第八章小波變換

第８章小波變換8.1連續(xù)小波變換的基本概念和性質8.2常用的小波函數(shù)8.3尺度因子離散化的小波變換及小波標架8.4離散小波變換的多分辨率分析8.5Mallat算法及實現(xiàn)8.6小波變換小結

第８章小波變換自從1822年傅里葉(Fourier)發(fā)表“熱傳導解析理論”以來，傅里葉變換一直是信號處理領域中最完美、應用最廣泛、效果最好的一種分析手段，但傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域的定位性是完全準確的(即頻域分辨率最高)，而在時域無任何定位性(或分辨能力)，也即傅里葉變換所反映的是整個信號全部時間下的整體頻域特征，而不能提供任何局部時間段上的頻率信息。相反，當一個函數(shù)用函數(shù)展開時，它在時間域的定位性是完全準確的，而在頻域卻無任何定位性(或分辨能力)，也即函數(shù)分析所反映的只是信號在全部頻率上的整體時域特征，而不能提供任何頻率段所對應的時間信息。實際中，對于一些常見的非平穩(wěn)信號，如音樂信號，在不同時間演奏不同音符；語音信號，在不同時間對應不同音節(jié)；地震信號，在目標出現(xiàn)的位置對應一個回波信號等，它們的頻域特性都隨時間而變化，因此也可稱它們?yōu)闀r變信號。對這一類時變信號進行分析，

，通常需要提取某一時間段(或瞬間)的頻域信息或某一頻率段所對應的時間信息。因此，尋求一種介于傅里葉分析和分析之間的，并具有一定的時間和頻率分辨率的基函數(shù)來分析時變信號，一直是信號處理界及數(shù)學界人士長期以來努力的目標。為了研究信號在局部時間范圍的頻域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor變換，之后又進一步發(fā)展為短時傅里葉變換(ShortTimeFourierTransform，簡記為STFT，又稱為加窗傅里葉變換)。目前，STFT已在許多領域獲得了廣泛的應用，但由于STFT的定義決定了其窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關而保持固定不變，這對于分析時變信號來說是不利的。高頻信號一般持續(xù)時間很短，而低頻信號持續(xù)時間較長，因此，我們期望對于高頻信號采用小時間窗，對于低頻信號則采用大時間窗進行分析。在進行信號分析時，這種變時間窗的要求同STFT的固定時窗(窗不隨頻率而變化)的特性是相矛盾的，這表明STFT在處理這一類問題時已無能為力了。此外，在進行數(shù)值計算時，人們希望將基函數(shù)離散離散化，以節(jié)約計算時間及存儲量，但Gabor基無論怎樣離散，都不能構成一組正交基，因而給數(shù)值計算帶來不便，這些是Gabor變換的不足之處，但恰恰是小波變換的特長所在。小波變換不僅繼承和發(fā)展了STFT的局部化的思想，而且克服了窗口大小不隨頻率變化，缺乏離散正交基的缺點，是一種比較理想的進行信號處理的數(shù)學工具。8.1連續(xù)小波變換的基本概念和性質8.1.1小波變換的定義

給定一個基本函數(shù)，令

（8.1）式中均為常數(shù)，且。顯然，是基本函數(shù)先作移位再作伸縮以后得到的。若不斷地變化，我們可得到一族函數(shù)。給定二次方可積的信號，即，則的小波變換（WT，WaveletTransform）定義為

（8.2）式中和均是連續(xù)變量，是的共軛函數(shù)，因此該式又稱為連續(xù)小波變換（CWT）。如無特別說明，式中及以后各式中的積分都是從到。信號的小波變換是和的函數(shù)，是時移，是尺度因子。基本小波函數(shù)又稱為基本小波，或母小波。是母小波經移位和伸縮所產生的一族函數(shù)，我們稱之為小波基函數(shù)，或簡稱小波基。這樣，式（8.2）中的WT又可解釋為信號和一族小波基的內積。基本小波可以是實函數(shù)，也可以是復函數(shù)。若是實信號，則是實函數(shù)，也是實函數(shù)，反之，為復函數(shù)。在式（8.1）中，b的作用是確定對分析的時間位置，也即時間中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸縮。我們知道，由變成，當時，若越大，則的時域支撐范圍（即時域寬度）較之變得越大；反之，當時，若越小，則的寬度越窄。這樣，和聯(lián)合確定了對分析的中心位置及分析的時間寬度，如圖8.1所示。這樣，式（8.2）的WT可理解為用一族分析寬度不斷變化的基函數(shù)對作分析，由下一節(jié)的討論可知，這一變化正好適應了我們對信號分析時在不同頻率范圍所需要不同的分辨率這一基本要求。式（8.1）中的因子是為了保證在不同的尺度時，始終能和基本小波有著相同的能量，即a)b)c)d)圖8.1基本小波的伸縮及參數(shù)和對分析范圍的控制a)基本小波，b），c)不變，d)分析范圍令，則，這樣，上式的積分即等于。令的傅里葉變換為，的傅里葉變換為，由傅里葉變換的性質，的傅里葉變換為：（8.3）由Parsevals定理，式（8.2）可重新表示為：

