第20講圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題

江蘇版物理第20講圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題1.離心運(yùn)動(dòng)(1)定義:做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體,在所受合力突然消失或者不足以提供

圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下,就做①逐漸遠(yuǎn)離圓心

的運(yùn)動(dòng),這種

運(yùn)動(dòng)叫做離心運(yùn)動(dòng)。知識(shí)梳理與自測(cè)(2)本質(zhì):離心現(xiàn)象是物體②慣性

的表現(xiàn)。(3)力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系a.向心力的作用效果是改變物體的運(yùn)動(dòng)方向,如果物體受到的合外力恰

好等于物體所需的向心力,物體就做③勻速圓周

運(yùn)動(dòng),此時(shí)F=mrω2。b.如果向心力突然消失,則物體的速度方向不再變化,由于慣性,物體將

沿此時(shí)的速度方向(即切線方向),按此時(shí)的速度大小飛出,這時(shí)F=④

0

。c.如果提供的外力小于物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力,雖然物體的

速度方向還要變化,但速度方向變化較慢,因此物體偏離原來的圓周做離心運(yùn)動(dòng),其軌跡為圓周和切線間的某條線,這時(shí)F⑤<

mrω2。2.練一練:(1)物體做離心運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)的軌跡

(C)A.一定是直線

B.一定是曲線C.可能是直線也可能是曲線

D.可能是一個(gè)小圓(2)如圖所示,用長(zhǎng)為l的細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)

動(dòng),則下列說法中正確的是

(CD)

A.小球在圓周最高點(diǎn)時(shí)所受的向心力一定為重力B.小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力不可能為零C.若小球剛好能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),則其在最高點(diǎn)的速率為

D.小球過最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力一定大于小球重力(3)一輕桿一端固定一質(zhì)量為m的小球,以另一端為軸在豎直平面內(nèi)做圓

周運(yùn)動(dòng)。小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),關(guān)于小球受力,下列說法中正確的是

(C)A.輕桿對(duì)小球的作用力不可能向下B.輕桿對(duì)小球的作用力不可能為零C.輕桿對(duì)小球的作用力和小球重力的合力提供向心力D.小球所受的向心力不可能為零

對(duì)離心運(yùn)動(dòng)條件的分析關(guān)于離心運(yùn)動(dòng)的條件,如圖所示。

(1)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,當(dāng)合外力消失時(shí),它就以這一時(shí)刻的線速度沿切

線方向飛出去;要點(diǎn)突破(2)當(dāng)合外力突然減小為某一個(gè)值時(shí),物體將會(huì)在切線方向與圓周之間

做離心運(yùn)動(dòng)。

注意

①做離心運(yùn)動(dòng)的物體不存在所謂的“離心力”作用,因?yàn)闆]有任何物體提供這種力(不管是以什么方式命名的力,只要是真實(shí)存在的,

一定有施力物體);②離心運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征是物體逐漸遠(yuǎn)離圓心,動(dòng)力學(xué)特征是物體所受

合外力消失或不足以提供其所需的向心力;③若提供的向心力大于物體所需的向心力,表現(xiàn)為向心的趨勢(shì)(離圓心

越來越近)。例1

如圖所示,在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上,沿半徑方向放置以細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的A、B兩個(gè)小物塊(可看做質(zhì)點(diǎn))。A離軸心r1=20cm,B離軸心r2

=30cm,A、B與盤面間相互作用的最大靜摩擦力為其重力的0.4倍。求:

(1)若細(xì)線上沒有張力,圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)滿足什么條件?(2)欲使A、B與盤面不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),則圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度多大?(g

取10m/s2)

解析

(1)當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)較慢時(shí),A、B之間的細(xì)線上沒有張力,能夠提供的最大向心力均為最大靜摩擦力。由Fn=mω2r可知,B比A需要的向心力

大,故對(duì)B有:kmg=m

·r2,ω1=

=

rad/s=

rad/s,即當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿足ω≤

rad/s時(shí),細(xì)線上沒有張力。(2)由上述分析可知,當(dāng)ω>

rad/s時(shí),細(xì)線上有張力,設(shè)其大小為FT,提供A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力分別為:FnA=Ff-FT,FnB=FT+Ff,顯然,當(dāng)A

