第3章隨機(jī)過(guò)程

通信原理第3章隨機(jī)過(guò)程為什么研究隨機(jī)過(guò)程？在通信系統(tǒng)的研究中，輸入信號(hào)、干擾、噪聲等都不是確知信號(hào)，而是隨機(jī)信號(hào)。這些隨機(jī)信號(hào)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型，研究它的理論就是研究隨機(jī)信號(hào)的數(shù)學(xué)工具。第3章隨機(jī)過(guò)程3.1隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程是一類(lèi)隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述。樣本函數(shù)i(t)：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，是一個(gè)時(shí)間過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程

(t)

：所有樣本函數(shù)的集合。

(t)={1(t),2

(t),…,n(t)}

第3章隨機(jī)過(guò)程0t

(t)

1(t)

2(t)

n(t)…n臺(tái)性能與工作條件完全相同的接收機(jī)的輸出噪聲波形隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)變量

隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)i(t)都是一個(gè)確定的數(shù)值i(t1)，但是每個(gè)i(t1)都是不可預(yù)知的。這些不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)變量，記為

(t1)。隨機(jī)過(guò)程可被看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。第3章隨機(jī)過(guò)程0t

(t)

1(t)

2(t)

n(t)…3.1.1隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)設(shè)

(t)表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則它在任意時(shí)刻t1的值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來(lái)描述。隨機(jī)過(guò)程

(t)的一維分布：分布函數(shù)概率密度函數(shù)：

第3章隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程

(t)

的二維分布分布函數(shù)概率密度函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程

(t)

的n維分布分布函數(shù)概率密度函數(shù)第3章隨機(jī)過(guò)程3.1.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征-均值、方差與相關(guān)函數(shù)均值（數(shù)學(xué)期望）： 隨機(jī)變量的均值：在任意給定時(shí)刻t1的取值

(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值

f(x1,t1)－

(t1)的概率密度函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程的均值：

(t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心:第3章隨機(jī)過(guò)程

第3章隨機(jī)過(guò)程0t

(t)

1(t)

2(t)

n(t)…a(t)方差 方差常記為2(t)，它表示隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。因?yàn)? 所以，方差等于均方值與均值平方之差。第3章隨機(jī)過(guò)程均方值均值平方協(xié)方差函數(shù)

式中a(t1)、a(t2)

－在t1和t2時(shí)刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)－

(t)的二維概率密度函數(shù)。第3章隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)

式中，

(t1)和

(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量。自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若a(t1)=a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)互相關(guān)函數(shù) 式中(t)和(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。第3章隨機(jī)過(guò)程3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程3.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義定義： 若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程(t)的任意有限維概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即對(duì)于任意正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有 則稱該隨機(jī)過(guò)程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

第3章隨機(jī)過(guò)程一維與二維概率密度函數(shù)性質(zhì)： 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義表明，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變。一維概率密度函數(shù)與時(shí)間t無(wú)關(guān)：二維概率密度函數(shù)只與時(shí)間間隔

=t2–t1有關(guān)：第3章隨機(jī)過(guò)程均值與自相關(guān)函數(shù)的數(shù)字特征：

可見(jiàn)，（1）均值與時(shí)間t無(wú)關(guān)，為常數(shù)a

； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。把同時(shí)滿足（1）和（2）的過(guò)程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。

第3章隨機(jī)過(guò)程研究廣義平穩(wěn)的意義在通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。因此，研究廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有著很大的實(shí)際意義，后面討論隨機(jī)過(guò)程均假定平穩(wěn)且是廣義平穩(wěn)的。第3章隨機(jī)過(guò)程3.2.2各態(tài)歷經(jīng)性“各態(tài)歷經(jīng)”的含義

隨機(jī)過(guò)程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無(wú)需作無(wú)限多次的觀察，只要獲得一次觀察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過(guò)程(t)的任意一個(gè)樣本，則其時(shí)間均值和時(shí)間自相關(guān)函數(shù)分別定義為：第3章隨機(jī)過(guò)程 如果平穩(wěn)過(guò)程使下式成立

則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)與平穩(wěn)的關(guān)系具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程，反之不一定成立。研究各態(tài)歷經(jīng)的意義在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。第3章隨機(jī)過(guò)程3.2.3平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的定義：平穩(wěn)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

—的偶函數(shù)

—R()的上界

—(t)的平均功率

—(t)的直流功率

—(t)的交流功率第3章隨機(jī)過(guò)程3.2.4平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度定義：對(duì)于任意的確知功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度定義為式中，F(xiàn)T(f)是f(t)的截短函數(shù)fT

