高中數(shù)學(xué)北師大版第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 第3章2

第三章§3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1．下列函數(shù)：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3，其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814643)(B)A．0 B．1C．2 D．3[解析]①中，3x的系數(shù)2不是1，因此不是指數(shù)函數(shù)；②中3的指數(shù)是x＋1，不是x，因此不是指數(shù)函數(shù)；③中滿足指數(shù)函數(shù)的定義，故③正確；④中函數(shù)是冪函數(shù)，故選B．2．函數(shù)y＝2－x的圖像是下圖中的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814644)(B)[解析]∵y＝2－x＝(eq\f(1,2))x，∴函數(shù)y＝(eq\f(1,2))x是減函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)(0,1)，故選B．3．(2023·山東理，2)設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814645)(C)A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1<x<1}＝{x|x>－1}．4．已知函數(shù)f(x)＝2x－1＋1，則f(x)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814646)(C)A．(1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(1,1)[解析]代入選項(xiàng)易知C正確．5．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－eq\f(3,2)，eq\f(8,27))的指數(shù)函數(shù)的解析式為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814647)(A)A．y＝(eq\f(9,4))x B．y＝(eq\f(3,2))xC．y＝(eq\f(4,9))x D．y＝(eq\f(2,3))x[解析]將點(diǎn)(－eq\f(3,2)，eq\f(8,27))代入指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)中，則a－eq\s\up7(\f(3,2))＝eq\f(8,27)，即(eq\f(1,a))eq\s\up7(\f(3,2))＝(eq\f(2,3))3，所以eq\f(1,\r(a))＝eq\f(2,3)，即a＝eq\f(9,4).6．(2023·山東高考)設(shè)集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，則A∩B＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814648)(C)A．[0,2] B．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)[解析]本題考查指數(shù)函數(shù)集合的運(yùn)算．|x－1|<2，∴－2<x－1<2即－1<x<3，y＝2x,0≤x≤2∴20≤y≤22，即1≤y≤4∴A∩B＝[1,3)．7．函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)恒過(guò)點(diǎn)(1,10)，則m＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814649)[解析]∵函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)恒過(guò)點(diǎn)(1,10)，∴10＝a0＋m，∴m＝9.8．若函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)＝(eq\f(1,2))x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則滿足f(x)≥2的x的取值范圍是_[1，＋∞)\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814650)[解析]由題意知，f(x)的解析式是f(x)＝(eq\f(1,2))－x＝2x，由f(x)≥2得2x≥2，解得x≥1.9．若函數(shù)y＝(4－3a)x是指數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814651)[解析]y＝(4－3a)xeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3a>0，,4－3a≠1，))解得a<eq\f(4,3)且a≠1，故a的取值范圍為{a|a<eq\f(4,3)且a≠1}．10．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814652)(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上的單調(diào)性．[解析](1)只需x＋1≠0時(shí)，f(x)都有意義，故f(x)的定義域是{x|x∈R且x≠－1}．(2)設(shè)x1，x2是(－1，＋∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝ax1＋eq\f(x1－2,x1＋1)－(ax2＋eq\f(x2－2,x2＋1))＝(ax1－ax2)＋eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1).∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.又a>1，∴ax1<ax2，即ax1－ax2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．B級(jí)素養(yǎng)提升1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814653)(A)A．－3 B．－1C．1 D．3[解析]本題考查分段函數(shù)求值．∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知f(a)＝－2.當(dāng)a>0時(shí)2a＝－2不成立當(dāng)a<0時(shí)a＋1＝－2，a＝－3.2．函數(shù)y＝2x＋1的圖像是圖中的eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814654)(B)[解析]x＝0時(shí)，y＝2；且y＝2x＋1的圖像是y＝2x的圖像向左平移1個(gè)單位得到的，為增函數(shù)．3．若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，則f(3)＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814655)[解析]設(shè)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因?yàn)閍>0且a≠1，得a＝2，即函數(shù)的解析式為f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0,xeq\s\up4(\f(1,2))，x>0.))則滿足f(x)>1的x的取值范圍是_{x|x>1或x<－1}\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814656)[解析]由已知f(x)>1可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,2－x－1>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,xeq\s\up4(\f(1,2))>1))，解得x>1或x<－1，故{x|x>1或x<－1}．5．已知f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋a是奇函數(shù)，求a的值及函數(shù)的值域.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814657)[解析]∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立．即eq\f(1,2－x－1)＋a＝－[eq\f(1,2x－1)＋a]，∴2a＝－eq\f(1,2－x－1)－eq\f(1,2x－1)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵2x－1≠0，∴x≠0.∴定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0，∴eq\f(1,2x－1)<－1或eq\f(1,2x－1)>0，∴y<－eq\f(1,2)或y>eq\f(1,2).∴f(x)的值域?yàn)?－∞，－eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，＋∞)．6．畫(huà)出函數(shù)y＝|2x－1|的圖像，并利用圖像回答：k為何值時(shí)，方程|2x－1|＝k無(wú)解？有一解？有兩解？eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814658)[解析]函數(shù)y＝|2x－1|的圖像是由函數(shù)y＝2x的圖像向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸翻折到x軸上方得到的，圖像如圖所示．當(dāng)k<0時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|2x－1|的圖像無(wú)交點(diǎn)，即方程無(wú)解；當(dāng)k＝0或k≥1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|2x－1|的圖像有唯一的交點(diǎn)，所以方程有一解；當(dāng)0<k<1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|2x－1|的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以方程有兩解．C級(jí)能力拔高設(shè)f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，若0<a<1，試求：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00814659)(1)f(a)＋f(1－a)的值；(2)f(eq\f(1,1001))＋f(eq\f(2,1001))＋f(eq\f(3,1001))＋…＋f(eq\f(1000,1001))的值．[解析](1)f(a)＋f(1－a)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(41－a,41－a＋2)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(\f(4,4a),\f(4,4a)＋2)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(4,4＋2·4a)＝eq\f(4a,4a＋2)＋eq\f(2,2＋4a)＝eq\f(4a＋2,4a＋2)＝1.(2)f(eq\f(1,1001))