2004研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文A題

目錄1問題的描述及簡(jiǎn)化2問題的分析3模型的建立4模型的求解4.1問題一求解4.1.1簇1著色方案4.1.2簇2著色方案4.2問題二求解4.2.1簇1著色方案4.2.2簇2著色方案5問題三討論5.1圓錐軸線旋轉(zhuǎn)方案5.2黃球定位概率的定義和計(jì)算6參考文獻(xiàn)1問題的描述及簡(jiǎn)化本題是黃球的發(fā)現(xiàn)與定位問題，其中被探測(cè)的黃球到紅球和藍(lán)球的距離之和小于常數(shù)40，那么對(duì)一對(duì)紅，藍(lán)球而言，能檢測(cè)到的空間范圍是以該紅，藍(lán)球所在位置為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40的旋轉(zhuǎn)橢球體。對(duì)底面的所有紅，藍(lán)球，任意一對(duì)紅，藍(lán)球，只要其距離小于40，都可以形成一個(gè)探測(cè)橢球體，所有的紅藍(lán)球在一起就構(gòu)成了一個(gè)探測(cè)橢球陣，現(xiàn)在就是要設(shè)計(jì)紅，藍(lán)球的個(gè)數(shù)及位置，使得橢球陣至少能夠覆蓋圓柱內(nèi)的所有點(diǎn)。首先將問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，我們給出以下假設(shè)：1．紅、藍(lán)球探測(cè)角速度可以忽略不計(jì)；2．紅、藍(lán)、黃球的體積可以忽略不計(jì)；3．紅、藍(lán)球的探測(cè)波束為一直線；在做了以上假設(shè)后可以將該問題用幾何描述為：有一個(gè)半徑為50m，高為10m的圓柱體，該柱體與一個(gè)橢球陣相交，這個(gè)橢球陣內(nèi)的橢球滿足長(zhǎng)軸長(zhǎng)度小于等于20m，橢球的焦點(diǎn)在圓柱體的底面，且關(guān)于焦點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，每個(gè)橢球有一個(gè)焦點(diǎn)被圖成紅色、另一個(gè)焦點(diǎn)被圖成藍(lán)色，當(dāng)同色焦點(diǎn)重合時(shí)可示為一個(gè)焦點(diǎn)，那么此時(shí)若保證黃球在圓柱體內(nèi)任意位置都可能被檢測(cè)到，也即要求該橢圓陣能夠至少一次無縫覆蓋圓柱體，同樣，若保證黃球在圓柱體內(nèi)任意位置都可能被定位，也即要求該橢圓陣能夠至少三次無縫覆蓋圓柱體。2問題的分析定理一：橢圓陣能夠無縫覆蓋圓柱體一次的充要條件是：橢球陣在圓柱柱頂?shù)慕幻婺軌驘o縫覆蓋圓柱頂面一次。證明：必要性：假設(shè)A點(diǎn)為圓柱柱頂上的任意一點(diǎn)，那么A點(diǎn)肯定包含在某個(gè)橢球內(nèi)，假設(shè)該橢球的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是、，則A點(diǎn)肯定滿足，過A點(diǎn)做圓柱地面的垂線交于B點(diǎn)，取線上任意一點(diǎn)，如圖所示，則有因此有：圖1定理1證明示意圖此時(shí)，可以得出點(diǎn)亦在以、為焦點(diǎn)的橢球內(nèi)。即只要點(diǎn)在范圍之內(nèi)，那么連線上任意一點(diǎn)都在范圍之內(nèi)，不難得出結(jié)論：假如橢球陣在圓柱柱頂?shù)慕幻婺軌驘o縫覆蓋圓柱柱頂，那么也一定能夠包含整個(gè)圓柱體。充分性：因?yàn)闄E球陣能包含整個(gè)圓柱體，因此其在圓柱柱頂?shù)慕幻姹啬馨瑘A柱頂面。推論：橢圓陣能夠無縫覆蓋圓柱體次的充要條件是：橢球陣在圓柱柱頂?shù)慕幻婺軌驘o縫覆蓋圓柱頂面次。定理二：與圓柱體底面平行且高度為（，其中為橢球的短軸長(zhǎng)度）的平面與橢球的切面一定是個(gè)橢圓，并且其長(zhǎng)短軸與橢球長(zhǎng)短軸成比例，該比例系數(shù)為。證明：假設(shè)橢球的表達(dá)式為：那么高為的平面與它的交平面為：從該表達(dá)式中不難看出，該切面是個(gè)橢圓，且其長(zhǎng)、短軸與橢球長(zhǎng)短軸成比例，該比例系數(shù)為。