第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)

第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)

測(cè)量誤差概述衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)等精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值及精度評(píng)定誤差傳播定律及其應(yīng)用加權(quán)平均值及其中誤差第五章學(xué)習(xí)重點(diǎn)

1.衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。

2.用最或然誤差求觀測(cè)值的中誤差。

3.一般函數(shù)求中誤差的公式。§5-1測(cè)量誤差概述

誤差的概念真值——能代表觀測(cè)量真實(shí)大小的值；觀測(cè)值——通過(guò)觀測(cè)獲得的觀測(cè)量的值；誤差——觀測(cè)值與理論值之間的差值，?i=Li-X(真誤差)。誤差來(lái)源—儀器：由于設(shè)計(jì)、制造上的不完善，或檢校后存在的殘余誤差，給觀測(cè)值帶來(lái)的誤差?！耍河捎谌说纳砭窒蓿夹g(shù)水平的高低和工作態(tài)度，給觀測(cè)值帶來(lái)的誤差。—外界條件：由于外界條件如溫度、濕度、風(fēng)力等的變化，給觀測(cè)值帶來(lái)的誤差。觀測(cè)條件等精度觀測(cè)與非等精度觀測(cè)誤差的分類系統(tǒng)誤差—在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小具有確定性的規(guī)律，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。—系統(tǒng)誤差具有累積性和可消減性。可以在觀測(cè)前采取有效的預(yù)防措施、觀測(cè)時(shí)采用合理的方法，觀測(cè)后對(duì)觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行必要的計(jì)算改正，以盡量消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響。偶然誤差—在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果單個(gè)誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小都表現(xiàn)出偶然性，但多次觀測(cè)的誤差總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差?！魏斡^測(cè)值都會(huì)包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，有時(shí)還包含粗差（錯(cuò)誤或超限）。—當(dāng)觀測(cè)值中的粗差被剔除，系統(tǒng)誤差被消除或削弱到最小限度，可以認(rèn)為觀測(cè)值中僅含偶然誤差，從而把觀測(cè)值和偶然誤差都當(dāng)作隨機(jī)變量，用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)研究。偶然誤差的分布一定的觀測(cè)條件，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的分布。偶然誤差服從數(shù)學(xué)期望為０的正態(tài)分布，即Δ～(0,σ2)y=(nb/n)/dΔy=f(Δ)Δ1.002.03.0-1.0-2.0-3.0dΔ0.20.4Sn偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限值；絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大；絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零?！?-2衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差：用來(lái)反映誤差分布的密集或離散程度的量，其大小為該組觀測(cè)值所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值?！烧嬲`差計(jì)算中誤差的公式容許誤差：測(cè)量中規(guī)定的誤差的限值，通常取中誤差的三倍或兩倍作為限差。相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與觀測(cè)值的比值，并將分子化作1的分?jǐn)?shù)。§5-3算術(shù)平均值及其中誤差

算術(shù)平均值算術(shù)平均值的中誤差觀測(cè)值的中誤差—由觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差—改正數(shù)的概念—由觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算中誤差—實(shí)例觀測(cè)值的中誤差由觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差其中

改正數(shù)的概念由觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算中誤差（2）+（3），得令算術(shù)平均值的真誤差為則有

……(5)觀測(cè)值的中誤差由（3）可知（5）中[Ⅴ]=0所以有

∑(5)式實(shí)例設(shè)對(duì)某角同精度觀測(cè)6測(cè)回，觀測(cè)值見(jiàn)下表。試求該角的最或然值、觀測(cè)值中誤差和最或然值中誤差。（計(jì)算在表格中進(jìn)行，注意檢核。）編號(hào)觀

測(cè)

值ⅤⅤⅤ精度評(píng)定175°21′26″00275°21′24″+24375°21′23″+39475°21′25″+11575°21′28″-24675°21′30″-41輔助計(jì)算x=75°21′26″[V]=0[VV]=34§5-4誤差傳播定律及其應(yīng)用誤差傳播定律—闡述觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律?！€性函數(shù)的誤差傳播定律—非線性函數(shù)的誤差傳播定律誤差傳播定律在測(cè)量中的應(yīng)用舉例—水準(zhǔn)測(cè)量的精度—距離測(cè)量的精度—水平角測(cè)量的精度—根據(jù)實(shí)際要求確定觀測(cè)精度和觀測(cè)方法誤差傳播定律（線性函數(shù)）誤差傳播定律（線性函數(shù)）兩種特殊情況(1)設(shè)Z是一組同精度獨(dú)立觀測(cè)值的代數(shù)和，該組觀測(cè)值的中誤差均為m，即Z=x1±x2±.....±xn