(t)所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)第3章隨機(jī)過(guò)程對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(t)

，可以把f(t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本。隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作是對(duì)所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故(t)的功率譜密度可以定義為功率譜密度的計(jì)算維納-辛欽關(guān)系

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。即有第3章隨機(jī)過(guò)程在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過(guò)程的總功率：

第3章隨機(jī)過(guò)程3.3高斯隨機(jī)過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）高斯隨機(jī)過(guò)程的定義如果隨機(jī)過(guò)程(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。

n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為： 式中第3章隨機(jī)過(guò)程均值方差歸一化協(xié)方差矩陣|B|－歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即bjk

－為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即|B|jk

－行列式|B|中元素bjk的余因子（代數(shù)余子式），即第3章隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)過(guò)程的重要性質(zhì)高斯過(guò)程的n維分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后仍是高斯過(guò)程。第3章隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)變量定義：高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為

式中a

－均值

2

－方差

第3章隨機(jī)過(guò)程f(x)0ax正態(tài)分布函數(shù)

正態(tài)分布函數(shù)值無(wú)法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出。誤差函數(shù)erf(x)正態(tài)分布函數(shù)可表示為

第3章隨機(jī)過(guò)程第3章隨機(jī)過(guò)程誤差函數(shù)曲線圖互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x) 當(dāng)x>2時(shí)，正態(tài)分布函數(shù)可表示為第3章隨機(jī)過(guò)程第3章隨機(jī)過(guò)程互補(bǔ)誤差函數(shù)曲線圖Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：正態(tài)分布函數(shù)可表示為第3章隨機(jī)過(guò)程第3章隨機(jī)過(guò)程3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)若一線性系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于輸入ui(t)、vi(t)的系統(tǒng)輸出分別為uo(t)、vo(t)，則輸入為aui(t)+bvi(t)（a、b為常數(shù)）時(shí)，系統(tǒng)輸出應(yīng)為auo(t)+bvo(t)。系統(tǒng)特性單位沖激響應(yīng)h(t)：系統(tǒng)在輸入為單位沖激信號(hào)d(t)時(shí)的輸出（響應(yīng)）。頻率響應(yīng)H(f)：沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換。確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)：令vi(t)－輸入信號(hào)，h(t)－沖激響應(yīng)，則系統(tǒng)輸出vo(t)為或卷積對(duì)應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：vo(t)=vi(t)*h(t)

Vo(f)=Vi(f)H(f)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)：假設(shè)：線性系統(tǒng)輸入平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程i(t)，

a

－均值，

Ri()－自相關(guān)函數(shù)，

Pi()－功率譜密度；求輸出過(guò)程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性均值自相關(guān)函數(shù)功率譜密度第3章隨機(jī)過(guò)程結(jié)論輸出過(guò)程o(t)的均值

H(0)：線性系統(tǒng)在f=0處的頻率響應(yīng)。輸出過(guò)程o(t)的自相關(guān)函數(shù)由均值與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知:若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。輸出過(guò)程o(t)的功率譜密度輸出過(guò)程的功率譜密度是輸入過(guò)程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。第3章隨機(jī)過(guò)程時(shí)間間隔

的函數(shù)常數(shù)3.5窄帶隨機(jī)過(guò)程若隨機(jī)過(guò)程(t)的功率譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f內(nèi)，即滿足（1）f<<fc，（2）fc

遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過(guò)程。大多數(shù)通信系統(tǒng)為窄帶帶通型，通過(guò)此系統(tǒng)的信號(hào)與噪聲必為窄帶隨機(jī)過(guò)程第3章隨機(jī)過(guò)程f0P(f)ffc-fc(a)功率譜密度一般表示式式中，a(t)－隨機(jī)包絡(luò)

(t)－隨機(jī)相位

c

－中心角頻率

波形特征：a

(t)和

(t)隨機(jī)變化，且比載波cosct的變化速度要緩慢很多。x(t)t0隨機(jī)變化的包絡(luò)頻率近似為fc(b)波形第3章隨機(jī)過(guò)程同相與正交表示式上式展開(kāi)得即式中c(t)=a(t)cosj(t)

－(t)的同相分量s(t)=a(t)sinj(t)

－(t)的正交分量第3章隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性窄帶高斯噪聲

假定(t)是均值為0，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程3.5.1同相分量c(t)和正交分量s(t)的統(tǒng)計(jì)特性同相分量c(t)和正交分量s(t