第14章超靜定結(jié)構(gòu)

第14章

超靜定結(jié)構(gòu)概述用變形比較法解靜不定結(jié)構(gòu)用力法解靜不定結(jié)構(gòu)

對稱及反對稱性質(zhì)的利用本章應(yīng)用能量法求解超靜定系統(tǒng)。應(yīng)用能量法求解超靜定系統(tǒng)，特別是對桁架、剛架等構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，將更加有效。求解超靜定問題的關(guān)鍵是建立補充方程。超靜定系統(tǒng)，按其多余約束的情況，可以分為外力超靜定系統(tǒng)和內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。§14-1超靜定結(jié)構(gòu)概述1靜不定結(jié)構(gòu)

外力靜不定由于外部的多余約束而構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，一般稱為外力超靜定系統(tǒng)。求解外力超靜定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，代之以多余約束反力，根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程進行求解。

內(nèi)力靜不定有些結(jié)構(gòu)，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出，但無法應(yīng)用截面法求出所有內(nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。求解內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約束。2靜不定次數(shù)的確定靜不定次數(shù)=未知力個數(shù)-獨立平衡方程數(shù)外力靜不定次數(shù)的確定根據(jù)約束的性質(zhì)及力系的類型來確定。內(nèi)力靜不定次數(shù)的確定

平面桁架未知力個數(shù)=約束反力數(shù)+桿件數(shù)獨立方程數(shù)=節(jié)點數(shù)×2

剛架對于閉口的平面剛架，為三次內(nèi)力靜不定；每增加一個閉合框架，就增加三次靜不定。3靜定基和相當系統(tǒng)靜定基(基本靜定系)靜不定系統(tǒng)在解除某些約束后得到的靜定系統(tǒng).靜定基不唯一。相當系統(tǒng)在靜定基上作用外載荷和被解除約束的約束反力的系統(tǒng)。與靜不定系統(tǒng)靜力等效。例：作圖示梁的彎矩圖。解：即解得變形協(xié)調(diào)條件為另解：即解得變形協(xié)調(diào)條件為例：作圖示等剛度剛架的彎矩圖。解：變形協(xié)調(diào)條件為即解得§14-2用力法解靜不定結(jié)構(gòu)1力法與位移法

力法

位移法2力法解靜不定

例子

靜不定次數(shù)1次

靜定基

相當系統(tǒng)

變形協(xié)調(diào)條件

位移的表示

△1X1的表示在B點沿X1的方向加單位力對線彈性結(jié)構(gòu)，有:

代入變形協(xié)調(diào)條件，得到:這就是求解一次靜不定問題的力法正則方程。其中每一項的物理意義是位移。△1F表示:在X1作用點沿X1方向由于外載荷作用而引起的位移。11表示:在X1作用點沿X1方向由于X1處的單位載荷引起的位移?？捎媚獱柗e分表示為:注意：外載荷中不包括X1。對本例用莫爾積分法，或圖乘法可求出由正則方程解出：3N次力法正則方程先以三次靜不定問題為例相當系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)條件:變形協(xié)調(diào)條件:同理，對N次靜不定問題，有其中的常數(shù)項△iF

表示：在Xi作用點沿Xi方向由于外載荷而引起的位移?？捎媚獱柗e分表示為:同理，對N次靜不定問題，有其中的系數(shù)ij

表示：在Xi作用點沿Xi方向由于Xj處的單位載荷引起的位移。根據(jù)位移互等定理，有：ij可用莫爾積分表示為：解靜不定問題的一般步驟1) 判定靜不定次數(shù)；2) 選擇靜定基，得到相當系統(tǒng)；3) 分解載荷：分別將外載荷、各單位載荷作 用在靜定基上；4) 畫出各載荷下的內(nèi)力(彎矩)圖或?qū)懗鰞?nèi)力

(彎矩)方程；5) 用圖乘法或莫爾積分等求出△iF和ij；6) 求解正則方程，解出未知力。例14.4已知:q,a,

EI為常數(shù)。求：靜不定問題。解：

靜不定次數(shù)3次

靜定基

相當系統(tǒng)分解載荷

外載荷

單位載荷分解載荷

外載荷

單位載荷用圖乘法求系數(shù)

外載荷的彎矩圖用圖乘法求系數(shù)