則(2)對(duì)某量同精度觀測(cè)n次，則其算術(shù)平均值為

設(shè)觀測(cè)值的中誤差為m，則觀測(cè)值的算術(shù)平均值中誤差為誤差傳播定律（非線性函數(shù)）設(shè)t個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值的非線性函數(shù)

z=?（x1,x2…xt）對(duì)該式求全微分，并用真誤差代替微分量，有再利用線性函數(shù)的誤差傳播定律公式，可得誤差傳播定律（非線性函數(shù)）

例:

設(shè)沿傾斜面上A、B兩點(diǎn)間量得距離S=29.992m±3mm,并測(cè)得兩點(diǎn)之間的高差h=2.05m±50mm。試求水平距離D0及其中誤差mD0。誤差傳播定律（非線性函數(shù)）設(shè)對(duì)下圖中的三角形測(cè)得α=50°05′50″±10″，β=89°43′40″±20″,b=150.00m±0.05m;

試求a邊的長(zhǎng)度及其中誤差ma。解:為便于對(duì)求全微分,先對(duì)其取自然對(duì)數(shù),得Ina=Inb+Insina-Insinβ,然后對(duì)上式求全微分,有統(tǒng)一單位后，則有即ma=±0.04ma=115.07m±0.04mABCabαβ運(yùn)用誤差傳播定律的方法

（1）建立函數(shù)Z=?（x1,x2,……..,xt）（2）對(duì)于獨(dú)立觀測(cè)值的線性函數(shù)，可直接應(yīng)用誤差傳播定律公式；若自變量中有非獨(dú)立觀測(cè)值，應(yīng)變換成獨(dú)立觀測(cè)值的線性函數(shù)后，再應(yīng)用誤差傳播定律。（3）對(duì)非線性函數(shù)，必須通過(guò)求其全微分化成線性形式。（4）連乘連除的非線性函數(shù)，可先取對(duì)數(shù)，再求全微分。（5）注意統(tǒng)一單位。誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例

(1)水準(zhǔn)測(cè)量的精度設(shè)對(duì)A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差h施測(cè)了n個(gè)測(cè)站，則hAB=h1+h2+…+hn

若各測(cè)站觀測(cè)的精度相同，其中誤差均為m站，則

設(shè)各測(cè)站的S大致相等，A、B間的距離為L(zhǎng)，則測(cè)站數(shù)如果L、S均以千米為單位，則為1Km觀測(cè)高差的中誤差，令

誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例(2)距離丈量的精度若用長(zhǎng)度為l的鋼尺量距，連續(xù)丈量n個(gè)整尺段，設(shè)全長(zhǎng)為D，則D=l1+l2+???+ln設(shè)每尺段的量距中誤差為ml則

其中是定值，為單位長(zhǎng)度的量距中誤差。即誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例(3)水平角測(cè)量的精度DJ6級(jí)經(jīng)緯儀一測(cè)回方向值中誤差為m方=±６"角值是兩個(gè)方向值之差，故一測(cè)回角值中誤差為設(shè)n邊形各內(nèi)角均觀測(cè)一測(cè)回，其閉合差為

ω=(β1+β2+???+βn)-(n-2)1800n邊形閉合差的中誤差為取三倍中誤差為容許誤差，則多邊形閉合差的容許誤差為一般取或誤差傳播定律在測(cè)量上應(yīng)用舉例

