2017-2018版高中數(shù)學第一章統(tǒng)計案例1.2回歸分析（二）學案1-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1.2回歸分析（二）明目標、知重點1.進一步體會回歸分析的基本思想.2。通過非線性回歸分析,判斷幾種不同模型的擬合程度。1。常見的非線性回歸模型有冪函數(shù)曲線y＝axb，指數(shù)曲線y＝aebx。倒指數(shù)曲線,對數(shù)曲線y＝a＋blnx。2.非線性函數(shù)可以通過變換轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，得到線性回歸方程,再通過相應變換得到非線性回歸方程。探究點一非線性回歸模型思考1有些變量間的關系并不是線性相關，怎樣確定回歸模型？答首先要作出散點圖，如果散點圖中的樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi),則兩個變量不呈現(xiàn)線性相關關系，不能直接利用回歸方程來建立兩個變量之間的關系，這時可以根據(jù)已有的函數(shù)知識,觀察樣本點是否呈指數(shù)函數(shù)關系或二次函數(shù)關系，選定適當?shù)幕貧w模型。思考2如果兩個變量呈現(xiàn)非線性相關關系，怎樣求出回歸方程？答可以通過對解釋變量進行變換,如對數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個變量間的回歸方程，再得到所求兩個變量的回歸方程.例1某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表:身高x/cm60708090100110體重y/kg6。137.909。9912。1515。0217。50身高x/cm120130140150160170體重y/kg20.9226。8631.1138.8547.2555.05試建立y與x之間的回歸方程.解根據(jù)上表中數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖所示.由圖看出,樣本點分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y＝的周圍，于是令z＝lny。x60708090100110120130140150160170z1.812.072。302。502.712.863。043.293.443.663。864。01畫出散點圖如圖所示.由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的線性回歸方程：eq\o（z，\s\up6(^））＝0。663＋0.020x，則有eq\o(y,\s\up6（^))＝e0。663＋0.020x。反思與感悟根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝的周圍，其中c1和c2是待定參數(shù)；可以通過對x進行對數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為線性相關關系。跟蹤訓練1在彩色顯影中，由經(jīng)驗知：形成染料光學密度y與析出銀的光學密度x由公式y(tǒng)＝（b<0）表示.現(xiàn)測得試驗數(shù)據(jù)如下：xi0。050。060。250。310。070.10yi0。100.141.001.120。230。37xi0.380。430.140。200.47yi1。191。250。590。791。29試求y對x的回歸方程。解由題給的公式y(tǒng)＝，兩邊取自然對數(shù),便得lny＝lnA＋eq\f（b,x)，與線性回歸方程相對照，只要取u＝eq\f（1，x)，v＝lny，a＝lnA.就有v＝a＋bu。題給數(shù)據(jù)經(jīng)變量置換u＝eq\f（1，x)，v＝lny變成如下表所示的數(shù)據(jù)：ui20.00016。6674。0003。22614。28610.000vi－2。303－1.96600.113－1.470－0。994ui2.6322。3267.1435.0002.128vi0.1740.223－0.528－0.2360。255可得lneq\o(y，\s\up6（^)）＝0.548－eq\f（0.146，x），即eq\o（y,\s\up6（^)）＝e0.548－eq\f（0。146，x)＝e0。548·e－eq\f（0.146，x)≈1.73e－eq\f（0.146，x），這就是y對x的回歸方程。探究點二非線性回歸分析思考對于兩個變量間的相關關系，是否只有唯一一種回歸模型來擬合它們間的相關關系?答不一定。我們可以根據(jù)已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)圖象進行比較，挑選一種擬合比較好的函數(shù)，作為回歸模型.例2對兩個變量x,y取得4組數(shù)據(jù)（1,1)，（2,1。2)，（3，1。3），（4，1.37)，甲、乙、丙三人分別求得數(shù)學模型如下:甲y＝0.1x＋1，乙y＝－0。05x2＋0。35x＋0。7，丙y＝－0。8·（0.5)x＋1。4，試判斷三人誰的數(shù)學模型更接近于客觀實際.解甲模型,當x＝1時，y＝1.1；當x＝2時，y＝1.2；當x＝3時，y＝1.3；當x＝4時，y＝1.4。乙模型,當x＝1時,y＝1；當x＝2時，y＝1.2;當x＝3時，y＝1。3;當x＝4時，y＝1.3。丙模型,當x＝1時，y＝1；當x＝2時，y＝1。2;當x＝3時，y＝1.3;當x＝4時，y＝1.35.觀察4組數(shù)據(jù)并對照知，丙的數(shù)學模型更接近于客觀實際.跟蹤訓練2根據(jù)統(tǒng)計資料，我國能源生產(chǎn)自1986年以來發(fā)展很快.下面是我國能源生產(chǎn)總量（單位：億噸標準煤)的幾個統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份1986199119962001產(chǎn)量8.610.412.916.1根據(jù)有關專家預測，到2010年我國能源生產(chǎn)總量將達到21。7億噸左右，則專家所選擇的回歸模型是下列四種模型中的哪一種.（填序號）①y＝ax＋b(a≠0）；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0）；③y＝ax(a>0且a≠1)；④y＝logax(a>0且a≠1）。答案①1.散點圖在回歸分析中的作用是（）A.查找個體個數(shù)B.比較個體數(shù)據(jù)大小關系C。探究個體分類D.粗略判斷變量是否相關答案D2.變量x與y之間的回歸方程表示(）A.x與y之間的函數(shù)關系B。x與y之間的不確定性關系C.x與y之間的真實關系形式D。x與y之間的真實關系達到最大限度的吻合答案D3.變量x，y的散點圖如圖所示，那么x，y之間的樣本相關系數(shù)r最接近的值為（）A.1 B。－0.5C。0 D。0。5答案C4.某礦山采煤的單位成本Y與采煤量x有關，其數(shù)據(jù)如下:采煤量(千噸)899816222729293150單位成本(元)3.52.92.19.69.18.58.08.07。0則Y對x的相關系數(shù)為。答案－0.5593[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]1.對于可確定具有非線性相關關系的兩個變量，可以通過對變量進行變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸問題去解決。2?？梢酝ㄟ^計算相關系數(shù)r判斷模型擬合的好壞程度.由于2004對應的x＝55,代入回歸直線方程可得eq\o(y，\s\up6（^））＝1322.506(百萬),即2004年的人口總數(shù)估計為13。23億。下面對其進行線性相關性檢驗：（1)作統(tǒng)計假設H0∶x與y不具有線性相關；（2）由0.01與n－2＝9的附表中查得r0.01＝0.735；(3)根據(jù)公式得相關系數(shù)r＝0。998；（4）因為|r|＝0。998〉0。735,即|r｜〉r0.01,所以有99％的把握認為x與y之間具有線性相關關系，回歸直線方程