（8.4）此式即為小波變換的頻域表達式。8.1.2小波變換的特點下面，我們從小波變換的恒Q性質、時域及頻率分辨率以及和其它變換方法的對比來討論小波變換的特點，以便對小波變換有更深入的理解。比較式（8.2）和式（8.4），對小波變換的兩個定義可以看出，如果在時域是有限支撐的，那么它和作內積后將保證在時域也是有限支撐的，從而實現(xiàn)我們所希望的時域定位功能，也即使反映的是在b附近的性質。同樣，若具有帶通性質，即圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么和作內積后也將反映在中心頻率處的局部性質，從而實現(xiàn)好的頻率定位性質。顯然，這些性能正是我們所希望的。問題是如何找到這樣的母小波，使其在時域和頻域都是有限支撐的。若的時間中心是，時寬是，的頻率中心是，帶寬是，那么的時間中心仍是，但時寬變成，的頻譜的頻率中心變?yōu)?，帶寬變成。這樣，的時寬－帶寬積仍是，與無關。這一方面說明小波變換的時－頻關系也受到不定原理的制約，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波變換的一個性質，也即恒Q性質。定義:=帶寬/中心頻率(8.5)為母小波的品質因數(shù)，對，其帶寬/中心頻率=因此，不論為何值，始終保持了和具有性同的品質因數(shù)。恒Q性質是小波變換的一個重要性質，也是區(qū)別于其它類型的變換且被廣泛應用的一個重要原因。圖8.2說明了和的帶寬及中心頻率隨變化的情況。(a)

(b)(c)

圖8.2隨變化的說明將圖8.1和圖8.2結合起來，我們可看到小波變換在對信號分析時有如下特點：當變小時，對的時域觀察范圍變窄，但對在頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動，如圖8.2.c所示。反之，當變大時，對的時域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動，如圖8.2b所示。將圖8.1和8.2所反映的時－頻關系結合在一起，我們可得到在不同尺度下小波變換所分析的時寬、帶寬、時間中心和頻率中心的關系，如圖8.3所示。由于小波變換的恒Q性質，因此在不同尺度下，圖8.3中三個時、頻分析區(qū)間（即三個矩形）的面積保持不變。由此我們看到，小波變換為我們提供了一個在時、頻平面上可調的分析窗口。該分析窗口在高頻端（圖中處）的頻率分辨率不好（矩形窗的頻率邊變長），但時域的分辨率變好（矩形的時間邊變短）；反之，在低頻端（圖中處），頻率分辨率變好，而時域分辨率變差。但在不同的值下，圖8.3中分析窗的面積保持不變，也即時、頻分辨率可以隨分析任務的需要作出調整。

圖8.3a取不同值時小波變換對信號分析的時－頻區(qū)間眾所周知，信號中的高頻成份往往對應時域中的快變時則要求時域分辨率要好以適應快變成份成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脈沖等。對這一類信號分析間隔短的需要，對頻域的分辨率則可以放寬，當然，時、頻分析窗也應處在高頻端的位置。與此相反，低頻信號往往是信號中的慢變成份，對這類信號分析時一般希望頻率的分辨率要好，而時間的分辨率可以放寬，同時分析的中心頻率也應移到低頻處。顯然，小波變換的特點可以自動滿足這些客觀實際的需要?？偨Y上述小波變換的特點可知，當我們用較小的對信號作高頻分析時，我們實際上是用低頻小波對信號作概貌觀察,小波變換的這一特點即既符合對信號作實際分析時的規(guī)律，也符合人們的視覺特點。綜上所述，由于小波變換信號作概貌觀察,小波變換的這一特點即既符合對信號作實際分析時的規(guī)律，也符合人們的視覺特點。綜上所述，由于小波變換具有恒Q性質及自動調節(jié)對信號分析的時寬/帶寬等一系列突出優(yōu)點，因此被人們稱為信號分析的“數(shù)學顯微鏡”。8.1.3連續(xù)小波變換的基本性質1．時移性質若的CWT是，那么的CWT是。該結論極易證明。記，則（8.6）2．尺度轉換性質如果的CWT是，令，則（8.7）

證明：，令，則該性質指出，當信號的時間軸按作伸縮時，其小波變換在和兩個軸上同時要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點的又一體現(xiàn)。3．微分性質

如果的CWT是，令，則（8.8）證明：由式（8.6）的移位性質，有即4．兩個信號卷積的CWT

令的CWT是及，并令，則有（8.9）式中符號表示對變量作卷積。證明：由式（8.6）的移位性質，有同理，于是式（8.9）得證。

5．兩個信號和的CWT令的CWT分別是，且，則（8.10）同理，如果，則（8.11）式（8.10），（8.11）說明兩個信號和的CWT等于各自CWT的和，也即小波變換滿足疊加原理。6．小波變換的內積定理設和，的小波變換分別是和，則

