiàng)C中不等式成立； 1－x－(y－x)＝1－y>0，故選項(xiàng)D中不等式成立.故選BCD.答案

BCD不等式證明

常用的證明不等式的方法1.比較法：比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結(jié)論；為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù);2.綜合法：從已知條件A出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論;3.分析法：“從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”；綜合過程有時(shí)正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程.不等式證明證明

∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).總結(jié)提升

利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．不等式證明證明

(1)因?yàn)閍>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.不等式的綜合應(yīng)用解

∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.不等式的綜合應(yīng)用【例】判斷下列各命題的真假，并說明理由.解(1)a<b,c<0,不一定有ab>0,(2)當(dāng)c>0時(shí)，c3>0，∴a<b，∴是假命題.(3)當(dāng)a＝1，b＝－2，k＝2時(shí)，顯然命題不成立，∴是假命題.(4)當(dāng)a＝2，b＝0，c＝－3時(shí)，滿足a>b，b>c這兩個(gè)條件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴是假命題.不等式的綜合應(yīng)用【例】若1<x<2，4<y<6，則2x－y的取值范圍是__________________.解析

由1<x<2，4<y<6得2<2x<4，－6<－y<－4，兩式相加得－4<2x－y<0答案(-4,0)不等式的綜合應(yīng)用求含字母的數(shù)(或式子)的取值范圍時(shí)，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減，可乘(同正)不可除不等式的綜合應(yīng)用∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.則－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.法二令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.不等式的綜合應(yīng)用【練】(多選題)下列說法正確的是(

)解析

對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閍>－b>0，所以a2>(－b)2，即a2>b2，所以選項(xiàng)A正確；答案

AD課堂總結(jié)1.利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假時(shí)，一定要注意不等式成立的條件.不要弱化條件，尤其是不能憑空捏造性質(zhì).2.利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式是否成立，實(shí)際上就是根據(jù)不等式的性質(zhì)把不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危C明過程中注意不等式成立的條件.

2.2基本不等式第1課時(shí)

基本不等式的證明素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明(重點(diǎn))；2.能熟練運(yùn)用基本不等式來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??；3.能初步運(yùn)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式(難點(diǎn)).1、數(shù)學(xué)運(yùn)算2、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)一、自主學(xué)習(xí)重要不等式與基本不等式小試牛刀×√×√二、經(jīng)典例題題型一

對(duì)基本不等式的理解跟蹤訓(xùn)練1

題型二

利用基本不等式比較大小跟蹤訓(xùn)練2

題型三

用基本不等式證明不等式總結(jié)跟蹤訓(xùn)練3三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2.2基本不等式第2課時(shí)

基本不等式的綜合應(yīng)用素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的最值問題(難點(diǎn))；2.能夠?qū)κ阶舆M(jìn)行變形，構(gòu)造定值；3.會(huì)用基本不等式解決恒成立問題(重點(diǎn))。1、數(shù)學(xué)運(yùn)算2、邏輯推理3、數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)目標(biāo)一、自主學(xué)習(xí)一.

基本不等式與最值二.不等式的性質(zhì)正數(shù)定值定值三．通過變形構(gòu)造定值的方法

如果題目中基本不等式不能滿足“和為定值”或“積為定值”，就不能直接用基本不等式求最值。

需要通過變形，構(gòu)造定值，常見方法有：配項(xiàng)法；配系數(shù)法；分式型基本不等式；常值代換法“1”的代換。小試牛刀×√××二、經(jīng)典例題題型一

利用基本不等式求最值跟蹤訓(xùn)練1

題型二

變形構(gòu)造定值—配項(xiàng)法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練2

題型三

變形構(gòu)造定值—配系數(shù)法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練3

題型四變形構(gòu)造定值—分式型基本不等式總結(jié)跟蹤訓(xùn)練4

題型五變形構(gòu)造定值—常值代換法“1”的代換