高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)（全國(guó)一等獎(jiǎng)）

1．2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．分類變量的定義．如果某種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．2．2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d3.獨(dú)立性檢驗(yàn).,eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(自)eq\x(測(cè))1．下列變量中不屬于分類變量的是(B)A．性別B．吸煙C．宗教信仰D．國(guó)籍解析：“吸煙”不是分類變量，“是否吸煙”才是分類變量．故選B.2．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表y1y2合計(jì)x1a2173x222527合計(jì)b46100則表中a、b的值分別為(C)A．94、96B．52、50C．52、54D．54、52解析：由a＋21＝73，得a＝52，由b＋46＝100，得b＝54.3．某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選修該課程的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈＞，所以判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為____________．解析：P(K2＞＝，判斷出錯(cuò)的可能性為5%.答案：5%eq\a\vs4\al(（一）重點(diǎn))通過案例理解分類變量、列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)的含義，利用列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行估計(jì)．eq\a\vs4\al(（二）難點(diǎn))獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，隨機(jī)變量K2的含義．eq\a\vs4\al(（三）知識(shí)結(jié)構(gòu)圖)eq\a\vs4\al(（三）思維總結(jié))(1)直觀分析的兩種方法．①頻率分析．通過對(duì)樣本的每個(gè)分類變量的不同類別和事件發(fā)生的頻率的大小比較來分析變量之間是否有關(guān)系，通常通過列聯(lián)表列出兩個(gè)分類變量進(jìn)行分析．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：yxy1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d在列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)該滿足ad－bc≈0.因此|ad－bc|越小，說明兩個(gè)分量之間的關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越強(qiáng)．②圖形分析．利用等高條形圖來分析兩分類變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，形象、直觀地反映兩個(gè)分類變量之間的總體狀態(tài)和差異大小，進(jìn)而推斷它們之間是否有關(guān)系．a(chǎn)．繪制等高條形圖時(shí)，列聯(lián)表的行對(duì)應(yīng)的是高度，兩行的數(shù)據(jù)不相等，但對(duì)應(yīng)的條形圖的高度是相同的，兩列的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不同顏色．b.等高條形圖中有兩個(gè)高度相同的矩形，每一個(gè)矩形中都有兩種顏色，觀察下方顏色區(qū)域的高度，如果兩個(gè)高度相差比較明顯eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(a,a＋b)和\f(c,c＋d)相差很大))，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想．①獨(dú)立性檢驗(yàn)．利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．利用上訴公式求出K2的觀測(cè)值為k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).再得出X與Y有關(guān)系的程度，通常用到以下數(shù)據(jù)：(i)如果k＞，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為X與Y有關(guān)系；(ii)如果k＞，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為X與Y有關(guān)系；值得注意的是：觀察值k越大，越有利于結(jié)論“X和Y有關(guān)系”，越小越有利于結(jié)論“X和Y沒有關(guān)系”．因此，可以建立一定的規(guī)則：當(dāng)k≥k0時(shí)就說X與Y有關(guān)系，k＜k0時(shí)就說X和Y沒有關(guān)系，故求得觀測(cè)值后只要與建立的規(guī)則進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．②獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小，如果由觀察數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過P(k≥≈來評(píng)價(jià)假設(shè)不合理的程度，由實(shí)際計(jì)算出k＞，說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即兩個(gè)分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信度為99%，不合理的程度可查下表得出：1．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)分類變量間是否有關(guān)系的一種案例分析方法，其分析方法有：等高條形圖法和利用假設(shè)的思想方法，計(jì)算出某一個(gè)隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值來進(jìn)行判斷．2．在等高條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X＝x1的個(gè)體中具有Y＝y(tǒng)1的個(gè)體所占的比例為eq\f(a,a＋b)，也可以估計(jì)滿足條件X＝x2的個(gè)體中具有Y＝y(tǒng)2的個(gè)體所占的比例為eq\f(c,c＋d)，兩個(gè)比例的值相差越大，兩個(gè)分類變量相關(guān)的可能性就越大．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)計(jì)算K2的觀測(cè)值；(3)比較K2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷．1．在等高條形圖形中，下列哪兩個(gè)比值相差越大，“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”成立的可能性越大(C)\f(a,a＋b)與eq\f(d,c＋d)\f(c,a＋b)與eq\f(a,c＋d)\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)\f(a,a＋b)與eq\f(c,b＋c)2．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表；男女合計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)算得，K2＝eq\f(110（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈.附表：P(F2≥k0)k0參照附表，得到的正確結(jié)論是(A)A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”3．某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到，k＝eq\f(50（13×20－10×7）2,20×30×23×27)≈，因?yàn)閗＞，所以確定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為________．解析：∵k＝＞，∴有95%的把握可以確定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為5%.答案：5%1．在研究?jī)蓚€(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí)，可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)的是(B)A．散點(diǎn)圖B．等高條形圖C．2×2列聯(lián)表D．以上均不對(duì)2．對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，說法正確的是(B)A．k越大，“X與Y有關(guān)系”可信程度越小B．k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越小C．k越接近0，“X與Y無關(guān)”程度越小D．k越大，“X與Y無關(guān)”程度越大3．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1522173x22ab總計(jì)5446100則表中a、b的值分別是(C)A．94、96B．25、21C．25、27D．27、254．分類變量x和y的列聯(lián)表如下，則(C)y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d－bc越小，說明x與y的關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明x與y的關(guān)系越弱C．(ad－bc)2越大，說明x與y的關(guān)系越強(qiáng)D．(ad－bc)2越小，說明x與y的關(guān)系越強(qiáng)解析：由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)知，(ad－bc)2越大，K2值越大，說明x與y的關(guān)系越強(qiáng)．5．某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總數(shù)喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523總數(shù)262450則認(rèn)為喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)多少有關(guān)系的把握大約為(B)A．99%B．95%C．90%D．無充分依據(jù)解析：由表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2＝eq\f(50×（18×15－8×9）2,26×24×27×23)≈，而K2＝＞，所以約有95%的把握認(rèn)為兩變量之間有關(guān)．