(4)根據(jù)實(shí)際要求確定觀測(cè)精度和觀測(cè)方法設(shè)對(duì)某三角形觀測(cè)了α及β，若α角以±3″的精度觀測(cè)，為使r角的中誤差≤±5″，問(wèn)β應(yīng)以怎樣的精度進(jìn)行觀測(cè)？若使用J6級(jí)經(jīng)緯儀應(yīng)測(cè)幾測(cè)回？根據(jù)誤差傳播定律，有J6級(jí)經(jīng)緯儀一測(cè)回測(cè)角中誤差為±8.5″，若觀測(cè)n個(gè)測(cè)回，β角平均值的中誤差為則有即β角應(yīng)測(cè)5測(cè)回。ABCγαβ不等精度觀測(cè)不同觀測(cè)條件下的一組觀測(cè)。誤差小，精度高，所占比重（權(quán)）大，反之亦然。權(quán)定義式：設(shè)pi表示觀測(cè)值Li的權(quán)，則式中μ為任意常數(shù)，在確定同一組觀測(cè)值的權(quán)pi時(shí)，必須采用同一個(gè)μ值。幾個(gè)概念單位權(quán)：等于１的權(quán)。單位權(quán)觀測(cè)值：權(quán)為１的觀測(cè)值。單位權(quán)中誤差：權(quán)為１的觀測(cè)值的中誤差(μ)?！?-4加權(quán)平均值及其中誤差例：已知L1的中誤差m1=±３mm，L２的中誤差m２=±４mm，L３的中誤差m３=±５mm。求各觀測(cè)值的權(quán)。解：若設(shè)μ=m1=±３mm，則，若設(shè)μ=±１mm，則，上述兩組權(quán)

單位權(quán)中誤差的計(jì)算公式（見(jiàn)下頁(yè)）單位權(quán)中誤差的計(jì)算公式等精度觀測(cè)中，算術(shù)平均值的中誤差，依權(quán)定義式得L的權(quán)為n；類似地可知，不等精度觀測(cè)，權(quán)為pi的觀測(cè)值li等同于pi個(gè)等精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值，即：，可建立與等精度觀測(cè)的聯(lián)系。構(gòu)造證明：因?yàn)榻Y(jié)論：任何一個(gè)觀測(cè)值只要乘上其權(quán)pi的平方根，所得的虛擬觀測(cè)值L’i的權(quán)都為１，即L’i的權(quán)都是單位權(quán)，它們的中誤差就是單位權(quán)中誤差。這組虛擬觀測(cè)值L’i的真誤差可按求得：?jiǎn)挝粰?quán)觀測(cè)值，這樣的單位權(quán)觀測(cè)值有n個(gè)。因?yàn)樗鼈兌际峭扔^測(cè)的中誤差，所以按中誤差的定義式得用真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式用改正數(shù)計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式帶權(quán)平均值的中誤差計(jì)算公式＊帶權(quán)平均值的權(quán)等于各觀測(cè)值的權(quán)之和。例：C=1Km，表示1Km水準(zhǔn)路線高差觀測(cè)值的權(quán)為１—單位權(quán)。水準(zhǔn)路線已知點(diǎn)已知點(diǎn)高程(m)觀測(cè)高差(m)結(jié)點(diǎn)D高程(m)路線長(zhǎng)（Km）權(quán)P=c/Li(c=1)Ｖ=L-li(mm)PVV備注１２３ＡＢＣ21.64525.53021.398+1.038-2.830+1.28222.68322.70022.6802.54.02.00.400.250.50+2.4-14.6+5.42.3053.2914.58∑1.15+0.0170.17ＡＢL3ＤＣh3h2h1L1L2加權(quán)平均值作業(yè)土木工程P991、8、9、11謝謝！作業(yè)工程管理P81

1、8、9、11謝謝！第五章學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1.衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。2.用最或然誤差求觀測(cè)值的中誤差。3．一般函數(shù)求中誤差的公式。學(xué)習(xí)要求和方法：5-1節(jié)的內(nèi)容是對(duì)2-5、3-8和4-3各節(jié)的總結(jié)和歸納，二，三，四各章中測(cè)量方法的規(guī)定，都是為了消除測(cè)量過(guò)程中的系統(tǒng)誤差和減小偶然誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。偶然誤差的四個(gè)特性就是測(cè)量誤差在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律。5-2節(jié)中誤差的定義一定要記住。中誤差是我們衡量精度的主要標(biāo)準(zhǔn)，是以后各節(jié)求觀測(cè)值函數(shù)之中誤差的基礎(chǔ)。5-3節(jié)求算術(shù)平均值的方法是大家所熟知的方法