受到的摩擦力Ff達(dá)到最大靜摩擦力時(shí),A、B將要相對(duì)圓盤發(fā)生滑動(dòng),故

對(duì)A有:kmg-FT=m

r1,對(duì)B有:FT+kmg=m

r2,解得:ω2=4rad/s。

答案

(1)ω≤

rad/s

(2)4rad/s針對(duì)訓(xùn)練1如圖是摩托車比賽轉(zhuǎn)彎時(shí)的情形,轉(zhuǎn)彎處路面常是外高內(nèi)

低,摩托車轉(zhuǎn)彎有一個(gè)最大安全速度,若超過此速度,摩托車將發(fā)生滑

動(dòng)。對(duì)于摩托車滑動(dòng)的問題,下列論述正確的是

(

)

A.摩托車一直受到沿半徑方向向外的離心力作用B.摩托車所受外力的合力小于所需的向心力C.摩托車將沿其線速度的方向沿直線滑去D.摩托車將沿其半徑方向沿直線滑去

答案

B

解析摩托車只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用,不存在離心力,A項(xiàng)錯(cuò)誤。當(dāng)摩托車所受外力的合力小于所需的向心力時(shí),摩托車

將在切線方向與圓周之間做離心曲線運(yùn)動(dòng),故B項(xiàng)正確,C、D項(xiàng)錯(cuò)誤。

圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題的分析與求解(不只是豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)中

存在臨界問題,其他許多情況也有臨界問題),一般都是先假設(shè)出某量達(dá)

到最大或最小的臨界情況,進(jìn)而建立方程求解。1.水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題例2

(2014課標(biāo)Ⅰ,20,6分)如圖,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為

質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為l,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l。木

塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g。

若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,

下列說法正確的是

(

)臨界問題的常見類型及其解法A.b一定比a先開始滑動(dòng)B.a、b所受的摩擦力始終相等C.ω=

是b開始滑動(dòng)的臨界角速度D.當(dāng)ω=

時(shí),a所受摩擦力的大小為kmg

解析設(shè)木塊滑動(dòng)的臨界角速度為ω,kmg=mω2r,所以ω=

,ra=l,rb=2l,所以ωa>ωb,A、C項(xiàng)正確;摩擦力充當(dāng)向心力,在角速度相等時(shí),b受的摩擦

力大,B項(xiàng)錯(cuò)誤;ω=

時(shí),a受的摩擦力fa=mω2r=m

l=

kmg,D項(xiàng)錯(cuò)誤。

答案

AC針對(duì)訓(xùn)練2如圖所示,用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上,細(xì)繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m=0.

3kg的小球B,A的重心到O點(diǎn)的距離為0.2m。若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩

擦力為Ff=2N,為使小球B保持靜止,求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度ω的取

值范圍。(取g=10m/s2)

答案

2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s

解析要使B靜止,A必須相對(duì)于轉(zhuǎn)盤靜止——具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度。A需要的向心力由繩的拉力和靜摩擦力的合力提供。角速度取最

大值時(shí),A有離心趨勢(shì),靜摩擦力指向圓心O;角速度取最小值時(shí),A有向心

趨勢(shì),靜摩擦力背離圓心O。設(shè)角速度ω的最大值為ω1,最小值為ω2對(duì)于B:FT=mg對(duì)于A:角速度為ω1時(shí),FT'+Ff=Mr

;角速度為ω2時(shí),FT'-Ff=Mr

FT=FT'代入數(shù)據(jù)解得ω1=6.5rad/s,ω2=2.9rad/s所以2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。2.圓錐面上的臨界問題如圖所示,一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上,其軸線沿豎直方向,母

線與軸線的夾角θ=30°,一條長(zhǎng)為l的繩,一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O,另一

端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球(視為質(zhì)點(diǎn)),小球以速率v繞圓錐體的軸線做水

平勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

(1)臨界條件:設(shè)小球剛好對(duì)錐面沒有壓力時(shí)的速率為v0,小球所受重力和繩子的拉力的合力提供向心力,則有F向=mgtan30°=m

,解得v0=

。(2)當(dāng)v<v0時(shí),小球除受到重力和繩子的拉力外,還受到圓錐面的支持力,

如圖所示,則有

F向=FTsin30°-FNcos30°=m

FTcos30°+FNsin30°=mg速度越大,支持力越小。(3)當(dāng)v>v0時(shí),小球離開錐面飄起來,設(shè)繩與軸線夾角為φ,則FTcosφ=mg,

FTsinφ=m

。速度越大,繩與軸線的夾角φ越大。3.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng),對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)

做變速圓周運(yùn)動(dòng)的問題,中學(xué)物理中只研究物體通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況,并且經(jīng)常出現(xiàn)臨界狀態(tài)。(1)如圖所示,沒有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)