外載荷的彎矩圖

單位載荷的彎矩圖

單位載荷的彎矩圖

計算常數(shù)項△iF

△1F為MF圖與M1圖互乘△2F為MF圖與M2圖互乘

計算常數(shù)項△iF

△1F為MF圖與M1圖互乘△2F為MF圖與M2圖互乘△3F為MF圖與M3圖互乘

計算系數(shù)ij

11為M1圖與M1圖自乘22為M2圖與M2圖自乘33為M3圖與M3圖自乘12為M1圖與M2圖自乘13為M1圖與M3圖自乘23為M2圖與M3圖自乘

將求出的系數(shù)和常數(shù)代入正則方程，有:例：平面剛架受力如圖，各桿EI=常數(shù)。試求C處的約束力及支座A、B的約束反力。解：由力法正則方程得例：解：例：圖示剛架EI為常量，畫出剛架的彎矩圖。解：M

圖由力法正則方程得例：試求圖示平面剛架的支座反力。已知各桿EI=常數(shù)。解：由力法正則方程得例：兩端固定的梁，跨中受集中力F作用，設(shè)梁的抗彎剛度為EI，不計軸力影響。求梁中點的撓度。解：由力法正則方程得例：已知梁的抗彎剛度為EI，不計軸力影響。求梁的支反力。解：由得例：剛架的抗彎剛度為

E

I，承受力

F

后，支座

C

有一下陷量，試求剛架

C

處的反力。解：由得例：已知剛架的抗彎剛度為E

I。試求支座

B

處的反力。解：由得二次拋物線n次拋物線另解：（略）例：已知剛架的抗彎剛度為

E

I,試求剛架內(nèi)最大彎矩及其作用位置。解：作用于固定端

A由得例：已知桁架各桿的拉壓剛度為

EA，求各桿的軸力。解：由得例2已知:F,a,

各桿EA相同。求：各桿內(nèi)力。解：

靜不定次數(shù)

1次

靜定基

相當系統(tǒng)這里，1的物理意義是4號桿切口處的相對位移。

正則方程所以：F15432aa6F154326X1

分解載荷

外載荷作用時的內(nèi)力F154326X1

單位載荷作用時的內(nèi)力1543261

計算△1F

計算△1F

計算11

代入正則方程，解得:

由疊加原理，各桿的內(nèi)力:例3:已知四分之一圓曲桿，F(xiàn),a,EI為常數(shù)。求：彎矩圖。解：

靜不定次數(shù)1次

靜定基

相當系統(tǒng)

對曲桿，不能用圖乘法，用莫爾積分求。

正則方程

分解載荷FABa45°45°X1FAB45°45°

分解載荷

外載荷BC段CA段

單位載荷的彎矩方程

單位載荷

外載荷的彎矩方程FABC1ABC

用莫爾積分求△1F

用莫爾積分求11

1ABC

代入正則方程，得:

由疊加原理，可得到彎矩方程BC段CA段§14-3對稱及反對稱性質(zhì)的利用1對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形和反對稱變形

對稱結(jié)構(gòu)若結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、形狀，構(gòu)件材料及約束條件均對稱于某一軸，則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)。

對稱載荷若載荷的作用位置，大小和方向也對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，則稱為對稱載荷。

反對稱載荷若載荷的作用位置，大小對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，但方向反對稱，則稱為反對稱載荷。對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下對稱變形對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下反對稱變形其中的常數(shù)項△iF

表示：在Xi作用點沿Xi方向由于外載荷而引起的位移?？捎媚獱柗e分表示為:N次超靜定力法的正則方程其中的系數(shù)ij

表示：在Xi作用點沿Xi方向由于Xj處的單位載荷引起的位移。

根據(jù)位移互等定理，有：ij可用莫爾積分表示為：內(nèi)容回顧解靜不定問題的一般步驟1) 判定靜不定次數(shù)；2) 選擇靜定基，得到相當系統(tǒng)；3) 分解載荷：分別將外載荷、各單位載荷作 用在靜定基上；4) 畫出各載荷下的內(nèi)力(彎矩)圖或?qū)懗鰞?nèi)力