（8.12）

式中，為的傅里葉變換。證明：由式（8.4）關于小波變換的頻域定義，式（8.12）的左邊有：

假定積分存在，再由Parseval定理，上述的推導最后為于是定理得證。式（8.12）實際上可看作是小波變換的Parseval定理。該式又可寫成更簡單的形式,即

(8.13)進一步，如果令，有(8.14)該式更清楚地說明，小波變換的幅平方在尺度－位移平面上的加權積分等于信號在時域的總能量，因此，小波變換的幅平方可看作是信號能量時－頻分布的一種表示形式。式（8.12）和式（8.13）中對的積分是從，這是因為我們假定總為正值。這兩個式子中出現(xiàn)的是由于定義小波變換時在分母中出現(xiàn)了，而式中又要對作積分所引入的。讀者都熟知傅里葉變換中的Parseval定理，即時域中的能量等于頻域中的能量。但小波變換的Parseval定理稍為復雜，它不但要有常數(shù)加權，而且以的存在為條件。8.1.4小波反變換及小波容許條件下面給出連續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件。設，記為的傅里葉變換，若則可由其小波變換來恢復，即

(8.15)證明：設，,則將它們分別代入式（8.12）的兩邊，再令，于是有

于是定理得證。在式(8.12)、式(8.15)中，結論的成立都是以<為前提條件的，這又稱為“容許條件（admissibilitycondition）。該容許條件含有多層的意思：

1.并不是時域的任一函數(shù)都可以充當小波。其可以作為小波的必要條件是其傅里葉變換滿足該容許條件；2.若，則必有，否則必趨于無窮。這等效地告訴我們，小波函數(shù)必然是帶通函數(shù)；3.由于，因此必有(8.16)這一結論指出，的取值必然是有正有負，也即它是振蕩的。以上三條給我們勾畫出了作為小波的函數(shù)所應具有的大致特征，即是一帶通函數(shù)，它的時域波形應是振蕩的。此外，從時－頻定位的角度，我們總希望是有限支撐的，因此它應是快速衰減的。這樣，時域有限長且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波（wavelet）的原因。由上述討論，自然應和一般的窗函數(shù)一樣滿足：（8.17）并且由后面的討論可知，尺度因子常按來離散化，。由式（8.3），對應的傅里葉變換，由于需要在不同的尺度下對信號進行分析，同時也需要在該尺度下由來重建，因此要求是有界的，當由時，應有(8.18)式中，。該式稱為小波變換的穩(wěn)定性條件，它是在頻域對小波函數(shù)提出的又一要求。滿足式（8.18）的小波稱作“二進（dyadic）”小波。8.1.5小波變換的充要條件我們在上一節(jié)指出，并不是時域任一函數(shù)都可以用作小波?？梢宰鳛樾〔ǖ暮瘮?shù)至少要滿足容許條件。與此結論相類似，并不是平面上的任一二維函數(shù)都對應某一函數(shù)的小波變換。如果是某一時域信號，如的小波變換，它應滿足一定的條件。設是平面上的任一點，上的二維函數(shù)欲是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程，即

（8.19）式中是在處的值，（8.20）稱為重建核。證明：由式（8.2）小波變換的定義，有將式（8.15）代入該式，有式（8.19）的重建核方程和式（8.20）的重建核公式說明，若是的小波變換，那么在平面上某一點處小波變換的值可由半平面上的值來表示，也即，是半平面上的總貢獻。既然平面上各點的可由式（8.19）互相表示，因此這些點上的值是相關的，也即式（8.15）對的重建是存在信息冗余的。這一結論告訴我們可以用平面上離散柵格上的來重建，以消除重建過程中的信息冗余。我們知道，當用的短時傅里葉變換來重建時，平面上的信息也是有冗余的，即平面上各點的是相關的，因此引出了離散柵格上的STFT，進一步的發(fā)展即是信號的Gabor展開與Gabor變換。由此可以得出，將一個一維的函數(shù)映射為一個二維函數(shù)后，在二維平面上往往會存在信息的冗余，由此引出了二維函數(shù)的離散化問題及標架理論。有關離散小波變換及小波標架的內容將在后面予以討論。重建核是小波和處的小波的內積，因此反映了和的相關性。若，即兩個小波重合時，取最大值；若遠離，則將迅速減小。若能保證，則平面上各點小波變換的值將互不相關。這等效地要求對任意的尺度及位移，由母小波形成的一族是兩兩正交的?？梢韵胂螅暨B續(xù)取值，要想找到這樣的母小波使兩兩正交，那將是非常困難地。因此，連續(xù)小波變換必然存在信息冗余。然而，當離散取值時，則有可能得到一族正交小波基。8.2常用的小波函數(shù)由前面敘述可知，作為一個小波的函數(shù)，它一定要滿足容許條件，在時域一定要是有限支撐的，同時，也希望在頻域也是有限支撐的，當然，若時域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時域和頻域的有限支撐方面我們往往只能取一個折中。此外，希望由母小波形成的是兩兩正交的或是雙正交的,進一步，希望有高階的消失矩，希望與相關的濾波器具有線性相位等,可以根據(jù)上述要求對現(xiàn)已提出的大量的小波函數(shù)作一粗略地分類。在下面的分類中，第一類是所謂地“經典類小波”，在MATLAB中把它們稱作“原始（Crude）小波”。這是一批在小波發(fā)展歷史上比較有名的小波；第二類是Daubecheis構造的正交小波，第三類是由Cohen，Daubechies構造的雙正交小波。8.2.1經典類小波8.2.1.1Haar小波Haar小波來自于數(shù)學家Haar于1910年提出的Haar正交函數(shù)集，其定義是：（8.21）其波形如圖8.4（a）所示。

