第6講正弦量及其表示

電工電子技術

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2137388761交流電的概念

(AlternatingCurrent,AC)大小和方向都隨時間按一定規(guī)律作周期性變化且在一個周期內(nèi)平均值為零的電壓、電流稱為交流電。如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等。Tut第3章正弦交流電路uTt2

如果在電路中電動勢的大小與方向均隨時間按正弦（或余弦）規(guī)律變化，由此產(chǎn)生的電流、電壓大小和方向也是正弦（或余弦）的，這樣的電路稱為正弦交流電路。

正弦交流電的優(yōu)越性：便于傳輸:利用變壓器可方便升壓降壓；便于運算:同頻率正弦量的加減及對時間的導數(shù)和積分仍是同頻率正弦量；有利于電器設備的運行:因為變化平穩(wěn)。等等。正弦交流電路

因此，在生產(chǎn)和生活中普遍應用正弦交流電。ωt3不同的是：直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大小和方向是不隨時間變化的，所以其值要么恒大于0，要么恒小于0，如圖所示。

tI,UO而正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性變化的，其波形如圖示。

tu,iO–

+uiR–

+uiR正半周負半周因此，在正半周時，其實際方向與參考方向一致，其值為正。而在負半周時，由于的參考方向與實際方向相反，所以為負值。+實際方向正弦交流電的方向與直流電路一樣，交流電路進行計算時，也要首先規(guī)定物理量的參考方向，然后才能用數(shù)學表達式來描述。43.1正弦量及其表示1.正弦量2.波形描述術語3.1.1正弦量三要素隨時間按正弦和余弦規(guī)律變化的電壓、電流和電勢統(tǒng)稱為正弦量。ImT2iO角頻率：決定正弦量變化快慢幅值：決定正弦量的大小幅值、角頻率、初相角稱為正弦量的三要素。初相角：決定正弦量起始位置幅值必須大寫,下標加m。53.頻率與周期周期T：正弦量變化一次所需的時間（s）角頻率：正弦量1秒鐘轉(zhuǎn)過的電角度（rad/s）頻率f：正弦量1秒鐘變化的次數(shù)（Hz）T*無線通信頻率：

30kHz~30GMHz*電網(wǎng)頻率：我國50Hz，美國

、日本60Hz*高頻爐頻率：200~300kHZ*中頻爐頻率：500~8000HziO正弦電路中所有物理量的角頻率相同。6

給出了觀察正弦波的起點或參考點。:4.相位與相位差

相位：初相位：

表示正弦量在t=0時的相位。

反映正弦量變化進程的電角度。iO7如：若電壓超前電流

兩同頻率的正弦量之間的初相位之差。相位差：

uiuiωtO8電流超前電壓電壓與電流同相

電流超前電壓

電壓與電流反相uiωtuiOuiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiO9②不同頻率的正弦量比較無意義。

①兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計時的選擇起點無關。注意:tO103.1.2正弦量的有效值及應用1.周期量的有效值定義Riuut0Tu0Tt與交流熱效應相等的直流定義為交流電的有效值。則有交流直流有效值必須大寫

112.有效值的實用計算及應用設i=Imsin(t+)則由三角恒等式得同理：注意：交流電壓、電流表測量數(shù)據(jù)為有效值交流設備名牌標注的電壓、電流均為有效值12已知：頻率初相位課堂練習1問:i的幅值、頻率、初相位為多少？答：幅度，133.1.3正弦量的相量表示法正弦量的表示法：ii1i2已知：求：i解：i=i1+i2wsinA)60(80+=t1iiwsinA)30(602－t=三角函數(shù)表示波形表示相量表示i1i2O14在前面介紹了用三角函數(shù)和波形表達正弦量，但這種表示其計算非常煩瑣和麻煩。用相量表示正弦量，在正弦穩(wěn)態(tài)計算中，可以避免三角的煩瑣演算和解微分方程的麻煩，即把求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程。

相量（phasor）為什么能表示正弦量，則要從復數(shù)談起。151.相量的數(shù)學基礎（1）復數(shù)（復矢量）的表示形式

代數(shù)式I=a+jbj——虛數(shù)單位（數(shù)學中的文字符號為i）a=Re[I]，Re[]—取實算子；b=Im[I]，Im[]—取虛算子。指數(shù)式

