小學(xué)奧數(shù) 數(shù)論 余數(shù)問題 同余問題.題庫版

5-5-3.問教學(xué)目學(xué)習(xí)同余的性質(zhì)利用整除性質(zhì)判別余數(shù)知識點(diǎn)同余定理定：兩個整數(shù)b被然數(shù)m除相同的數(shù)么對于模m同用式子表為ab(modm)，邊的式子叫做同余式。同余式讀作a同于，模。重性及論（1）若兩個數(shù)，b除同一個m得的余數(shù)相同，則，差一定能被整例如與1除以的余數(shù)都是2，所被整．（2）用式子表示為：如果有≡b(mod)，那么一定有－b,k是數(shù)，即m|(a)、數(shù)別當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計(jì)算很麻煩的．建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求被除余數(shù)，們希望找到一個較簡單的數(shù)R，使得N與對于除數(shù)同余．由于R是個較簡單的，所以可以通過計(jì)算被m除的余數(shù)來求得被m除余數(shù)．整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N個位數(shù)被2或除的余數(shù)；整數(shù)N被4或除的余數(shù)等于N的兩位數(shù)被或25除余數(shù)；整數(shù)N被8或除余數(shù)等于的末三位數(shù)被8或除余數(shù)；5-5-3.同余問題題庫

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pageof整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被或除余數(shù)；整數(shù)N被除余數(shù)等于N奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)夠減的話先適當(dāng)加11的數(shù)再減整數(shù)被7或除余數(shù)等于先將整數(shù)N從位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7除余數(shù)就是原數(shù)被，除余數(shù)．例題精模塊一、兩個數(shù)的同余問題【1】有個數(shù)除所得余都，這數(shù)【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析(1)，51-3=48，147，(36,144)12的數(shù)1，為余數(shù)為要小于除數(shù)，這個數(shù)；(法由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任兩數(shù)差的公約數(shù)，(12,108)所以這個數(shù)【答案】【2】某兩數(shù)上3后除加上4后被4除余1加上后被除1這個位是【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【度【型】填空【關(guān)鍵詞】2003年，人大附中，分班考試【解析加上被3除余1其實(shí)原數(shù)還是余1，同理這個兩位數(shù)除以4、5都1這樣，這個數(shù)就[、45]+1=60+1=61?！敬鸢浮?1【3】有個然，345和543得余相，商差33．求個是多？【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析由于這個數(shù)除和的余數(shù)相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商33．所以所求的數(shù)為．【答案】65-5-3.同余問題題庫

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pageof【4】一大的然去除164后所的個數(shù)和于個然數(shù)除220后所的數(shù)則個然是少【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析這個自然數(shù)去除、164后得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去90254后得的余數(shù)，所以和220除這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是2220的數(shù)，又大于10這個自然數(shù)只能是者是34．如果這個數(shù)是34那么它去除90、220后所得的余數(shù)分別是222816不符合題目條件；如果這個數(shù)是，那么它去除、后所得的余數(shù)分別是、11，合題目條件，所以這個自然數(shù)是．【答案17【5】兩自數(shù)與除以都1并a，求ab．【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析】能整除即(10)7整以只能a么ab可能為92和81驗(yàn)算可得當(dāng)時29滿題目要求，【答案】2668【6】現(xiàn)糖粒,餅塊和子個某兒大人數(shù)過40.每分一多糖果一多餅,也得樣的子下糖餅和子數(shù)的是3這個班有_名朋，人得果____，干塊，子個【考點(diǎn)】兩個數(shù)的同余問題【度【型】解答【關(guān)鍵詞】南京市，第三屆，興趣杯【解析設(shè)大班共有小朋友。由于余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量之比1，以余下的糖果、桔子數(shù)目的和正好等于余下的餅干數(shù)，從而254+186-210一定是的倍數(shù)，即254+186-210=230=1×230=10×23=2×5×23是的數(shù)。同樣，也一定是的數(shù)所以，a只是23×2的數(shù)。但﹥所=46此時254=46×5+24，210=46×3+72，186=46×3+48故大班有小朋友46名，每人分得糖果，餅干，桔子3個【答案】小朋友名，每人分得糖果5，餅干3塊桔子個模塊二、三個數(shù)的同余問題【7】有個于1的數(shù)除45,59,101所得余數(shù)同求個.5-5-3.同余問題題庫

