高中數(shù)學人教B版第一章立體幾何初步 5

第14課時1.2.3課時目標1.理解線面垂直的概念．2．掌握直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．識記強化1．空間直線與平面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交于一點，并且和這個平面內(nèi)過交點的任何直線都垂直，我們說這條直線和這個平面互相垂直，這條直線叫平面的垂線，這個平面叫直線的垂面，交點叫垂足，垂線上任意一點到垂足間的線段，叫這個點到平面的垂線段，垂線段的長度叫這個點到平面的距離．2．直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．推論1：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．推論2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行．3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．課時作業(yè)一、選擇題(每個5分，共30分)1．給出下列三個命題：()①經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與該直線垂直；②經(jīng)過直線外一點有且只有一個平面與該直線垂直；③若a∥b，a⊥α，則b⊥α.其中正確命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案：C解析：①不正確，因為過直線外一點可以作一個平面與此直線垂直，平面上所有過該點的直線都與這條直線垂直；②正確，因為過直線外一點只能作一個平面與此直線垂直；③顯然正確．故選C.2．已知兩條異面直線平行于平面α，直線l與這兩條異面直線都垂直，那么直線l與平面α的位置關系是()A．平行B．垂直C．斜交D．不能確定答案：B解析：設a，b為這兩條異面直線，則a∥平面α，b∥平面α，l⊥a，l⊥b.過a作平面β∩α＝a′，則a∥a′，∴l(xiāng)⊥a′；過b作平面γ∩α＝b′，同理得l⊥b′.∵a，b為異面直線，∴a′與b′相交，又a′?平面α，b′?平面α，∴l(xiāng)⊥平面α.故選B.3．已知a，b，c是直線，α，β是平面，下列條件中，能得出直線a⊥α的是()A．a(chǎn)⊥b，a⊥c，且b?α，c?αB．a(chǎn)⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a(chǎn)∥b，b⊥α答案：D解析：如果兩條平行線中有一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故選D.4．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若n∥m，n⊥α，則m⊥α答案：D解析：對于A，若m∥n，則α與β可以相交；對于B，m與n還可以異面；對于C，n還可以在平面α內(nèi)；對于D，顯然正確．故選D.5．已知三條相交于一點的線段PA，PB，PC兩兩垂直，PH⊥平面ABC于點H，則垂足H是△ABC的()A.外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心答案：C解析：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.∵PH⊥平面ABC，∴PH⊥BC.又PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理可證AB⊥CH，AC⊥BH，∴H為△ABC的垂心．6．如圖，O為正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則直線A1D，AA1，A1D1，A1C1中與B1OA．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C答案：D解析：連接B1D1，則A1C1⊥B1D1.根據(jù)正方體的特征，可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O?平面BB1D1D，所以B1O⊥A二、填空題(每個5分，共15分)7．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是__________．答案：菱形解析：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因為PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以AC⊥BD.8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，E為BD上一點，PE⊥DE，則PE的長為________．答案：eq\f(13,5)解析：連接AE.∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.又BD⊥PE，PA∩PE＝P，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥AE.∴AE＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5).在Rt△PAE中，由PA＝1，AE＝eq\f(12,5)，得PE＝eq\f(13,5).9．Rt△ABC所在平面外一點P到直角頂點C的距離為24cm，到兩直角邊的距離為6eq\r(10)cm.則P點到平面ABC的距離是________答案：12解析：設P到平面的距離為x，依題意有(6eq\r(10))2－x2＋(6eq\r(10))2－x2＝242－x2，解得：x＝12.三、解答題10．(12分)如圖，在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，EC＝12，求ED的長．解：連接CD.∵EC⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴EC⊥CD.在Rt△ACB中，∠ACB＝eq\f(π,2)，BC＝8，AC＝6，故AB＝10.又∵D為AB的中點，∴CD＝eq\f(1,2)AB＝6.又∵EC＝12，∴ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(122＋62)＝6eq\r(5).11．(13分)如圖，在四面體A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，且EF＝eq\r(2).求證：BD⊥平面ACD.證明：取CD的中點為G，連接EG，F(xiàn)G.∵E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，∴EG∥AC，F(xiàn)G∥BD.又AC＝BD＝2，則EG＝FG＝1.∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.能力提升12．(5分)如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E是側(cè)棱PD的中點．(1)求證：PB∥平面EAC；(2)求證：AE⊥平面PCD.證明：(1)連結(jié)BD，BD∩AC＝O，連結(jié)EO，則EO為△PDB的中位線，則PB∥EO.所以PB∥平面EAC.(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面PAD⊥平面ABCD,矩形ABCD?CD⊥AD))?CD⊥平面PAD?CD⊥AE.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EP＝ED,正△PAD))?AE⊥PD，則AE⊥平面PCD.13．(15分)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝eq\r(34).(1)求證：PA⊥平面ABC.(2)過C作CF⊥PB于點F，在線段AB上是否存在一點E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求點E的位置；若不存在，請說明理由．解：(1)由已知，得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB.又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC.(2)假設在AB上存在一點E，使得PB⊥平面CEF.因為CE?平面CEF，所以PB⊥C