6．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠，在照射后14天內(nèi)的結(jié)果如下表所示：死亡存活合計(jì)第一種劑量141125第二種劑量61925合計(jì)203050進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)是________．解析：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，可知其類似反證法，即要確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，對(duì)本題，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)應(yīng)是“小白鼠的死亡與劑量無關(guān)”．答案：小白鼠的死亡與劑量無關(guān)7．(2023·韶關(guān)二模)以下四個(gè)命題中：①在一次試卷分析中，從每個(gè)試室中抽取第5號(hào)考生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；②樣本數(shù)據(jù)3，4，5，6，7的方差為2；③對(duì)于相關(guān)系數(shù)r。|r|越接近1，則線性相關(guān)程度越強(qiáng)；④通過隨機(jī)詢問110名性別不同的行人，對(duì)過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：男女總計(jì)走天橋402060走斑馬線203050總計(jì)6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)可得，K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)＝，則有99%以上的把握認(rèn)為“選擇過馬路方式與性別有關(guān)”．附表：P(K2≥k0)k0其中正確命題的序號(hào)是________．答案：②③④8．某學(xué)校為了調(diào)查喜歡語文學(xué)科與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：類別性別不喜歡語文喜歡語文男1310女720為了判斷喜歡語文學(xué)科是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值k＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈，因?yàn)閗≥，根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)k0P(K2≥k0)k0判定喜歡語文學(xué)科與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為________．答案：5%9．調(diào)查某班學(xué)生，按性別和籍貫分類得調(diào)查表如下：天津非天津合計(jì)男122840女61925合計(jì)184765性別對(duì)籍貫的影響中，可信度小于________．解析：k＝eq\f(65（12×19－28×6）2,40×25×18×47)≈∵＜，∴查表可知小于.答案：50%10．在對(duì)人們休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)，你能否判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系？解析：首先建立列聯(lián)表如下休閑方式為看電視休閑方式為運(yùn)動(dòng)合計(jì)女性432770男性213354合計(jì)6460124∵a＝43，b＝27，a＋b＝70，c＝21，d＝33，c＋d＝54，a＋b＋c＋d＝124，a＋c＝64，b＋d＝60，∴k＝eq\f(n（ad＋bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(124×8522,14515200)≈＞，即有%的把握認(rèn)為休閑方式與性別有關(guān)．11．(2023·深圳二模)2023年3月14日，CCTV財(cái)經(jīng)頻道報(bào)道了某地建筑市場(chǎng)存在違規(guī)使用未經(jīng)淡化海砂的現(xiàn)象．為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)，某大學(xué)實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)抽取了60個(gè)樣本，得到了相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：混凝土耐久性達(dá)標(biāo)混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)總計(jì)使用淡化海砂25530使用未經(jīng)淡化海砂151530總計(jì)402060(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)？(2)若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個(gè)，現(xiàn)從這6個(gè)樣本中任取2個(gè)，則取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k)k解析：(1)提出假設(shè)H0：使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)無關(guān)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(60×（25×15－15×5）2,302×40×20)＝＞.查表得P(K2≥＝.∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)．(2)用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取6個(gè)，其中應(yīng)抽取“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)”的為eq\f(25,30)×6＝5，“混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”的為6－5＝1，“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)記”為A1，A2，A3，A4，A5”；“混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”的記為B.在這6個(gè)樣本中任取2個(gè)，有以下幾種可能：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，B)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，B)，(A4，A5)，(A4，B)(A5，B)，共15種．設(shè)“取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)”為事件A，它的對(duì)立事件eq\o(A,\s\up6(－))為“取出的2個(gè)樣本至少有1個(gè)混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”，包含(A1，B)，(A2，B)，(A3，B)，(A4，B)，(A5，B)，共5種可能．∴P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(5,15)＝eq\f(2,3).即取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的概率是eq\f(2,3).12．某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量值落在(495，510]的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．左下表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，右下圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．甲流水線樣本頻數(shù)分布表(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；(2)若以頻率作為概率，試估計(jì)從兩條流水線分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率；(3)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)？甲流水線乙流水線合計(jì)合格品a＝b＝不合格品c＝d＝合計(jì)n＝附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k0)k0解析：(1)甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：(2)由題表知甲樣本中合格品數(shù)為8＋14＋8＝30，由題圖知乙樣本中合格品數(shù)為＋＋×5×40＝36，故甲樣本合格品的頻率為eq\f(30,40)＝，乙樣本合格品的頻率為eq\f(36,40)＝.據(jù)此可估計(jì)從甲流水線任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為.從乙流水線任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為.(3)2×2列聯(lián)表如下：甲流水線乙流水線合計(jì)合格品a＝30b＝3666不合格品c＝10d＝414合計(jì)4040n＝80∵K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(80×（120－360）2,66×14×40×40)≈>.∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)．?品味高考1．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例．(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查辦法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k0)k0解析：(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為eq\f(70,500)＝14%.(2)K2的觀測(cè)值k＝eq\f(500×（40×270－30×160）2,200×300×70×430)≈，由于>，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)．(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要志愿者提供幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法抽樣調(diào)查，比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)