I=│I│ej矢量圖│I│稱復數(shù)I的模；稱輻角。

16（2）旋轉(zhuǎn)因子ej90°=cos90°+jsin90°ej90°——90°的旋轉(zhuǎn)因子。（3）復數(shù)的計算四則運算：加、減運算——相量用代數(shù)式表示乘、除演算——相量用指數(shù)式表示兩復數(shù)相等的條件：對代數(shù)式：實部、虛部分別相等。對指數(shù)式：模相等，輻角相同。1jj=1×j其幾何意義為ejωt——以ω為角速度的旋轉(zhuǎn)因子。實軸=0+j172.正弦量的相量表示（1）指數(shù)與三角的關系（歐拉公式）ej=cos+jsine-j=cos-jsinej（t+）=cos(t+)+jsin(t+)在該式兩邊同乘以Um得Umej（t+）=Umcos(t+)+jUmsin(t+)Umsin(t+)Um

sin(t+)=Im[Umej（t+）]18u=Um

sin(t+)ω若:有向線段長度=ω有向線段以速度

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)則:該旋轉(zhuǎn)有向線段每一瞬時在縱軸上的投影即表示相應時刻正弦量的瞬時值。有向線段與橫軸夾角=初相位u0xyOOUmej（t+）

193.相量符號

包含幅度與相位信息。1.描述正弦量的有向線段稱為相量(phasor)。若其幅度用最大值表示，則用符號：有效值最大值（2）正弦量的相量表示2.在實際應用中，幅度更多采用有效值，則用符號：20

落后于超前落后？解:(1)相量式(2)相量圖例:

將u1、u2

用相量表示+1+j21同頻率正弦波的相量畫在一起，構(gòu)成相量圖。例：同頻率正弦波相加--平行四邊形法則22①相量是表示正弦量的復數(shù)，正弦量是時間的函數(shù)，二者之間并不相等注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。

正變換反變換23⑤相量的書寫方式

模用最大值表示，則用符號：④相量的兩種表示形式

相量圖:

把相量表示在復平面的圖形實際應用中，模多采用有效值，符號：可不畫坐標軸如：已知則或相量式:24[例

]若已知i1=I1msin(t+1)=100sin(t+45)A，

i2=I2

msin(t+2)=60

sin(t30)A，求i=i1

+

i2。[解]正弦電量(時間函數(shù))所求正弦量變換相量(復數(shù))相量結(jié)果反變換相量運算(復數(shù)運算)于是得正弦電量的運算可按下列步驟進行，首先把25？正誤判斷1.已知：？有效值？3.已知：復數(shù)瞬時值j45?？最大值？？負號2.已知：4.已知：課堂練習226例3-1:圖示電路是三相四線制電源，已知三個電源的電壓分別為：試求uAB，并畫出相量圖。NCANB+–++-+–––解:(1)用相量法計算：

27(2)相量圖由KVL定律可知28（3）正弦量微分與積分的相量同理可導出積分的相量i→I.i=Im[Iejt].29波形圖瞬時值相量圖小結(jié)：正弦量的四種表示法Ti相量303．2電路約束的相量形式元件約束（VCR）結(jié)構(gòu)約束（KCL、KVL）相量形式時域形式電路約束數(shù)域？？313.2.1元件VCR的相量形式（1）相量模型要等式成立，只要相應電路模型為1.電阻元件將uR、iR代入式u=Ri得由正弦函數(shù)等于旋轉(zhuǎn)復矢量取虛部，uR、iR可表示為32（2）限流與移相特性

∴U=RI

u=iu=

itiu（3）波形圖相量圖結(jié)果表明，電阻在交流電路中只有限流作用沒有移相功能。332.電容元件（1）相量模型

==由正弦函數(shù)等于旋轉(zhuǎn)復矢量取虛部，uc、ic可表示為34所以要等式成立，只要相應電路模型為=35（2）限流與移相特性∴U=XcIu=i-90°=Xc—具有與電阻相同的作用，即限流作用，但又不是電阻，故引用容抗來描述電容的限流特性，單位為Ω。Bc—具有與電導相同的作用，即導流作用，但又不是電導，故引用容納來描述電容的導流特性，單位為S?；?6它表明電壓滯后電流90°，它揭示電容器件的移相特性。（3）波形圖及相量圖tiu

iuu-i=

-90°IU超前所以電容C具有隔直通交的作用XC直流：XC，電容C視為開路交流：f容抗XC是頻率的函數(shù)37（1）相量模型3.電感元件==由正弦函數(shù)等于旋轉(zhuǎn)復矢量取虛部，uL、iL可表示為38所以=要等式成立，只要相應電路模型為39（2）限流與移相特性∴U=XLI=XL—具有與電阻相同的作用，即限流作用，但又不是電阻，故引用感抗來描述電感的限流特性，單位為Ω。BL—具有與電導相同的作用，即導流作用，但又不是電導，故引用感納來描述電感的導流特性，單位為S?；騯=i+90°40它表明電壓超前電流90°，它揭示電感的器件的移