2022年度湖南省益陽(yáng)市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022年度湖南省益陽(yáng)市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列滿足“?x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函數(shù)是（）A．f（x）=﹣xe|x| B．f（x）=x+sinxC．f（x）= D．f（x）=x2|x|參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】滿足“?x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，進(jìn)而得到答案．【解答】解：滿足“?x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，A中函數(shù)f（x）=﹣xe|x|，滿足f（﹣x）=﹣f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，且f′（x）=≤0恒成立，故在R上為減函數(shù)，B中函數(shù)f（x）=x+sinx，滿足f（﹣x）=﹣f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函數(shù)，C中函數(shù)f（x）=，滿足f（﹣x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)；D中函數(shù)f（x）=x2|x|，滿足f（﹣x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題以全稱命題為載體，考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．2.小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》的現(xiàn)場(chǎng)錄制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的總數(shù)為（）A．60 B．72 C．84 D．96參考答案：C【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分3種情況討論：①、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰，②、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰，③、小明的父母都與小明相鄰，分別求出每一種情況下的排法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：①、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰時(shí)，先在其父母中選一人與小明相鄰，有C21=2種情況，將小明與選出的家長(zhǎng)看成一個(gè)整體，考慮其順序有A22=2種情況，當(dāng)父母不相鄰時(shí)，需要將爺爺奶奶進(jìn)行全排列，將整體與另一個(gè)家長(zhǎng)安排在空位中，有A22×A32=12種安排方法，此時(shí)有2×2×12=48種不同坐法；②、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰時(shí)，將父母及小明看成一個(gè)整體，小明在一端，有2種情況，考慮父母之間的順序，有2種情況，則這個(gè)整體內(nèi)部有2×2=4種情況，將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有A33=6種情況，此時(shí)有2×2×6=24種不同坐法；③、小明的父母都與小明相鄰，即小明在中間，父母在兩邊，將3人看成一個(gè)整體，考慮父母的順序，有A22=2種情況，將這個(gè)整體與爺爺奶奶進(jìn)行全排列，有A33=6種情況，此時(shí)，共有2×6=12種不同坐法；則一共有48+24+12=84種不同坐法；故選：C．3.（5分）（2013?蘭州一模）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a7+a13=4π，則tan（a2+a12）的值為（）A．﹣B．C．D．﹣參考答案：A略4.若不等式組表示一個(gè)三角形內(nèi)部的區(qū)域，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C5.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若線段與拋物線的交點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，且，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：B7.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，則k的值為（）A.8

B.7

C.6

D.5參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和.

D2解析：由a1=1，a3=5得d=2,所以Sk+2﹣Sk=，解得:k=8,故選A.【思路點(diǎn)撥】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式求得結(jié)論.8.函數(shù)的圖像

Ａ．關(guān)于y軸對(duì)稱

Ｂ．關(guān)于x軸對(duì)稱

Ｃ．關(guān)于直線y=x對(duì)稱

Ｄ．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱參考答案：D略9.如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）的各條棱長(zhǎng)均相等，D為AA1的中點(diǎn)．M、N分別是BB1、CC1上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足BM=C1N．當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不正確的是(

) A．平面DMN⊥平面BCC1B1 B．三棱錐A1﹣DMN的體積為定值 C．△DMN可能為直角三角形 D．平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，]參考答案：C考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．專題：空間位置關(guān)系與距離；簡(jiǎn)易邏輯．分析：由BM=C1N，得線段MN必過(guò)正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；由△A1DM的面積不變，N到平面A1DM的距離不變，得到三棱錐A1﹣DMN的體積為定值；利用反證法思想說(shuō)明△DMN不可能為直角三角形；平面DMN與平面ABC平行時(shí)所成角為0，當(dāng)M與B重合，N與C1重合時(shí)，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大．解答： 解：如圖，當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若滿足BM=C1N，則線段MN必過(guò)正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，A正確；當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△A1DM的面積不變，N到平面A1DM的距離不變，∴棱錐N﹣A1DM的體積不變，即三棱錐A1﹣DMN的體積為定值，B正確；若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BC1，而此時(shí)DM，DN的長(zhǎng)大于BB1，∴△DMN不可能為直角三角形，C錯(cuò)誤；當(dāng)M、N分別為BB1，CC1中點(diǎn)時(shí)，平面DMN與平面ABC所成的角為0，當(dāng)M與B重合，N與C1重合時(shí)，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大，為∠C1BC，等于．∴平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0，]，D正確．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．10.方程的解的個(gè)數(shù)有__________

A、1個(gè)

B、2個(gè)

C、3個(gè)

D、4個(gè)參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列六個(gè)命題：①函數(shù)f（x）=lnx﹣2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)；②若f′（x0）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極值；③若m≥﹣1，則函數(shù)y=的值域?yàn)镽；④“a=1”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件．⑤函數(shù)y=f（1+x）的圖象與函數(shù)y=f（l﹣x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；⑥滿足條件AC=，AB=1的三角形△ABC有兩個(gè)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是