(彎矩)方程；5) 用圖乘法或莫爾積分等求出△iF和ij；6) 求解正則方程，解出未知力。對稱及反對稱性質(zhì)的利用（以3次超靜定為例）對稱結(jié)構(gòu)與對稱載荷對稱結(jié)構(gòu)：若結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、形狀，構(gòu)件材料及約束條件均對稱于某一軸，則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)。對稱載荷：若載荷的作用位置，大小和方向也對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，則稱為對稱載荷。2對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷時的特點對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷作用時，在對稱截面上，反對稱內(nèi)力（剪力）為零。證明：從對稱截面截開。即要證明，X2=0證明：從對稱截面截開。即要證明，X2=0用圖乘法可證明△2F，

21和23

均為零。由正則方程由MF和M2圖由M1和M2圖由M2和M3圖又所以用圖乘法可證明△2F，

21和23

均為零。用圖乘法可證明△2F，

21和23

均為零。由正則方程對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷作用時，在對稱截面上，反對稱內(nèi)力（剪力）為零。3對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷時的特點對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱內(nèi)力（彎矩和軸力）為零。證明：從對稱截面截開。即要證明：

X1=0，

X3=0證明：從對稱截面截開。即要證明：

X1=0，

X3=0由正則方程用圖乘法可證明△1F，△3F，

12和23

均為零。由MF和M2圖由M1和M2圖由M2和M3圖又所以用圖乘法可證明△1F，△3F，

21和23

均為零。由MF和M3圖用圖乘法可證明△1F

，

△3F，

21和23

均為零。由正則方程對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱內(nèi)力（軸力和彎矩）為零。++4可轉(zhuǎn)化為對稱載荷或反對稱載荷的情況例：平面框架受切向分布載荷q作用，求截面A的剪力、彎矩和軸力。解：注：對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱內(nèi)力（彎矩和軸力）為零。例：圖示小曲率桿在力偶與均勻分布剪流作用下處于平衡狀態(tài),已知、與常數(shù),試求截面A的剪力、彎矩和軸力。解：例：等截面平面框架的受力情況如圖所示。試求最大彎矩及其作用位置。解：作用于框架四條邊的正中間例：已知結(jié)構(gòu)的抗彎剛度為EI，求對稱軸上

A

截面的內(nèi)力。解：由得所以例：已知剛架的抗彎剛度為EI。試求截面

A

處彎矩。解：由得另解：例：圖示平面桁架，各桿的彈性模量

E

皆相同，CA、AB、BF

三桿的橫截面面積均為，其余各桿面積均為。試求桿

AB

的軸力。解：將載荷分解為正對稱與反對稱，在反對稱情況下桿AB的軸力為零。=+由得例：圖示桁架各桿的拉壓剛度為

EA，試求各桿軸力。解：

由得

解：例：圖示桁架各桿的拉壓剛度為

EA，試求各桿軸力。(a

為1、2、3桿的長度)由得另解：(a

為1、2、3桿的長度)由得例：圖示桁架，各桿的拉壓剛度均為EA，試求支反力。解：由得再由靜力平衡方程可求得其它支反力，略。例：圖示桁架，各桿長度均為a，拉壓剛度均為EA，試求各桿軸力。解：由得各桿軸力均為例：已知圖示半圓曲桿的抗彎剛度為EI，試求支反力。解：由得1靜不定結(jié)構(gòu)

外力靜不定由于外部的多余約束而構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，一般稱為外力超靜定系統(tǒng)。求解外力超靜定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，代之以多余約束反力，根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程進行求解。本章小結(jié)

內(nèi)力靜不定有些結(jié)構(gòu)，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出，但無法應(yīng)用截面法求出所有內(nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。求解內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約束。2靜不定次數(shù)的確定靜不定次數(shù)=未知力個數(shù)-獨立平衡方程數(shù)外力靜不定次數(shù)的確定根據(jù)約束的性質(zhì)及力系的類型來確定。內(nèi)力靜不定次數(shù)的確定

平面桁架未知力個數(shù)=約束反力數(shù)+桿件數(shù)獨立方程數(shù)=節(jié)點數(shù)×2

剛架對于閉口的平面剛架，為三次內(nèi)力靜不定；每增加一個閉合框架，就增加三次靜不定。3靜定基和相當系統(tǒng)靜定基(基本靜定系)靜不定系統(tǒng)在解除某些約束后得到的靜定系統(tǒng).靜定基不唯一。相當系統(tǒng)在靜定基上作用外載荷和被解除約束的約束反