的傅里葉變換是：（8.22）Haar小波有很多優(yōu)點，如：Haar小波在時域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（0，1）；若取，那么Haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即，而且在取不同值時也是兩兩正交的，即，如圖8.3(b)和(c)所示。所以Haar小波屬正交小波；Haar波是對稱的。我們知道，系統(tǒng)的單位抽樣響應若具有對稱性，則該系統(tǒng)具有線性相位，這對于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一個既具有對稱性又是有限支撐的正交小波；Haar小波僅?。?和－1，因此計算簡單。但Haar小波是不連續(xù)小波，由于，因此在處只有一階零點，這就使得Haar小波在實際的信號分析與處理中受到了限制。但由于Haar小波有上述的多個優(yōu)點，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。圖8.4Harr小波8.2.1.2Morlet小波Morlet小波定義為(8.23)其傅里葉變換（8.24）它是一個具有高斯包絡的單頻率復正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號一般是實信號，所以在MATLAB中將式（8.23）改造為：（8.25）并取。該小波不是緊支撐的，理論上講可取。但是當，或再取更大的值時，和在時域和頻域都具有很好的集中，如圖8.5所示。Morlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換。但該小波是對稱的，是應用較為廣泛的一種小波。

(a)時域波形(b)頻譜圖8.5Morlet小波8.2.1.3Mexicanhat小波該小波的中文名字為“墨西哥草帽”小波，又稱Marr小波。它定義為(8.26)式中，其傅里葉變換為

(8.27)該小波是由一高斯函數(shù)的二階導數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和頻譜如圖8.6所示。該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對稱的，可用于連續(xù)小波變換。由于該小波在處有二階零點，因此它滿足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺的空間響應特征，因此它在1983年即被用于計算機視覺中的圖像邊緣檢測。圖8.6墨西哥草帽小波，(a)時域波形，(b)頻譜8.2.1.4Gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導而得到的，定義為：，(8.28)式中定標常數(shù)是保證。該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當取偶數(shù)時正對稱，當取奇數(shù)時，反對稱。圖8.7給出了時的時域波形及對應的頻譜。圖8.7高斯小波（?。?a)時域波形，(b)頻譜8.2.2正交小波目前提出的正交小波大致可分為四種，即Daubechies小波，對稱小波，Coiflets小波和Meyer小波。這些正交小波和前面所討論的“經典小波”不同，它們一般不能由一個簡潔的表達式給出，而是通過一個叫做“尺度函數(shù)（Scallingfunction）”的的加權組合來產生的。尺度函數(shù)是小波變換的又一個重要概念。由下節(jié)討論可知，小波函數(shù)，尺度函數(shù)同時和一個低通濾波器及高通濾波器相關連，和可構成一個兩通道的分析濾波器組。這些內容構成了小波變換的多分辨率分析的理論基礎。因此，在討論正交小波時，同時涉及到尺度函數(shù)，分析濾波器組，及綜合濾波器組，。MATLAB中的WaveletToolbox中有相關的軟件來產生各類正交小波及其相應的濾波器。8.2.2.1Daubechies小波Daubechies小波簡稱db小波。它是由法國學者IngridDauechies于90年代初提出并構造的。Daubechies對小波變換的理論做出了突出的貢獻，特別是在尺度取2的整數(shù)次冪時的小波理論及正交小波的構造方面進行了深入的研究，其代表作《TenLecturesonWavelet》深受同行們的歡迎。dbN中的表示db小波的階次，。當時，db1即是Haar小波。因此，前述的Haar小波應歸于“正交小波”類。Daubechies計算出了時的及。在MATLAB5.3中，N的階次還可以擴展。db小波是正交小波，當然也是雙正交小波，并是緊支撐的。的支撐范圍在，的支撐范圍在。小波具有N階消失矩，在處具有階零點。但db小波是非對稱的，其相應的濾波器組屬共軛正交鏡像濾波器組（CQMFB）。圖8.8給出了時，，及，的波形。圖8.8時db小波(a)，(b)，(c)，(d)8.2.2.2對稱小波對稱小波簡記為symN，，它是db小波的改進，也是由Daubechies提出并構造的。它除了有db小波的特點外，主要是是接近對稱的，因此，所用的濾波器可接近于線性相位。圖8.9是時的對稱小波。(a)(b)