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pageof【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)的公約數(shù)1015945(56,14)14的約數(shù)以這個數(shù)可能為2,7,14【答案】2,7,14【固有個數(shù)除300、262205得到相的數(shù)問個數(shù)幾【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】填空【關(guān)鍵詞】第一屆，華杯賽，初賽，第9題【解析這個數(shù)除，得到相同的余數(shù)，所以個數(shù)整3－＝38同理，這個數(shù)整－205＝57因此，它是、57的公約數(shù)19【答案【固在13511，及時能下同數(shù)最整是．【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】填空【關(guān)鍵詞】2000年，小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析因1390339214589686，于，，要同一個數(shù)除時，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除(392,686)，所以所求的最大整數(shù)是98.【答案【固，225，被某于1的然除所得數(shù)相。除以個然的數(shù)

【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】填空【關(guān)鍵詞】2006年，三帆中學(xué)，入學(xué)測試【解析這樣我們用總結(jié)的知識點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定0那么這個自然數(shù)293-225=68的數(shù)又的數(shù)，因此就是、的公約,以這個自然數(shù)是17。所以2002除17余?！敬鸢浮竟倘龜?shù)，51，72各以于1的同個然，到一余，這除是?！究键c(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度

星【型】填空【關(guān)鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，五年級，初，第4題，6分【解析】23，72，），所以這個除數(shù)是7【答案】7【8】學(xué)新來118個乓，個乒球和33個乒乓網(wǎng)如將三物平給個班，那這種品下數(shù)相．問校有少班5-5-3.同余問題題庫

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pageof【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析所求班級數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù)．那么可知該數(shù)應(yīng)該為1和6734的公約數(shù)，所求答案為．【答案【9】若2836，5164，6522四自數(shù)都同個然相，得數(shù)同為位，數(shù)和數(shù)和_______．【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】填空【關(guān)鍵詞】2001年，小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析設(shè)除數(shù)為因?yàn)?5825164除的余數(shù)相同以們兩兩之差必能被A整又因?yàn)橛鄶?shù)是兩位數(shù)以至少是兩位數(shù)516445825826522，因?yàn)?94，以是的大于的數(shù)194的大于的約數(shù)只有97．如果，120，數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符．如果97，檢驗(yàn)，余數(shù)都是23除數(shù)數(shù)120．【答案】120【】一個于1的去，235，200時得數(shù)別為，a，a，這自數(shù)是少【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析根據(jù)題意可知，這個自然數(shù)去除，，195時得到相同的余數(shù)（都既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0那么這個自然數(shù)是290233的數(shù)，又2的數(shù)，因此就是57和38的約因?yàn)?7和的公約數(shù)只有19和，而這個數(shù)大于1，所以這個自然數(shù)是．【答案【固有個利，518，666，它分別以一自數(shù)所的數(shù)次a+7,a+10,則這個然是_【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】填空【關(guān)鍵詞】2006年，清華附中，入學(xué)測試【析處理成余數(shù)相同的，則、、666-10的數(shù)相同，這樣我們可以轉(zhuǎn)化成同余問題。這樣我們用總結(jié)的知識點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余

。么這個自然數(shù)是888-656=232的約數(shù)，也是5-5-3.同余問題題庫

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pageof22656-511=145的約數(shù)，因此就是232、的公約所以這個自然數(shù)是?！敬鸢浮俊尽恳粋€然除、791500所的數(shù)別a、a、a，求個然和a值【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)a的數(shù)：