有下面幾種情況。①臨界條件:小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力(或軌道的彈力)剛好等于零,

小球的重力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。即mg=m

。上式中的v臨界是小球通過最高點(diǎn)的最小速度,通常叫臨界速度,v臨界=

。②能過最高點(diǎn)的條件:v≥v臨界(此時(shí)繩或軌道對(duì)球產(chǎn)生拉力F或壓力

FN)。③不能過最高點(diǎn)的條件:v<v臨界(實(shí)際上球還沒有到最高點(diǎn)就脫離了軌

道)。(2)有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)有下面幾種情

況。①臨界條件:由于硬桿和管壁的支撐作用,小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界

速度v臨界=0。②圖甲所示的小球過最高點(diǎn)時(shí),輕桿對(duì)小球的彈力的情況:

當(dāng)v=0時(shí),輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力FN,其大小等于小球的重力,即FN=mg。當(dāng)0<v<

時(shí),桿對(duì)小球的支持力的方向豎直向上,大小隨速度的增大而減小,其取值范圍是mg>FN>0。當(dāng)v=

時(shí),FN=0。當(dāng)v>

時(shí),桿對(duì)小球有指向圓心的拉力,其大小隨速度的增大而增大。③圖乙所示的小球過最高點(diǎn)時(shí),光滑硬管對(duì)小球的彈力的情況:當(dāng)v=0時(shí),管的內(nèi)壁下側(cè)對(duì)小球有豎直向上的支持力FN,其大小等于小球

重力,即FN=mg。當(dāng)0<v<

時(shí),管的內(nèi)壁下側(cè)對(duì)小球有豎直向上的支持力FN,大小隨速度的增大而減小,其取值范圍是mg>FN>0。當(dāng)v=

時(shí),FN=0。當(dāng)v>

時(shí),管的內(nèi)壁上側(cè)對(duì)小球有豎直向下指向圓心的壓力,其大小隨速度的增大而增大。例3

長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.50m的輕質(zhì)細(xì)桿OA,A端有一質(zhì)量為m=3.0kg的小球,

如圖所示,小球以O(shè)點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),通過最高點(diǎn)時(shí)小球的速率是2.0m/s,g取10m/s2,則此時(shí)細(xì)桿OA受到

(

)A.6.0N的拉力

B.6.0N的壓力C.24N的拉力

D.24N的壓力

解析

解法一

設(shè)小球以速率v0通過最高點(diǎn)時(shí),球?qū)U的作用力恰好為零,即mg=m

,得v0=

=

m/s=

m/s。由于v=2.0m/s<

m/s,可知過最高點(diǎn)時(shí),球?qū)?xì)桿產(chǎn)生壓力,如圖甲所示,為小球的受力情況圖。FN=mg-m

=3.0×

N=6.0N。即細(xì)桿OA受到6.0N的壓力。解法二

設(shè)桿對(duì)小球的作用力為FN(由于方向未知,可以設(shè)為向下),如圖乙所示,由向心力公式得:FN+mg=m

,則FN=m

-mg=(3.0×

-3.0×10)N=-6.0N。負(fù)號(hào)說明FN的方向與假設(shè)方向相反,即向上。由牛頓第三定律可知細(xì)桿

受到6.0N的壓力。

答案

B由牛頓第二定律得:mg-FN=m

,則針對(duì)訓(xùn)練3如圖,豎直環(huán)A半徑為r,固定在木板B上,木板B放在水平地

面上,B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上,B不能左右運(yùn)動(dòng),在環(huán)的最低

點(diǎn)處放有一光滑小球C,A、B、C的質(zhì)量均為m。給小球一水平向右的

瞬時(shí)速度v,小球會(huì)在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng),為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn),

且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起,瞬時(shí)速度必須滿足

(

)

A.最小值為

B.最小值為

C.最大值為

D.最大值為

答案

BC

解析保證小球通過最高點(diǎn),則其在最高點(diǎn)速度最小為vmin=

,則根據(jù)機(jī)械能守恒,-mg·2r=

m

-

m

,解得v0=

;保證環(huán)不跳起來,則在最高點(diǎn)F+mg=m

,F=2mg,所以vmax=

,則根據(jù)機(jī)械能守恒,-mg·2r=

m

-

m

,解得v0=

。

圓周運(yùn)動(dòng)中多解問題的分析方法大多數(shù)物理問題具有單一的確定解,然而有些物理問題的解并不唯一,

即有多個(gè)解,甚至有無窮多個(gè)解。對(duì)于這類物理問題,倘若物理過程不清,就可能只得出特解,而導(dǎo)致漏解。例4

[2014天津理綜,9(1)]半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速

轉(zhuǎn)動(dòng),A為圓盤邊緣上一點(diǎn)。在O的正上方有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以