圖8.9時的對稱小波(a)，(b)8.2.2.3Coiflets小波該小波簡記為coifN，.在db小波中，Daubechies小波僅考慮了使小波函數(shù)具有消失矩（N階），而沒考慮尺度函數(shù)。R.Coifman于1989年向Daubechies提出建議，希望能構造出使也具有高階消失矩的正交緊支撐小波。Daubechies接受了這一建議，構造出了這一類小波，并以Coifman的名字命名。coifN是緊支撐正交、雙正交小波，支撐范圍為，也是接近對稱的。的消失矩是2N，的消失矩是2N-1。圖8.10是N=4時的coif4小波。圖8.10N=4時的Coiflets小波，a)，(b)8.2.2.4Meyer小波Meyer小波簡記為meyr，它是由Meyer于1986年提出的。該小波無時域表達式，它是由一對共軛正交鏡像濾波器組的頻譜來定義的。Meyer小波是正交、雙正交的，但不是有限支撐的，但其有效的支撐范圍在[到]之間。該小波是對稱的，且有著非常好的規(guī)則性。圖8.11給出了Meyer小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)。圖8.11Meyer小波a)，(b)8.2.3雙正交小波我們知道，兩通道正交鏡像濾波器組的分析濾波器和是功率對稱的，且和之間有著正交性，再者，，和有著同樣的長度，都不是線性相位的。為了取得線性相位的濾波器組，需放棄的功率互補性質。這也就放棄了和之間的正交性，代之的是雙正交關系。由于離散小波變換最后是由兩通道濾波器組來實現(xiàn)。因此，正交小波條件下的，和與都不具有線性相位（Haar小波除外）。為此，Daubechies和Cohen提出并構造了雙正交小波，其目的是在放寬小波正交性的條件下得到線性相位的小波及相應的濾波器組。雙正交濾波器組簡稱biorNr,Nd，其中Nr是低通重建濾波器的階次，Nd是低通分解濾波器的階次。在MATLAB中，Nr和Nd的可能組合是：

Nr=1,Nd=1,3,5Nr=2,Nd=2,4,6,8Nr=3,Nd=1,3,5,7,9Nr=4,Nd=4Nr=5,Nd=5Nr=6,Nd=8這一類小波自然不是正交的，但它們是雙正交的，是緊支撐的，更主要的是它們是對稱的，因此具有線性相位。分解小波的消失矩為Nr-1。圖8.12給出的bior3.7的分解小波、尺度函數(shù)及重建小波和尺度函數(shù)。圖8.12雙正交小波bior3.7(a)分解尺度函數(shù)(b)分解小波(c)重建尺度函數(shù)(d)重建小波8.2.4連續(xù)小波變換的計算在式（8.2）關于小波變換的定義中，變量，和都是連續(xù)的，當我們在計算機上實現(xiàn)一個信號的小波變換時，，和均應離散化。對離散化最常用的方法是取，如取，這樣。對于按2的整次冪取值所得到的小波習慣上稱之為“二進（dyadic）”小波。對這一類小波的小波變換，我們可用有關離散小波變換的方法來實現(xiàn)。然而取，在實際工作中有時顯得尺度跳躍太大。當希望任意取值，也即在的范圍內任意取值時，這時的小波變換即是連續(xù)小波變換。計算式（8.2）的最簡單的方法是用數(shù)值積分的方法，即令

(8.29)

由于在的區(qū)間內，，所以上式又可寫為：

(8.30)由該式可以看出，小波變換可看作是和的卷積后的累加所得到的結果，卷積的中間變量是，卷積后的變量為及。MATLAB中的cwt.m即是按此思路來實現(xiàn)的。具體過程大致如下：1.先由指定的小波名稱得到母小波及其時間軸上的刻度，假定刻度長為；2.從時間軸坐標的起點開始求積分，3.由尺度因子確定對上述積分值選擇的步長，越大，上述積分值被選中的越多；4求和所選中的積分值序列的卷積，然后再作差分，即完成式（8.30）。本方法的不足之處是在變化時，式（8.30）中括號內的積分、差分后的點數(shù)不同，也即和卷積后的點數(shù)不同。解決的方法是在不同的尺度下對作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支撐范圍內的點數(shù)始終相同。有關CWT快速計算的方法還可借助于CZT及梅林變換等方法，此處不再討論。例8.1令為一正弦加噪聲信號，它取自MATLAB中的noissin.mat。對該信號作CWT，分別等于2和128，時，小波變換的結果對應信號中的高頻成份，時，小波變換對應信號中的低頻成份。其原始信號及變換結果見圖8.13(a)，(b)和（c）。例8.2仍然使用例8.1的信號“noissin”，對其作CWT時分別取10，30，60，90，120及150。所得到的圖8.14是在各個尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深，說明在該尺度及該位移（水平軸）處的小波系數(shù)越大。此例旨在說明對小波變換的結果具有不同的表示方式。圖8.13信號“noissin”的小波變換，(a)原信號，(b)，(c)圖8.14多尺度下小波變換的灰度表示8.3尺度離散化的小波變換及小波標架我們在式（8.2）定義了信號的連續(xù)小波變換，式中，和都是連續(xù)變量。為了在計算機上有效地實現(xiàn)小波變換，自然應取離散值，和也應取離散值。從減少信息冗余的角度，和也沒有必要連續(xù)取值。和形成了一個二維的“尺度－位移”平面。前已述及，越大，對應的頻率越低，反之，對應的頻率越高。因此，平面也可視為“時－頻平面”。對同一個信號，我們已給出過不同的表示形式，如STFT，Gabor變換，WVD及本章的小波變換?，F(xiàn)重寫幾個有關的公式，即(8.31)

(8.32)

(8.33)

(8.34)其中式（8.32）是用時－頻平面離散柵格上的點來表示，即Gabor展開，式（8.33）是具有雙線性變換的表示形式，它和其它三種表示形式有較大的區(qū)別。式（8.31）和式（8.34）說明同一信號在時－頻平面上具有不同的表示形式。式（8.31）的反變換是有信息冗余的，即不需要的所有的值就可恢復。同理，式（8.34）的小波變換也存在著信息冗余。在這兩個式子中，我們只需取時－頻平面上的離散柵格處的點即可。問題的關鍵是如何決定和抽樣的步長以保證對的準確重建。下面，我們首先考慮尺度因子的離散化，然后再考慮和的同時離散化。8.3.1尺度離散化的小波變換目前通用的對離散化的方法是按冪級數(shù)的形式逐步加大，即令。若取，則