根據(jù)定理一及其推論，我們可以將題目轉(zhuǎn)化如何設(shè)計(jì)如何對(duì)焦點(diǎn)的位置進(jìn)行設(shè)計(jì)并著色，使得其能用盡量少的紅藍(lán)焦點(diǎn)數(shù)目來獲得能夠次無縫覆蓋頂圓的問題。3模型的建立由于移動(dòng)通信中的系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題已經(jīng)被研究的很成熟了，因此對(duì)本題目焦點(diǎn)位置的設(shè)計(jì)及著色問題我們可以借鑒移動(dòng)通信中的基站位置及頻率配置的設(shè)計(jì)方案來解決。首先我們對(duì)移動(dòng)通信中的基站位置及頻率配置的設(shè)計(jì)思路做一個(gè)簡(jiǎn)單的描述如下：早期的移動(dòng)通信其容量需求較低，采用的是大區(qū)制移動(dòng)通信系統(tǒng)，該大區(qū)包含了所有頻率，以達(dá)到該區(qū)內(nèi)容量最高。但當(dāng)總?cè)萘啃枨笤黾訒r(shí)，它就不能通過增加頻率以達(dá)到增加容量需求的目的。因此需要找到一種系統(tǒng)結(jié)構(gòu)滿足隨著容量需求的增長(zhǎng)，其基站的數(shù)目可能會(huì)增加，從而提高額外的容量，但不會(huì)增加額外的功率。當(dāng)前的移動(dòng)通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)中采用了蜂窩的概念，其思想是用許多蜂窩（正六邊形）來覆蓋整個(gè)區(qū)域，將基站放置在正六邊形的中心或者頂點(diǎn)，并用頻率復(fù)用的策略來解決頻率配置問題。在這里為了更好的理解頻率復(fù)用的含義，我們引入簇的概念。在蜂窩系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中共同使用全部可用頻率的N個(gè)小區(qū)稱為一簇，如圖2所示，形成一簇至少需要三個(gè)頻率，稱N為簇的大小。N的值體現(xiàn)了移動(dòng)臺(tái)或基站可以承受的干擾。從設(shè)計(jì)觀點(diǎn)來看N取可能的最小值是最好的，目的是為了獲得某一給定覆蓋范圍上的最大容量。蜂窩系統(tǒng)中定義頻率復(fù)用因子為1/N，因?yàn)橐粋€(gè)簇中的每個(gè)小區(qū)都只分配給系統(tǒng)中所有可用信道的1/N。圖2蜂窩頻率復(fù)用基本思想圖解（標(biāo)有相同字母的小區(qū)使用相同的頻率）。小區(qū)簇的外圍輪廓用粗線描過，本例中簇的大小N=7，頻率復(fù)用因子為1/7。下表給出了這兩種設(shè)計(jì)問題的名詞關(guān)系：表1名詞對(duì)應(yīng)關(guān)系表本題的系統(tǒng)設(shè)計(jì)只被次覆蓋的區(qū)域面積被多過次覆蓋的區(qū)域面積焦點(diǎn)只要求被1次覆蓋（雙頻）：紅色、藍(lán)色只要求被3次覆蓋（四頻）：紅色、紅色、紅色、藍(lán)色移動(dòng)通信中的系統(tǒng)設(shè)計(jì)容量干擾基站頻率或藍(lán)色、藍(lán)色、藍(lán)色、紅色一個(gè)焦點(diǎn)所配置顏色的數(shù)目功率（注：計(jì)算頻率的準(zhǔn)則是當(dāng)左右焦點(diǎn)重合時(shí)，次覆蓋需要的最少焦點(diǎn)個(gè)數(shù)）參照蜂窩網(wǎng)的設(shè)計(jì)思路，對(duì)本題我們給出以下設(shè)計(jì)方案：第一種情況當(dāng)圓柱頂面小于紅藍(lán)焦點(diǎn)重合形成的球面時(shí)，進(jìn)行次覆蓋所需要的焦點(diǎn)個(gè)數(shù)為對(duì)應(yīng)的頻率個(gè)數(shù)，見表1。其位置都在圓柱底面的圓心位置。（參照早期大區(qū)制移動(dòng)通信網(wǎng)的設(shè)計(jì)）值得說明的是，這里給出了設(shè)計(jì)指導(dǎo)原則，對(duì)于1次覆蓋的問題，1對(duì)焦點(diǎn)重合的紅、藍(lán)球可以發(fā)現(xiàn)黃球。