初速度v水平拋出時(shí),半徑OA方向恰好與v的方向相同,如圖所示。若小

球與圓盤只碰一次,且落在A點(diǎn),重力加速度為g,則小球拋出時(shí)距O的高

度h=

,圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小ω=

。

解析小球做平拋運(yùn)動(dòng):h=

gt2、R=vt,解得h=

。由題意知ωt=2π×n(n∈N*),故聯(lián)立R=vt可得ω=

(n∈N*)。

答案

(n∈N*)針對(duì)訓(xùn)練4

如圖所示沿順時(shí)針方向在豎直平面內(nèi)做勻速率轉(zhuǎn)動(dòng)的輪

子邊緣上有一質(zhì)點(diǎn)A,當(dāng)A通過與圓心等高的a點(diǎn)時(shí),另一質(zhì)點(diǎn)B從圓心O

開始做自由落體運(yùn)動(dòng),已知圓的半徑為R,試回答以下問題。(1)質(zhì)點(diǎn)A的角速度ω滿足什么條件,才能與B相遇?(2)質(zhì)點(diǎn)A的角速度ω滿足什么條件,才能與B速度相同?

答案見解析

解析

(1)A只能在O點(diǎn)正下方的圓周上的d點(diǎn)與B相遇,由于B自由下落到d點(diǎn)的時(shí)間是一個(gè)定值,則A轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω有多個(gè)可能的值。

由自由落體規(guī)律可得質(zhì)點(diǎn)B自由下落的時(shí)間t=

若A與B在d處相遇,則A可能轉(zhuǎn)過的角度θ=2πn+

(式中n=0,1,2,3,…)所以A轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω=

=

=

π

(式中n=0,1,2,3,…)(2)A只有通過c點(diǎn)時(shí),才可能與下落中的質(zhì)點(diǎn)B速度相同,令A(yù)運(yùn)動(dòng)到c處

所用時(shí)間為t'。A到達(dá)c處可能轉(zhuǎn)過的角度φ=2πm+π(式中m=0,1,2,3,…)則A運(yùn)動(dòng)到c處所用時(shí)間t'=

=

(式中m=0,1,2,3,…)此時(shí)B下落的速度vB=gt'=

g(式中m=0,1,2,3,…)而A的線速度vA=ωR由vA=vB可得ωR=

g(式中m=0,1,2,3,…)解得ω=

(式中m=0,1,2,3,…)專題四解決曲線運(yùn)動(dòng)問題的思想方法及其應(yīng)用一、分解法利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的原理,把曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng),先分

別研究?jī)蓚€(gè)直線運(yùn)動(dòng),再將兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的研究結(jié)果合成,從而獲得質(zhì)點(diǎn)

的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況。1.把曲線運(yùn)動(dòng)分解在合外力方向和垂直于合外力的方向上,則垂直于合

外力方向上的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng),合外力(設(shè)為恒力)方向上的分運(yùn)

動(dòng)為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。如平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法就是典型的實(shí)例。2.做曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受到兩個(gè)相互垂直的恒力作用,此時(shí),我們常常把曲

線運(yùn)動(dòng)分解在兩個(gè)恒力的方向上,則每個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。專題指導(dǎo)例1

以速度v0豎直向上拋出一個(gè)質(zhì)量為m的小球,小球在空中運(yùn)動(dòng)的過

程中,始終受到水平向右、大小恒為F的風(fēng)力作用,其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,

M點(diǎn)為小球到達(dá)的最高點(diǎn),N點(diǎn)與拋出點(diǎn)O在同一水平線上。不計(jì)空氣

阻力,試求出M、N兩點(diǎn)在圖中所建坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

解析小球受重力和水平風(fēng)力的作用,把小球的運(yùn)動(dòng)分解在兩個(gè)力的方向上,則在豎直方向上,小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng),設(shè)到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間為t

1,則由v0=gt1得t1=

,yM=

g

=

。在水平方向上,小球做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度a=

,xM=

a

=

。由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知,小球落回到N點(diǎn)的時(shí)間等于t1,所以xN=

a·(2t1)2=

。

答案

M

N

二、微元法一般的曲線運(yùn)動(dòng)中,可以把曲線分割成許多