(8.35)稱為“半離散化二進小波”，而(8.36)稱為二進小波變換。設母小波的中心頻率為，帶寬為，當時，的中心頻率變?yōu)?，帶寬。若時，的中心頻率和帶寬分別是：和。從對信號作頻域分析的角度，我們希望當由變成時，和在頻域對應的分析窗為和能夠相連接。這樣，當由0變至無窮時，的傅里葉變換可以覆蓋整個軸。顯然，若令母小波的，則上面兩個頻域窗首尾相連，即和首尾相連。通過對母小波作合適的調制，可以方便地做到?，F(xiàn)在，我們來討論如何由式（8.36）的來恢復，設是的對偶小波，并令和取類似的形式，即

(8.37)這樣，通過對偶小波，我們希望能重建：

(8.38)為了尋找和應滿足的關系，現(xiàn)對上式作如下改變：式中F代表求傅里葉變換。由式（8.3）和式（8.4），有(8.39)顯然，若(8.40)則式（8.39）的右邊變成的傅里葉反變換，自然就是。對于滿足容許條件的小波，當時，其二進制小波對應的傅里葉變換應滿足式（8.18）的穩(wěn)定性條件。這樣，結合式（8.18）和式（8.40），我們可由下式得到對偶小波:(8.41)由于式（8.41）的分母滿足式（8.18），因此有

(8.42)這樣，對偶小波也滿足穩(wěn)定性條件，也即，總可以找到一個“穩(wěn)定的”對偶小波由式（8.38）重建出。下面定理更完整地回答了在半離散二進小波變換情況下的重建問題。定理8.1如果存在常數(shù)，使得(8.43)則

(8.44)如果滿足(8.45)則

(8.46)該定理指出，若的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，則在上的小波變換的幅平方的和是有界的。進而，和的傅里葉變換若滿足式（8.45）（也即式（8.40）），則可由式（8.46）重建?？傊?，若滿足容許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，由二進小波變換總可以重建，也即一個滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波總是存在的。但是，滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波不一定是唯一的。如何構造“好”的小波及得到唯一的對偶小波是小波理論中的重要內容。若式（8.43）的穩(wěn)定性條件滿足，則的容許條件必定滿足，且(8.47)從而，由連續(xù)小波變換總可以恢復，也即式（8.15）總是成立。以上討論的是僅對作二進制離散化的情況，現(xiàn)在考慮和同時離散化的相應理論問題。8.3.2離散柵格上的小波變換令，我們可實現(xiàn)對的離散化。若，則。欲對離散化，最簡單的方法是將均勻抽樣，如令，的選擇應保證能由來恢復出。當時，將由變成時，即是將擴大了倍，這時小波的中心頻率比的中心頻率下降了倍，帶寬也下降了倍。因此，這時對抽樣的間隔也可相應地擴大倍。由此可以看出，當尺度分別取，對的抽樣間隔可以取，這樣，對和離散化后的結果是：(8.48)對給定的信號，式（8.2）的連續(xù)小波變換可變成如下離散柵格上的小波變換，即

(8.49)此式稱為“離散小波變換（DiscreteWaveletTransform，DWT）”，注意式中仍是連續(xù)變量。記，我們可以仿照傅里葉級數(shù)和Gabor展開那樣來重建，即(8.50)該式稱為小波級數(shù)，稱為小波系數(shù)，是的對偶函數(shù)，或對偶小波。我們知道，對任一周期信號，若周期為T，且，則可展成傅里葉級數(shù)，即

(8.51)式中是的傅里葉系數(shù)，它由下式求出：

(8.52)小波級數(shù)和傅里葉級數(shù)形式上類似，但其物理概念卻有著明顯的不同：(1)傅里葉級數(shù)的基函數(shù)，是一組正交基，即。而小波級數(shù)所用的一族函數(shù)不一定是正交基，甚至不一定是一組“基”；(2)對傅里葉級數(shù)來說，基函數(shù)是固定的，且分析和重建的基函數(shù)是一樣的，即都是（差一負號）；對小波級數(shù)來說，分析所用的函數(shù)是可變的，且分析和重建所用的函數(shù)是不相同的，即分析時是，而重建時是；(3)在傅里葉級數(shù)中，時域和頻域的分辨率是固定不變的，而小波級數(shù)在軸上的離散化是不等距的，這正體現(xiàn)了小波變換“變焦”和“恒Q”性的特點。將式（8.2）的連續(xù)小波變換改變成式（8.49）的離散小波變換，人們自然會問：(1)一族小波函數(shù)，在空間上是否是完備的？所謂完備，是指對任一，它都可以由這一組函數(shù)（即）來表示；(2)如果是完備的，那么對的表示是否有信息的冗余？(3)如果是完備的，那么對和的抽樣間隔如何選取才能保證對的表示不存在信息的冗余？Daubechies對上述問題進行了深入的研究，給出了“小波標架”的理論，現(xiàn)介紹一下其中主要的結論。8.3.3小波標架理論標架的基本理論要點是：(1)