848，1000，樣這些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都2，同將這三個數(shù)相減，得4879157、1000，求的自然數(shù)一定是5752的約數(shù)，而以個自然數(shù)是9約數(shù)，顯然不符合條件的，那么只能是19.經(jīng)過驗(yàn)證，當(dāng)這個自然數(shù)19時除4、791500所的余數(shù)分別為16a時立所以這個自然數(shù)1，a.【答案】6【】甲、、三分為603，，．某A甲所余是除乙所余的倍A乙所余是除數(shù)所余的倍求等于少【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析根據(jù)題意，這三個數(shù)除以A都有余數(shù)，則可以帶除法的形式將它表示出來：603AK

r，939K

r，

r由于rr，r2r，消去余r,23r,r我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減．這樣我們先把第二個式子乘以，使得被除3數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大同第個式子乘以于我們可以得到下面的式子603AKrrKr這余數(shù)就處理成相同的最后兩兩相減消去223余數(shù)，意味著能被A除．，393603969，

51的約數(shù)有、3、，其中、顯然不滿足，檢驗(yàn)和51可滿足，所以A等于．【答案【】已知，154，被某然除得余分是a，a，，求該自數(shù)值【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析根據(jù)題意可知，自然數(shù)，154，201被數(shù)所得余數(shù)分別是a，，．由于以自然數(shù)611同余于以619394與同余，所以除數(shù)是和9193的公約數(shù)，運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法可得到(3567,9193)29該除數(shù)為．經(jīng)檢成立．【答案】【】有一自數(shù)它以1、17、所得的(＞與數(shù)＞)之都等這的最可能是少【考點(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】解答【解析】5-5-3.同余問題題庫

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pageof

AXAaaAbXbAXXccXc14baa至為72，AaX72

14abc63|b少為，A1763Xb

14abc56至為5619cX1956X1064c最小為．

【答案【】三個同自數(shù)和為，它分除所的相，得余也同這個是_，_______，_______?！究键c(diǎn)】三個數(shù)的同余問題【度【型】填空【關(guān)鍵詞】2000年，祖沖之杯【解析設(shè)所得的商為a，數(shù)為b．(19a(31a)2001，，由b，求得27，b．以，這三個數(shù)分別是1a，23a631，。【答案】，631，847模塊三、運(yùn)用同余進(jìn)行論證【】在3×3的方表已右填了9個數(shù)將中一行同列個數(shù)上同自數(shù)稱一操。：能過干操使表9個數(shù)都為同數(shù)？什？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【度【型】解答【解析略【答案】因?yàn)楸碇?個數(shù)之和恰為100，被除余，經(jīng)過每一次操作，總和加3的數(shù)所以表中9個數(shù)之和除以總余。如果表中個變?yōu)橄嗟?，那么個的總和應(yīng)能被3整，這就得出矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會變?yōu)閭€相同的數(shù)?！尽恳粋€位除17和都余并除后得商與數(shù)和于除19后得的商余的．么樣三數(shù)最數(shù)多，小是少？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【度【型】解答【關(guān)鍵詞】2008年，仁華學(xué)校【解析設(shè)這個三位數(shù)為s它除以17和19的分別為a和b余數(shù)分別為m和n則sa

．根據(jù)題意可知所s8b所以是的倍1數(shù)b8的倍數(shù)．此時，naa．于為三位，最小為5-5-3.同余問題題庫

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pageof222，最為999，所100a999，而6以17a得558而是的倍數(shù)以最小為9大為當(dāng)a54，am此時s最大1930a時，9由于，以此時s最．所以這樣的三位數(shù)中最大的是，最小的是154【答案】最大的是，最小的是【】從，，，，中任個數(shù)使這個必兩個的為則n的最值多？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【度【型】解答【關(guān)鍵詞】2008年，西城實(shí)驗(yàn)【解析被除同余序列當(dāng)中，如余的余序列、1427、40、、……，中只要取到