第10章傅立葉變換

第10章傅立葉變換10.1引言是線性系統(tǒng)分析的有力工具。

線性系統(tǒng)具有因果性，t=0時(shí)輸入脈沖，則t<0時(shí)必為0。正變換：10.1.1連續(xù)傅立葉變換反變換：冪的符號(hào)不同變換是互逆的1變量替換：u=t+js，du=dt，則：10.1.1.1例：高斯函數(shù)的傅立葉變換210.1.2傅立葉變換的存在性如果一個(gè)函數(shù)（連續(xù)的或是有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的）在（-,）絕對(duì)可積，則對(duì)s的任何值，函數(shù)的傅立葉變換都存在。常數(shù)的傅立葉變換是原點(diǎn)處的一個(gè)脈沖。310.1.3傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)設(shè)g(t)是一個(gè)瞬時(shí)函數(shù)，在區(qū)間[-T/2,T/2]外的值為零，也可以認(rèn)為它是一個(gè)周期函數(shù)的一個(gè)周期。則根據(jù)式對(duì)s離散化得到系數(shù)序列：式中T為周期s=1/T上式的反變換：反變換式表明，將不同頻率的正弦型曲線相加，在區(qū)間內(nèi)表示了g(t)，其中系數(shù)Gn重建了這些正弦型曲線的振幅。4定義函數(shù)f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：其中：5將時(shí)間和頻率都離散化。10.1.4離散傅立葉變換（DFT）設(shè)｛fi｝是長(zhǎng)度為N的序列（如：對(duì)連續(xù)函數(shù)采用等間隔采樣）則DFT就是序列｛Fn｝。6上述變換對(duì)每一點(diǎn)作N次，因此N個(gè)點(diǎn)需要N2次乘法和加法，計(jì)算量太大。

FFT將操作降到Nlog2N數(shù)量級(jí)。要求N可分解為一些較小整數(shù)的乘積，如N＝2p時(shí)效率最高。10.1.5快速傅立葉變換（FFT）710.1.6一些常用函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)f(t)F(s)高斯矩形脈沖三角脈沖沖激單位階躍余弦正弦復(fù)指數(shù)810.2傅立葉變換的性質(zhì)10.2.1對(duì)稱(chēng)性非奇非偶函數(shù)可被分成奇、偶兩個(gè)組成部分：10.2.1.1奇偶性偶函數(shù)：奇函數(shù)：9奇偶性對(duì)傅立葉變換的影響歐拉關(guān)系：奇偶函數(shù)乘積的無(wú)限積分為0傅立葉變換的對(duì)稱(chēng)性：偶函數(shù)分量變換為偶函數(shù)分量，不引入系數(shù)；奇函數(shù)分量變換為奇函數(shù)分量，并引入－j系數(shù)。1010.2.1.2實(shí)部和虛部實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)實(shí)函數(shù)f(t)虛函數(shù)jf(t)FT結(jié)論：偶不變，奇添－j實(shí)函數(shù)的變換結(jié)果具有偶實(shí)部和奇虛部，稱(chēng)為Hermite函數(shù)，該函數(shù)具有共扼對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，即F(s)=F*(-s)1110.2.2加法定理1210.2.3位移定理函數(shù)的位移會(huì)在其傅立葉變換中引入復(fù)系數(shù)雖幅值未變，但相移變了（與頻率和位移量a成正比）。10.2.4卷積定理在空域中作不直觀的、難懂的卷積，不如在另一個(gè)域中作乘法。1310.2.5相似性定理時(shí)空域窄頻域?qū)捀咚购瘮?shù)：其中：為標(biāo)準(zhǔn)差1410.2.6Rayleigh定理就像電壓的能量用功率（電壓平方）來(lái)表示，定義函數(shù)的能量：上式說(shuō)明，無(wú)論是在時(shí)域還是在頻域，函數(shù)的能量是相等的。（能量守恒定律）對(duì)實(shí)偶函數(shù)：1510.3線性系統(tǒng)和傅立葉變換10.3.1線性系統(tǒng)術(shù)語(yǔ)輸入信號(hào)f(t)輸入信號(hào)的譜F(s)輸出信號(hào)h(t)輸出信號(hào)的譜H(s)沖激響應(yīng)g(t)傳遞函數(shù)G(s)16確定未知線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)g(t)或傳遞函數(shù)G(s)10.3.2線性系統(tǒng)辨識(shí)輸入已知f(t)，測(cè)出輸出量h(t)，則及例：輸入f(t)＝(t)，測(cè)得輸出h(t)＝(t)，則沖激響應(yīng)g(t)為:171819