若是Hilbert空間中的一組向量，對給定的，若存在常數(shù)，滿足

(8.53)則構成了一個標架；(2)若則稱為緊標架，若，則構成一正交基；（3）定義標架算子為

(8.54)則(8.55)記為的對偶函數(shù)族，則也構成一個標架，標架界分別為和；（4）用標架來表征一個信號x，也即對x作分解時，標架可給出完備的且是穩(wěn)定的表示，但這種表示是冗余的，即之間是線性相關的，因此不是唯一的。對信號的冗余表示有時并不一定是壞事，它在表示的穩(wěn)定性、對噪聲的魯棒性（robustness）方面都優(yōu)于正交基；（5）

標界邊界B和A之比值，即B/A稱為冗余比。在實際工作中，總希望B/A接近于1，即為緊標架。當A=B時，我們有(8.56)將以上要點內容用于小波變換，即得小波標架。在式（8.48）中，令，，我們從而得到了一族在尺度和位移上均是離散的小波。能否由離散小波變換來重建，顯然取決于。和越小，重建越容易，當然冗余度也越大，對不同的是線性相關的，這時將有無數(shù)的存在。當然，過大，準確重建將不會可能。下面兩個定理給出了小波標架的主要內容。定理8.2如果構成中的一個標架，且標架邊界分別為A和B，則母小波須滿足：(8.57)該定理又稱構成標架的必要條件。這一條件實際上即是連續(xù)小波變換中的容許條件。當僅對取二進制離散化，保持連續(xù)時，該必要條件也就是充分條件。若構成緊標架，即A=B，那么其標架邊界(8.58)若構成中正交基，則

(8.59)定理8.3定義(8.60)及(8.61)如果和的選取保證(8.62)及(8.63)則是中的一個標架。、分別是標架界A和B的下界與上界?？傊陨系臉思芾碚摷斑吔鏏、B值的計算給我們一個大致估計選取的原則，即兩者的選取要保持離散化后的至少要構成一個標架，以保證對信號穩(wěn)定、完備的表示。但在一般情況下，標架并不是正交基，除非A=B=1。若是由母小波通過伸縮與移位生成的上的“稠密”的二維函數(shù)族，并且存在常數(shù)A和B，使得

(8.64)對于所有滿足平方和的序列成立，式中則稱是上的一個Riesz基，常數(shù)A和B分別稱為Riesz基的下界和上界。上述定義中“稠密”的含義是指中的任一函數(shù)都可由二維序列的線性組合來表示。其實，該定義可簡單地解釋為如下：（1）首先，是一個標架；（2）對任意的，之間是線性無關的。這樣，Riesz基可以比標架最大限度地去除冗余度。此外，生成Riesz基的母小波稱為Riesz函數(shù)?？梢宰C明，Riesz基的對偶函數(shù)序列也是一個Riesz基，因此對任意的是線性無關的，對給定的，其對稱基是唯一的。這樣，有（8-56）

下面，我們在前面關于小波分類的基礎上再給出幾個有關小波的定義：1．正交小波若Riesz基滿足

(8.66)則稱生成的母小波為正交小波。式中(8.67)式（8.66）指出，在同一尺度j下，不同移位之間的是正交的。同時，在同一位移k下，不同尺度j之間的也是正交的。2．半正交小波若滿足

對

（8.68）該式的含義是，若，則。這時，對不同的位移k之間不是正交的。因此，生成的稱為半正交小波。3.雙正交小波若和其對偶小波之間滿足(8.69)則稱生成的為雙正交小波。半正交小波不是正交小波，雙正交小波指的是和其對偶之間的關系，因此也不是正交小波。但一個正交小波必定是半正交的，也是雙正交的。下面給出正交小波、半正交小波及雙正交小波之間的關系。令是一個半正交小波，其傅里葉變換為，定義

(8.70)并記的傅里葉反變換為，則由和分別作二進制伸縮和移位生成的和之間是雙正交的，即它們滿足式（8.69）。若為正交小波，則式（8.70）的分母為1，這樣，，也即。這正是我們以前所指出的，即正交基和其對偶基是一樣的。因此，令(8.71)并記為的傅里葉反變換。由上述可知，的對偶小波應由下式給出：（8.72)可以證明，，即和其對偶函數(shù)是自對偶的，因此，即是正交小波。8.4離散小波變換的多分辨率分析前面我們介紹了連續(xù)小波變換的定義與性質，給出了在平面上離散柵格上小波變換的定義及與其有關的標架問題。在這兩種情況下，時間t仍是連續(xù)的。在實際應用中，特別是在計算機上實現(xiàn)小波變換時，信號總要取成離散的，因此，研究及都是離散值情況下的小波變換，進一步發(fā)展一套快速小波變換算法將更有意義。由Mallat和Meyer自80年代末期所創(chuàng)立的“多分辨率分析”技術在這方面起到了關鍵的作用。該算法和多抽樣率信號處理中的濾波器組及圖像處理中的金字塔編碼等算法結合起來，構成了小波分析的重要工具。下面簡要討論多分辨率分析的定義、算法及應用。8.4.1多分辨率分析的引入現(xiàn)以信號的分解近似為例來說明多分辨率分析的基本概念。給定一個連續(xù)信號，我們可用不同的基函數(shù)并在不同的分辨率水平上對它作近似。令