．參考答案：①③④⑤【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得①正確．通過(guò)舉反例可得②不正確．根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)可取遍所有的正實(shí)數(shù)，可得此對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，故③正確．根據(jù)a=1時(shí)，函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)時(shí)，a=±1，可得④正確．由函數(shù)y=f（1+x）的圖象與函數(shù)y=f（l﹣x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得⑤正確．由AC=，AB=1，利用正弦定理及由大邊對(duì)大角可得△ABC是一個(gè)唯一的直角三角形，故⑥不正確．【解答】解：對(duì)于函數(shù)f（x）=lnx﹣2+x，在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，f（1）=﹣1，f（e）=e﹣1＞0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得，在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)，故①正確．②不正確，如當(dāng)f（x）=x3時(shí)，顯然滿足f′（0）=0，但y=f（x）=x3在x=0處沒(méi)有極值．③當(dāng)m≥﹣1，函數(shù)y=的真數(shù)為x2﹣2x﹣m，判別式△=4+4m≥0，故真數(shù)可取遍所有的正實(shí)數(shù)，故函數(shù)y=的值域?yàn)镽，故③正確．④由a=1可得，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，==﹣f（x），故函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，故充分性成立．若函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，則有f（0）=0，或f（0）不存在，∴a=1，或a=﹣1，故不能推出a=1．故必要性不成立，故④正確．⑤在函數(shù)y=f（1+x）的圖象上任意取一點(diǎn)（a，f（1+a）），則點(diǎn)（a，f（1+a））關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣a，f（1﹣a）），故函數(shù)y=f（1+x）的圖象與函數(shù)y=f（l﹣x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故⑤正確．⑥△ABC中，由AC=，AB=1，利用正弦定理求得sinC=，再由大邊對(duì)大角可得C=30°，∴B=90°，△ABC是一個(gè)唯一的直角三角形，故⑥不正確．故答案為①③④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假的判斷，通過(guò)舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．12.如圖，設(shè)的外接圓的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的平分線與交于點(diǎn)．若，，則

．參考答案：略13.在平行四邊形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，記三邊及內(nèi)部組成的區(qū)域?yàn)?，，?dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大值為

。參考答案：略14.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn).若，則C的離心率為_(kāi)_______.參考答案：【分析】先求出點(diǎn)A到漸近線的距離為，再解方程即得解.【詳解】由題得雙曲線的漸近線方程為由題得△AMN是等邊三角形，邊長(zhǎng)為b.所以點(diǎn)A到漸近線的距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的計(jì)算和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.15.若是上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)

參考答案：略16.如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線及直線與軸圍成的區(qū)域，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分的概率為，則

．參考答案：略17.函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則+的最小值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2時(shí)，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2?=8，當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=時(shí)取等號(hào)．故答案為：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為（a＞b＞0，φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α與C1，C2各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)α=0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)α=時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合．（Ⅰ）分別說(shuō)明C1，C2是什么曲線，并求a與b的值；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)α=時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A1，B1，當(dāng)α=﹣時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A2，B2，求直線A1A2、B1B2的極坐標(biāo)方程．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1，C1是以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為=1，C2是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．當(dāng)α=0時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（1，0），（a，0），當(dāng)時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（0，1），（0，b），由此能求出a，b．（Ⅱ）C1，C2的普通方程分別為x2+y2=1和，當(dāng)時(shí)，射線l與C1的交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為，與C2的交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，射線l與C1，C2的交點(diǎn)A2，分別與A1，B1關(guān)于x軸對(duì)稱，由此能求出直線A1A2和B1B2的極坐標(biāo)方程．【解答】（本題滿分10分）【選修4﹣4

坐標(biāo)系統(tǒng)與參數(shù)方程】解：（Ⅰ）∵曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1，∴C1是以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，∵曲線C2的參數(shù)方程為（a＞b＞0，φ為參數(shù)），∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為=1，∴C2是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．當(dāng)α=0時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（1，0），（a，0），∵這兩點(diǎn)間的距離為2，∴a=3…當(dāng)時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（0，1），（0，b），∵這兩點(diǎn)重合，∴b=1…（Ⅱ）C1，C2的普通方程分別為x2+y2=1和…當(dāng)時(shí)，解方程組，得A1（，），即射線l與C1的交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為，解方程組，得B1（，），與C2的交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，射線l與C1，C2的交點(diǎn)A2，分別與A1，B1關(guān)于x軸對(duì)稱因此，直線A1A2、B1B2垂直于極軸，故直線A1A2和B1B2的極坐標(biāo)方程分別為，…19.（文）（本題滿分13分）四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，A，C關(guān)于軸對(duì)稱，BD平行于拋物線在點(diǎn)C處的切線.（1）證明：AC平分；（2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程.參考答案：（1）設(shè)對(duì)y＝x2求導(dǎo)，得y￠＝2x，則拋物線在點(diǎn)C處的切線斜率為－2x0．直線BD的斜率依題意，有x1＋x2＝－2x0． 記直線AB，AD的斜率分別為k1，k2，與BD的斜率求法同理，得k1＋k2＝(x0＋x1)＋(x0＋x2)＝2x0＋(x1＋x2)＝0，所以∠CAB＝∠CAD，即AC平分∠BAD．（2）由題設(shè)，x0＝－1，x1＋x2＝2，k＝2．四邊形ABCD的面積由已知，4|1－x1|＝4，得x1＝0，或x1＝2．所以點(diǎn)B和D的坐標(biāo)為(0，0)和(2，4)，故直線BD的方程為y＝2x．20.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)，（Ⅰ）求的周期和最大值（Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間參考答案：（1），-------------------------------2分

----------------------------------4分

-------------------------------6分的周期

----------------------7分

-------------------------8分（2）由得所以

---------------------10分的增區(qū)間為-------------------12分21.（13分）（1）已知R為全集，A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|﹣2＜x≤3}，求（CRA）∩B；（2）設(shè)集合A={a2，a+2，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2