常微分方程的數(shù)值解

常微分方程的數(shù)值解第一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日第八章 常微分方程的數(shù)值解引言簡(jiǎn)單的數(shù)值方法歐拉方法梯形方法第二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日在高等數(shù)學(xué)中我們見(jiàn)過(guò)以下常微分方程：8.1引言(1)，(2)式稱為初值問(wèn)題，(3)式稱為邊值問(wèn)題。第三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日（其中L為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)）則初值問(wèn)題（1）存在唯一的連續(xù)解。

考慮一階常微分方程初值問(wèn)題其中，y=y(x)是未知函數(shù)，y(x0)=y0

是初值條件，而f(x,y)是給定的二元函數(shù).由常微分方程理論知，若f(x)在x[a,b]連續(xù)且f滿足對(duì)y的Lipschitz條件：第四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日常微分方程的數(shù)值解法有單步法和多步法之分：?jiǎn)尾椒ǎ涸谟?jì)算yn＋1時(shí)只用到前一點(diǎn)yn

的值；多步法：計(jì)算yn＋1時(shí)不僅利用yn，還要利用yn-1,yn-2,…….，一般k步法要用到y(tǒng)n,yn-1,yn-2,…….,yn-k+1。求問(wèn)題（1）的數(shù)值解，就是要尋找解函數(shù)在一系列離散節(jié)點(diǎn)x1<x2<……<xn<xn+1

上的近似值y1,y

2,…,yn

。為了計(jì)算方便，可取xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)，h稱為步長(zhǎng)。第五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日8.2簡(jiǎn)單的數(shù)值方法一、歐拉（Euler）方法在x=x0處，用差商代替導(dǎo)數(shù)：由得第六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日同理，在x=xn

處，用差商代替導(dǎo)數(shù)：由得若記則上式可記為此即為求解初值問(wèn)題的Euler方法，又稱顯式Euler方法。第七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日Pn+1yOxx0x1x2xnP0P1P2Pny=y(x)xn+1Euler方法的幾何意義：（Euler折線法）第八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日例:用Euler方法求解常微分方程初值問(wèn)題并將數(shù)值解和該問(wèn)題的解析解比較。解：Euler方法的具體格式：第九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日

xn

y(xn) yn

yn-y(xn) 0.0 0 0 00.2 0.1923 0.2000 0.00770.4 0.3448 0.3840 0.03920.6 0.4412 0.5170 0.07580.8 0.4878 0.5824 0.0946 1.0 0.5000 0.5924 0.09241.2 0.4918 0.5705 0.07871.4 0.4730 0.5354 0.0624取h=0.2,xn=nh,(n=0,1,2…,15),f(x,y)=y/x–2y2

計(jì)算中取f(0,0)=1.計(jì)算結(jié)果如下：第十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日xn

y(xn) yn

yn-y(xn)1.6 0.4494 0.4972 0.0478 1.8 0.4245 0.4605 0.03592.0 0.4000 0.4268 0.02682.2 0.3767 0.3966 0.0199 2.4 0.3550 0.3698 0.01472.6 0.3351 0.3459 0.01082.8 0.3167 0.3246 0.0079 3.0 0.3000 0.3057 0.0057由表中數(shù)據(jù)可以看到，微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解和解析解的誤差一般在小數(shù)點(diǎn)后第二位或第三位小數(shù)上，這說(shuō)明Euler方法的精度是比較差的。第十一頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日O:數(shù)值解；—

:準(zhǔn)確解數(shù)值解和解析解的圖示比較如下：第十二頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日若直接對(duì)y`=f(x,y)在[xn,xn+1]積分，利用數(shù)值積分中的左矩形公式：此即為Euler公式。設(shè)y(xn)=yn，則得若用右矩形公式：第十三頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日得上式稱后退的Euler方法，又稱隱式Euler方法?？捎玫ㄇ蠼猓撼踔担旱簁=0,1,……因故當(dāng)hL<1時(shí)，迭代法收斂。第十四頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日二、梯形方法由利用梯形求積公式：得上式稱梯形方法，是一種隱式方法。第十五頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日用迭代法求解：初值：迭代：k=0,1,……因故當(dāng)hL/2<1時(shí)，迭代法收斂。第十六頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日由以上分析可以看出，隱式方法的計(jì)算比顯式方法復(fù)雜，需要用迭代法求解非線性方程才能得出計(jì)算結(jié)果?？刹捎脤@式Euler格式與梯形格式結(jié)合使用的方法來(lái)避免求解非線性方程。記再用梯形格式計(jì)算：－－預(yù)測(cè)－－校正上面兩式統(tǒng)稱預(yù)測(cè)－校正法，又稱改進(jìn)的Euler方法。第十七頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日三、單步法的局部截?cái)嗾`差和精度單步法的一般形式為：（與f有關(guān)）顯式單步法形式為：整體截?cái)嗾`差：從x0開(kāi)始，考慮每一步產(chǎn)生的誤差，直到xn，則有誤差稱為數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)xn處的整體截?cái)嗾`差。但en不易分析和計(jì)算，故只考慮從xn到xn+1的局部情況。第十八頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日定義：設(shè)y(x)是初值問(wèn)題(1)的精確解，則稱為顯式單步法在節(jié)點(diǎn)xn+1處的局部截?cái)嗾`差。若存在最大整數(shù)p使局部截?cái)嗾`差滿足則稱顯式單步法具有p階精度或稱p階方法。注：將Tn+1表達(dá)式各項(xiàng)在xn處作Taylor展開(kāi)，可得具體表達(dá)式。第十九頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日Euler方法的局部截?cái)嗾`差：故Tn+1=O(h2)，p=1，（設(shè)yn=y(xn)）其中稱局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。即Euler方法具1階精度。第二十頁(yè)，共二十二頁(yè)，2022年，8月28日（設(shè)yn=y(