(8.73)顯然，的整數(shù)位移相互之間是正交的，即(8.74)這樣，由的整數(shù)位移就構成了一組正交基。設空間由這一組正交基所構成，這樣，在空間中的投影（記作）可表為：(8.75)式中,,是基的權函數(shù)。可以看作是在中的近似。是離散序列。令

(8.76)是由作二進制伸縮及整數(shù)位移所產生的函數(shù)系列，顯然，，和是正交的。這一結論可證明如下：因為

令，則,,再由式（8.74），有(8.77)于是結論得證。將作二倍的擴展后得，由作整數(shù)倍位移所產生的函數(shù)組當然也是兩兩正交的（對整數(shù)），它們也構成了一組正交基。我們稱由這一組基形成的空間為，即信號在中的投影為，則

(8.78)式中為加權系數(shù)，仍為離散序列。若如此繼續(xù)下去，我們可得到在不同尺度下通過作整數(shù)位移所得到一組組的正交基，它們所構成的空間是。用這樣的正交基對作近似，就可得到在中的投影。用對作式（8.75），或式(8.78)的近似，越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。當時，中的每一個函數(shù)都變成無窮的窄，因此有(8.79)另一方面，若，那么中的每一個函數(shù)都變成無窮的寬，因此，時對的近似誤差最大。按此思路我們可以想像，低分辨率的基函數(shù)完全可以由高一級分辨率的基函數(shù)所決定。從空間上來講，低分辨率的空間應包含在高分辨率的空間中，即(8.80)

但是，畢竟不等于，也即比對近似的好，但二者之間肯定有誤差。這一誤差是由和的寬度不同而產生的，因此，這一差別應是一些“細節(jié)”信號，我們記之為。這樣，有

(8.81)該式的含義是：在高分辨率基函數(shù)所形成的空間中的近似等于它在低分辨率空間中的近似再加上某些細節(jié)。現(xiàn)在我們來尋找的表示方法。

設有一基本函數(shù)，(8.82)很明顯，的整數(shù)位移也是正交的，即

(8.83)進一步，在不同尺度下的位移，即，也是正交的，即(8.84)同時，和的整數(shù)位移之間也是正交的，即

(8.85)和之間有如下關系：(8.86)及(8.87)記張成的空間為，所張成的空間為，依次類推，張成的空間為，記在空間中的投影為，在中的投影為，它們均可表為相應基函數(shù)的線性組合，即（8.88）

（8.89）式中,，是,尺度下的加權系數(shù)，它們均是離散序列。若將和的相加，即得，由空間表示，即是

(8.90)式中表示直和。這說明，是的正交外空間，并有，。把上述概念加以推廣，顯然有（8.91）并且（8.92）這樣，給定不同的分辨率水平，我們可得到在該分辨率水平上的近似和，由于是低通信號，因此反映了的低通成份，我們稱其為的“概貌”。由于是由邊緣得到的離散序列，所以也應是在尺度下的概貌，或稱離散近似。同理，由于是帶通信號，因此反映的是的高頻成份，或稱為的“細節(jié)”，而是的離散細節(jié)。在以上的分析中，我們同時使用了兩個函數(shù)，即和，并由它們的伸縮與移位形成了在不同尺度下的正交基。由后面的討論可知，對作概貌近似的函數(shù)稱為“尺度函數(shù)”，而對作細節(jié)近似的函數(shù)稱為小波函數(shù)。8.4.2多分辯率分析的定義Mallat給出了多分辯率分析的定義：設是空間中的一系列閉合子空間，如果它們滿足如下六個性質，則說，是一個多分辨率近似。這六個性質是：1．，若則(8.93)2．，，即(8.94)3．，若，則(8.95)4．(8.96)5．(8.97)6．存在一個基本函數(shù)，使得，是中的Riesz基?，F(xiàn)對以上性質作一些直觀的解釋：性質1說明，空間對于正比于尺度的位移具有不變性，也即函數(shù)的時移不改變其所屬的空間。前面對作二進制離散化時曾說明，若令，則應取，將歸一化為1，則(8.98)所以，式（8.93）實際上應等效為：

，若，則

(8.99)這是因為，必有；性質2說明，在尺度(或)時，對作的是分辯率為的近似，其結果將包含在較低一級分辯率時對近似的所有信息，此即空間的包含，也即式（8.94）；性質3是性質2的直接結果。在中，函數(shù)作了二倍的擴展，分辯率降為，所以應屬于；性質4說明當時，分辨率，這時我們將會失的所有信息，也即，從空間上講，所有的交集為零空間；性質5是性質4的另一面，即當時，分辯率，那么信號在該尺度下的近似將收斂于它自身，即(8.100)從空間上講，即是所有的并集收斂于整個空間；性質6說明了中Riesz基的存在性問題，并將要由此引出中正交基的存在性問題，因此，需要著重加以解釋。設是一Hilbert空間(注：能量有限的空間即是Hilbert空間)，是中的一組向量，其個數(shù)與的維數(shù)一致。自然，中的任一元素都可表為的線性組合，即

(8.101)我