2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)9三角函數(shù)的簡單應(yīng)用學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9三角函數(shù)的簡單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題.2.體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．知識點利用三角函數(shù)模型解釋自然現(xiàn)象在客觀世界中,周期現(xiàn)象廣泛存在，潮起潮落、星月運轉(zhuǎn)、晝夜更替、四季輪換，甚至連人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況都呈現(xiàn)周期性變化．思考現(xiàn)實世界中的周期現(xiàn)象可以用哪種數(shù)學(xué)模型描述？梳理（1)利用三角函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟:第一步:閱讀理解，審清題意．讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字，理解題目所反映的實際背景,在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．第二步:收集、整理數(shù)據(jù),建立數(shù)學(xué)模型．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律，運用已掌握的三角函數(shù)知識、物理知識及相關(guān)知識建立關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題,即建立三角函數(shù)模型，從而實現(xiàn)實際問題的數(shù)學(xué)化．第三步：利用所學(xué)的三角函數(shù)知識對得到的三角函數(shù)模型予以解答．第四步：將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案．（2)三角函數(shù)模型的建立程序如圖所示：類型一三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用例1已知電流I與時間t的關(guān)系為I＝Asin(ωt＋φ)．(1)如圖所示的是I＝Asin（ωt＋φ)(ω〉0,｜φ｜<eq\f(π,2））在一個周期內(nèi)的圖像，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段eq\f(1,150）的時間內(nèi),電流I＝Asin（ωt＋φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？反思與感悟此類問題的解決關(guān)鍵是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言,其中，讀圖、識圖、用圖是數(shù)形結(jié)合的有效途徑．跟蹤訓(xùn)練1一根細線的一端固定，另一端懸掛一個小球，當(dāng)小球來回擺動時，離開平衡位置的位移S（單位:cm)與時間t(單位：s）的函數(shù)關(guān)系是S＝6sin（2πt＋eq\f（π，6）)．（1)畫出它的圖像；（2）回答以下問題：①小球開始擺動（即t＝0)，離開平衡位置是多少？②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少？③小球來回擺動一次需要多少時間?類型二三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用例2某游樂園的摩天輪最高點距離地面108米,直徑長是98米,勻速旋轉(zhuǎn)一圈需要18分鐘．如果某人從摩天輪的最低處登上摩天輪并開始計時，那么：（1)當(dāng)此人第四次距離地面eq\f(69，2)米時用了多少分鐘？(2）當(dāng)此人距離地面不低于（59＋eq\f（49，2）eq\r(3)）米時可以看到游樂園的全貌，求摩天輪旋轉(zhuǎn)一圈中有多少分鐘可以看到游樂園的全貌？反思與感悟解決三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題必須按照一般應(yīng)用題的解題步驟執(zhí)行．(1)認真審題，理清問題中的已知條件與所求結(jié)論．（2）建立三角函數(shù)模型，將實際問題數(shù)學(xué)化．(3)利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決關(guān)于三角函數(shù)的問題，求得數(shù)學(xué)模型的解．（4)根據(jù)實際問題的意義,得出實際問題的解．（5）將所得結(jié)論返回、轉(zhuǎn)譯成實際問題的答案．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，一個摩天輪半徑為10m,輪子的底部在距離地面2m處，如果此摩天輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每30s轉(zhuǎn)一圈,且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點P處(點P與摩天輪中心高度相同)時開始計時．(1）求此人相對于地面的高度關(guān)于時間的關(guān)系式；（2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，大約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17m.1．一根長lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球,小球擺動時離開平衡位置的位移s（cm)與時間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為s＝3coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f（g，l））t＋\f（π,3)）)，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動的周期是1s時，線長l＝________cm.2．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（π,6)x－6））(x＝1,2，3,…，12）來表示,已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃,12月份的月平均氣溫最低，為18℃,則10月份的平均氣溫為________℃.3．