概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第一節(jié) 隨機(jī)變量

第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量第一節(jié)隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量及其分布律常見的離散型隨機(jī)變量的分布第一章的內(nèi)容，一句話概括：求事件A的概率！第一章我們干的事情：求各種各樣奇奇怪怪事件A的概率。

本章，將用隨機(jī)變量表示事件，以便于采用高等數(shù)學(xué)的方法描述，進(jìn)而研究隨機(jī)現(xiàn)象。在前面的學(xué)習(xí)中,我們用字母A、B、C...表示事件，并視之為樣本空間

的子集；采用高等數(shù)學(xué)的方法描述隨機(jī)事件的關(guān)鍵是：樣本空間數(shù)量化

樣本空間數(shù)量化之后，就可用數(shù)字來表示試驗(yàn)的結(jié)果。數(shù)量化

試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化，直接將試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了一個對應(yīng)關(guān)系。試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量化數(shù)量化的優(yōu)點(diǎn)：可以用數(shù)學(xué)方法和工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象

有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本來就可以用數(shù)量來表示.(1)

在擲骰子試驗(yàn)中,結(jié)果用1,2,3,4,5,6來表示；例如:

擲硬幣試驗(yàn),其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規(guī)定:用1表示“正面”，用0表示“反面”

有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化例如:(2)抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)，X=i，i=0,1,2,…樣本空間數(shù)量化隨機(jī)變量的定義

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對于每一個樣本點(diǎn)，均有唯一的實(shí)數(shù)X()與之對應(yīng)，稱X=X()為樣本空間上的隨機(jī)變量。一、隨機(jī)變量數(shù)量化例

設(shè)箱中有5個球，其中有3個紅球，2個黑球；從中任意抽取2個,觀察抽球結(jié)果。取球結(jié)果為:兩個黑球;兩個紅球;一紅一黑如果用X表示抽得的紅球數(shù)，則X的取值為0，1，2。此時，“兩只紅球”=“X取到值2”,可記為{X=2}

“一紅一黑”={X=1},“兩只白球”＝{X=0}試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量化隨機(jī)變量的類型

離散型

連續(xù)型隨機(jī)變量的所有取值是有限個或可數(shù)個

非離散型也非連續(xù)型

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值是x1,x2,…,xk,…，而X取值xk的概率為pk

稱以上為離散型隨機(jī)變量X的分布律。

p1

，p2

，…pK…

P

x1，x2，…xk，…X其中

隨機(jī)變量X的概率分布全面表達(dá)了X的可能取值以及取各個值的概率情況

例1袋中有5個球，分別編號1、2、…、5，從中同時取出3個球，用X表示取出的球的最大號碼，求X的分布律。對于求離散型隨機(jī)變量的問題，通常要解決兩點(diǎn)：1、問題中隨機(jī)變量可能取些什么值？2、隨機(jī)變量取這些值的概率是多少？練習(xí)：袋中有5個球，分別編號1、2、…、5，從中同時取出3個球，用X表示取出的球的最小號碼，求X的分布律。

例2一批零件中有10個合格品，3個次品，安裝機(jī)器時，從這批零件中任取一個，取到合格品才能安裝。若取出的是次品，則不再放回.求在取得合格品前已取出的次品數(shù) X的分布律。三種常見的離散型分布（1）0-1分布

則稱X的分布為0-1分布（兩點(diǎn)分布）?！鞫x：若隨機(jī)變量X的分布律為:1－ppP01X（2）二項(xiàng)分布

在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為。其中則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布。記為

在概率論中，二項(xiàng)分布是一個非常重要的分布，很多隨機(jī)現(xiàn)象都可用二項(xiàng)分布來描述。

例如在次品率為p的一批產(chǎn)品中有放回地任取n件產(chǎn)品，以X表示取出的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布X～B(n,p)。

如果這批產(chǎn)品的批量很大，則采用無放回方式抽取n件產(chǎn)品時，也可認(rèn)為X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布X～B(n,p)。例3從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率均為0.25，設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)X，求隨機(jī)變量X的分布律及至多遇到一次紅燈的概率。（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X～P()服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；交換臺在