傅立葉變換可以被表示為兩個(gè)分別以正弦和余弦為核的變換之和。因而在FT中，正弦和余弦會(huì)表現(xiàn)出特殊性質(zhì)。10.3.3正弦型分解例：輸入余弦函數(shù)f(t)=cos(2f0t)，f00，是實(shí)偶函數(shù)。其沖激響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，包括奇、偶部，即而傳遞函數(shù)是沖激響的傅立葉變換（實(shí)偶實(shí)偶，實(shí)奇虛奇）當(dāng)輸入為實(shí)偶函數(shù)，沖激響應(yīng)g(t)為實(shí)奇函數(shù)，則傳遞函數(shù)G(s)為虛奇函數(shù)。當(dāng)輸入的實(shí)偶脈沖對(duì)乘以虛的奇?zhèn)鬟f函數(shù)時(shí)，就被轉(zhuǎn)化成虛的奇沖激對(duì)。此過(guò)程將輸入端的余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為輸出端的正弦函數(shù)，輸出成為正弦函數(shù)的和。即：偶輸入函數(shù)*奇沖激響應(yīng)＝奇輸出函數(shù)20因此得到輸出譜：即輸出信號(hào)：而余弦函數(shù)的譜是：由于Hermite函數(shù)即是偶實(shí)部＋奇虛部，因此G(s)是Hermite函數(shù)，且具有共扼對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。即：21式可寫(xiě)為其中：由上可見(jiàn)，沖激響應(yīng)的奇、偶與傳遞函數(shù)的虛、實(shí)之間有著一定的聯(lián)系。沖激響應(yīng)的奇部在傳遞函數(shù)中引入一項(xiàng)虛奇部，因此會(huì)使輸入的余弦產(chǎn)生一個(gè)正弦輸出，并在輸出端反映為相移。輸出幅度取決于復(fù)傳遞函數(shù)的模值的均方根。22

余弦函數(shù)的傅立葉變換是偶沖激對(duì)時(shí)，正弦函數(shù)的傅立葉變換是虛奇沖激對(duì)。對(duì)任意實(shí)函數(shù)，譜都是Hermite函數(shù)，即F(s)＝F*(-s)，也就是說(shuō)，實(shí)函數(shù)的譜有一半是冗余的，可被忽略。但為了分析方便，本書(shū)畫(huà)出來(lái)的都是雙邊譜。10.3.4負(fù)頻率2310.4二維傅立葉變換10.4.1定義f(x,y)是圖像，而F(u,v)則是該圖像的譜。二維矩形脈沖的譜二維矩形脈沖2410.4.2二維DFT可分離性：在圖像的行上計(jì)算DFT結(jié)果數(shù)組在列上計(jì)算DFT2510.4.3矩陣表示可見(jiàn)F是一個(gè)N×N的復(fù)系數(shù)核矩陣。G＝FgF，其中：F為酉矩陣，即矩陣的逆是其復(fù)共軛的轉(zhuǎn)置：F-1＝(F*)T。要得到酉矩陣的逆，只需簡(jiǎn)單地交換行和列的位置，并改變每個(gè)元素虛部的符號(hào)。由于F是對(duì)稱(chēng)的，因此轉(zhuǎn)置也可以省去。2610.4.4二維傅立葉變換的性質(zhì)加法定理相似定理位移定理卷積定理可分離乘積微分旋轉(zhuǎn)拉普拉斯Rayleigh定理（10.4.4.1）（10.4.4.3）（10.4.4.2）2710.4.4.2相似性定理的推廣其中：2810.4.4.4投影將二維函數(shù)f(x,y)投影到x軸上，得到一個(gè)一維函數(shù)則p(x)的一維傅立葉變換為：因此：f(x,y)在x軸上投影的變換F(u,v)在u軸上的取值推論：f(x,y)在與x軸成角的直線上投影的變換

F(u,v)沿與u軸成角的直線上的取值2910.4.5圓對(duì)稱(chēng)和Hankel變換主要應(yīng)用于圓對(duì)稱(chēng)的沖激響應(yīng)和傳遞函數(shù)（略）。3010.4.5解釋由圖可見(jiàn)，幅度譜的結(jié)構(gòu)稍規(guī)則些，而相位譜則完全隨機(jī)（類(lèi)似于白噪聲）。然而如果忽略相位信息（相位設(shè)為零）直接對(duì)幅度譜反變換來(lái)重構(gòu)圖像，則什么也看不出來(lái)，相反，如果忽略幅度譜（幅值設(shè)為常數(shù)）而直接對(duì)相位譜進(jìn)行反變換，卻可以辨認(rèn)出原始圖像的輪廓。3132Theimageatthetoplefthasacorrugatedeffectduetoafaultintheacquisitionprocess.Thiscanberemovedbydoinga2-dimensionalFast-FourierTransformontheimage(topright),removingthebrightspots(bottomleft),andfinallydoinganinverseFastFourierTransformtoreturntotheoriginalimagewithoutthecorrugatedbackground(bottomright).3310.5相關(guān)和能量譜10.5.1自相關(guān)自卷積：自相關(guān)函數(shù)：可見(jiàn)，自相關(guān)函數(shù)永遠(yuǎn)是偶函數(shù)，在t=0處有極大值每個(gè)函數(shù)都有唯一的自相關(guān)函數(shù)，反之不確定。34