高中數(shù)學高考三輪沖刺 天津南開中學2023屆高三數(shù)學練習(概率隨機變量分布列)

一、eq\a\vs4\al\co1(互斥事件與相互獨立事件的概率)1.甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束．假設在一局中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．(1)求再賽2局結束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．解記Ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3,4.(1)記A表示事件：再賽2局結束比賽．A＝A3·A4＋B3·B4.由于各局比賽結果相互獨立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝×＋×＝.(2)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利．因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比賽結果相互獨立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝×＋××＋××＝.2.某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業(yè)務所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如下：辦理業(yè)務所需的時間/分12345頻率從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時．(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．解設Y表示顧客辦理業(yè)務所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：Y12345P(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務”，則事件A對應三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為2分鐘．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.(2)法一X所有可能的取值為0,1,2.X＝0對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝1對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為2分鐘，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝×＋＝；X＝2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；所以X的分布列為X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二X的所有可能取值為0,1,2.X＝0對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝；所以X的分布列為X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.二、超幾何分布：1.袋中裝有4個白棋子,3個黑棋子,從袋中隨機地取出棋子,若取到一個白棋子得2分,取到一個黑棋子得1分,現(xiàn)從袋中任取4個棋子.(1)求得分的分布列；（2）求得分大于6的概率.解：（1）袋中共7個棋子，以取到白棋子為標準，則取到白棋子的個數(shù)為1,2,3,4，對應的得分為5,6,7,8.由題意知，取到的白棋子數(shù)服從參數(shù)為的超幾何分布，故得分也服從該超幾何分布.所以的分布列為（2）根據的分布列，可得到得分大于6的概率為2.甲、乙兩人參加某選拔考試，本次選拔考試采用現(xiàn)場答題的方式來進行，已知在備選的10道題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才能入選.(1)求甲答對試題數(shù)的概率分布；（2）求甲、乙兩人至少一人入選的概率.解：（1）甲答對試題數(shù)的可能取值為0,1,2,3，則其分布列為：（2）法一：設甲、乙、兩人考試合格的事件分別為則，因為事件相互獨立，所以甲、乙兩人考試不合格的概率為所以甲、乙兩人至少有一人合格的概率為法二：甲、乙兩人至少有一人合格的概率為三、eq\a\vs4\al\co1(獨立重復試驗與二項分布)：1.設不等式確定的平面區(qū)域為，確定的平面區(qū)域為.（1）定義橫、縱坐標為整數(shù)的點為“整點”，在區(qū)域內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域內的概率；（2）在區(qū)域內任取3個點，記這3個點在區(qū)域內的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.2.現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|.求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ)．解依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率(2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為eq\f(1,9).(3)ξ的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列是ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)∴ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).四、基本訓練：1.已知的分布列如下：并且，則方差（）A．B.C.D.2.一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標有數(shù)字0，兩個面上標有數(shù)字1，一個面上標有數(shù)字3，將這個小正方體拋擲兩次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是（）A．B.C.D.3.現(xiàn)有甲、乙、丙三人參加某電視臺應聘節(jié)目《非你莫屬》，若甲應聘成功的概率為，乙、丙應聘成功的概率均為，且三個人是否應聘成功是相互獨立的.(1)若乙、丙有且只有一個人應聘成功的概率等于甲應聘成功的概率，求的值；(2)記應聘成功的人數(shù)為，若當且僅當為2時概率最大，求的取值范圍.解：（1）由題意得，解得（2）的所有可能取值為故分布列為由題意得：，，，又因為，所以解得的取值范圍為4.在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次.某同學在A處的命中率，在B處的命中率為,該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學投籃訓練結束后所得的總分.（1）求該同學投籃3次的概率；（2）求隨機變量的數(shù)學期望.（1）.（2）;;;;.

隨機變量的分布列為02345∴.5.一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為，，，，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，（1）求的值；（2）根據樣本數(shù)據，試估計盒子中小球重量的平均值；（注：設樣本數(shù)據第組的頻率為，第組區(qū)間的中點值為，則樣本數(shù)據的平均值為.）（3）從盒子中隨機抽取個小球，其中重量在內的小球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.解：(1)由題意，得，解得.（2）解：個樣本小球重量的平均值為（克）.由樣本估計總體，可估計盒子中小球重量的平均值約為克.（3）解：利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在內的概率為，則.的取值為，，，，.∴的分布列為：∴.（或者）6.據IEC（國際電工委員會）調查顯示，小型風力發(fā)電項目投資較少，且開發(fā)前景廣闊，但受風力自然資源影響，項目投資存在一定風險.根據測算，風能風區(qū)分類標準如下：風能分類一類風區(qū)二類風區(qū)平均風速m/s～10～假設投資A項目的資金為（≥0）萬元，投資B項目資金為（≥0）萬元，調研結果是：未來一年內，位于一類風區(qū)的A項目獲利的可能性為，虧損的可能性為；位于二類風區(qū)的B項目獲利的可能性為，