一個單擺的平面圖如圖．設(shè)小球偏離鉛錘方向的角為α(rad）,并規(guī)定當(dāng)小球在鉛錘方向右側(cè)時α為正角，左側(cè)時α為負角．α作為時間t(s）的函數(shù)，近似滿足關(guān)系式α＝Asin(ωt＋eq\f（π，2)）,其中ω〉0.已知小球在初始位置(即t＝0)時，α＝eq\f(π，3)，且每經(jīng)過πs小球回到初始位置，那么A＝________；α關(guān)于t的函數(shù)解析式是________________．4．某實驗室一天的溫度（單位:℃）隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:f(t）＝10－2sin(eq\f（π,12）t＋eq\f(π,3）），t∈[0,24)．（1）求實驗室這一天的最大溫差;(2)若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？1．三角函數(shù)模型是研究周期現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)模型．三角函數(shù)模型在研究物理、生物、自然界中的周期現(xiàn)象（運動）有著廣泛的應(yīng)用．2．三角函數(shù)模型構(gòu)建的步驟(1)收集數(shù)據(jù)，觀察數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)是否具有周期性的重復(fù)現(xiàn)象．(2)制作散點圖,選擇函數(shù)模型進行擬合．(3)利用三角函數(shù)模型解決實際問題．（4)根據(jù)問題的實際意義,對答案的合理性進行檢驗．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點思考三角函數(shù)模型．題型探究例1解（1)由圖可知A＝300，設(shè)t1＝－eq\f（1,900）,t2＝eq\f（1，180）,則周期T＝2（t2－t1)＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，180）＋\f(1,900)））＝eq\f(1，75).∴ω＝eq\f(2π,T）＝150π.又當(dāng)t＝eq\f（1，180)時，I＝0,即sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(150π·\f（1,180)＋φ）)＝0，而｜φ|<eq\f（π，2)，∴φ＝eq\f（π,6).故所求的解析式為I＝300sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6）)）。(2）依題意知，周期T≤eq\f(1，150）,即eq\f(2π,ω）≤eq\f（1，150)(ω〉0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N*,故所求最小正整數(shù)ω＝943.跟蹤訓(xùn)練1解（1)周期T＝eq\f(2π,2π）＝1(s)．列表：t0eq\f(1,6）eq\f（5，12)eq\f(2，3）eq\f(11，12)12πt＋eq\f(π,6）eq\f（π，6）eq\f（π，2)πeq\f（3π，2）2π2π＋eq\f(π,6）6sin(2πt＋eq\f(π,6））360－603描點畫圖：(2)①小球開始擺動(即t＝0）,離開平衡位置為3cm。②小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6cm。③小球來回擺動一次需要1s（即周期)．例2解(1)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)此人登上摩天輪t分鐘時距地面y米，則α＝eq\f(2π,18)t＝eq\f(π，9)t。由y＝108－eq\f(98,2）－eq\f(98,2）coseq\f（π,9)t＝－49coseq\f（π，9)t＋59(t≥0)．令－49coseq\f(π，9)t＋59＝eq\f（69,2)，得coseq\f(π，9)t＝eq\f（1,2)，∴eq\f(π,9)t＝2kπ±eq\f（π,3),故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3,15，21，33。故當(dāng)此人第四次距離地面eq\f（69,2)米時用了33分鐘．(2)由題意得－49coseq\f（π,9)t＋59≥59＋eq\f(49，2)eq\r（3)，即coseq\f(π,9）t≤－eq\f(\r(3)，2).故不妨在第一個周期內(nèi)求即可，∴eq\f(5π,6）≤eq\f（π，9)t≤eq\f(7π,6),解得eq\f（15,2）≤t≤eq\f（21,2)，故eq\f（21，2)－eq\f（15,2）＝3。因此摩天輪旋轉(zhuǎn)一圈中有3分鐘可以看到游樂園的全貌．跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)在ts時，摩天輪上某人在高hm處．這時此人所轉(zhuǎn)過的角為eq\f（2π,30)t＝eq\f(π，15）t,故在ts時,此人相對于地面的高度為h＝10sineq\f（π,15）t＋12(t≥0)．(2）由10sineq\f（π,15）t＋12≥17，得sineq\f(π，15）t≥eq\f(1，2），則eq\f(5，2）≤t≤eq\f（25，2)。故此人有10s相對于地面的高度不小于17m.當(dāng)堂訓(xùn)練1。eq\f（g，4π2)2.20。53.eq\f(π，3)α＝eq\f（π,3）sin(2t＋eq\f(π，2)),t∈［0，＋∞）4．解（1)因為f（t)＝10－2sin（eq\f(π，12)t＋eq\f（π,3）)，又0≤t<24，所以eq\f（π，3)≤eq\f(π，12）t＋eq\f（π,3）<eq\f（7π，3），－1≤sin（eq\f(π，12）t＋eq\f（π，3））≤1。當(dāng)t＝2時，sin(eq\f(π,12)t＋eq\f（π,3）)＝1；當(dāng)t＝14時,sin（eq\f(π,12)t＋eq\f（π，3))＝－1。于是f（t）在［0，24)上的最大值為12，最小值為8。故實驗室這一天的最高溫度為12℃,最低溫度為8℃,最大溫差為4℃.（2)依題意,當(dāng)f（t）〉11時實驗室需要降溫．由(1)得f(t)＝10－2sin（eq\f（π,12）t＋eq\f（π，3)),故有10－2sin（eq\f（π，12）t＋eq\f(π，3））〉