對(duì)于3次覆蓋問題，考慮到實(shí)際中三種同色球的焦點(diǎn)不便于完全重合，否則無法形成3個(gè)方位來完成空間定位，對(duì)此可適當(dāng)微調(diào)3個(gè)同色球焦點(diǎn)，使它們相互錯(cuò)開即可。如3個(gè)同色球位于等邊三角形頂點(diǎn)上，1個(gè)異色球位于中心點(diǎn)上。第二種情況當(dāng)圓柱頂面大于紅藍(lán)焦點(diǎn)重合形成的球面時(shí)，參照現(xiàn)代移動(dòng)蜂窩網(wǎng)的設(shè)計(jì)思想，我們給出以下步驟：第一步：將圓柱頂面所在平面用蜂窩小區(qū)分割，焦點(diǎn)放在小區(qū)中心。第二步：將分割得到的小區(qū)內(nèi)的焦點(diǎn)用最小簇著色。第三步：求出滿足頂圓剛好被次覆蓋時(shí)的小區(qū)半徑，從而確定小區(qū)大小。第四步：根據(jù)使焦點(diǎn)數(shù)目最少的原則，確定頂圓在蜂窩區(qū)內(nèi)的圓心。最少球數(shù)的搜索步驟：(1)初始化蜂窩區(qū)域成單個(gè)小區(qū)（正六邊形）；基準(zhǔn)圓：半徑R0，圓心與單個(gè)小區(qū)重合；(2)若整個(gè)蜂窩區(qū)域能完全覆蓋圓周，則轉(zhuǎn)向（3），否則小區(qū)均勻向四周擴(kuò)張一層，繼續(xù)執(zhí)行（2）；(3)計(jì)算蜂窩區(qū)域內(nèi)所有的紅，藍(lán)球?qū)π纬傻奶綔y(cè)橢球陣與圓柱頂面的相交面的最大內(nèi)切圓半徑Rmax，顯然有；(4)圓心在方向上向外移動(dòng)，知道蜂窩區(qū)域不能完全覆蓋圓周，最大移動(dòng)，統(tǒng)計(jì)蜂窩區(qū)域中完全不在基準(zhǔn)圓內(nèi)的小區(qū)個(gè)數(shù)；(5)尋找（4）中小區(qū)個(gè)數(shù)的最大值，及其對(duì)應(yīng)的球個(gè)數(shù)，用總球數(shù)減去該球數(shù)即得到最少球數(shù)目。第五步：若有焦點(diǎn)在頂圓外的情況，則通過邊際處理將焦點(diǎn)移至頂圓內(nèi)部，其中如何處理可以參照蜂窩移動(dòng)通信中的邊際處理方式。對(duì)于本題我們采用如下邊際處理方式：(6)首先把不在圓內(nèi)的紅藍(lán)球順著它們到圓心的方向移動(dòng)到圓周上，觀察是否完成3次覆蓋，如果完成了3次覆蓋，則結(jié)束；(7)如果沒有完成，則沒有完成的區(qū)域一定分布在圓周附近，我們把這種區(qū)域稱為縫隙，按照我們放置紅藍(lán)球的規(guī)則，縫隙一定是關(guān)于某些軸對(duì)稱；(8)把縫隙兩邊的圓周上(9)的紅藍(lán)球向著縫隙方向移動(dòng)一定的角度，觀察是否能完成3次覆蓋(10)如果有某些角度能完成3次覆蓋，則結(jié)束，給出角度的范圍(11)如果沒有角度能完成3次覆蓋，則必須增加紅藍(lán)球的數(shù)目本題需要移動(dòng)的角度范圍在（1.5,2.5）度之間。4模型的求解由于紅藍(lán)焦點(diǎn)重合時(shí)在頂面形成的球面半徑是m，小于50m的圓柱頂圓半徑，因此方案中的第一種情況可以不用考慮，下面僅針對(duì)第二種情況進(jìn)行討論。4.1問題一求解一次覆蓋時(shí)最少的顏色方案是2個(gè)，即藍(lán)、紅兩色，那么它組成最小簇的數(shù)目是3，其配色方案如下所示：圖3分簇方案示意圖（記左邊的為簇1，右邊的為簇2）不同的簇可以得到不同的著色方案，現(xiàn)在我們分情況討論。4.1.1簇1著色方案分析該著色方案下圓內(nèi)一簇中的覆蓋情況如下圖所示：圖4簇1著色方案示意圖記為小區(qū)半徑，為圓柱的高。由于該簇的對(duì)稱形，故若滿足三角區(qū)域被無縫覆蓋一次也能保證所形成的簇能夠被無縫覆蓋，從圖中不難看出若滿足被一次覆蓋則必須滿足橢圓1與橢圓4交點(diǎn)在橢圓2橢圓3內(nèi)，根據(jù)他們的對(duì)稱性也即滿足原點(diǎn)在橢圓4之內(nèi)，此時(shí)有：解得：對(duì)本題，，，此時(shí)即剛好覆蓋時(shí)滿足根據(jù)模型建立中的方案設(shè)計(jì)步驟，對(duì)圓心進(jìn)行搜索，并對(duì)邊際進(jìn)行處理后，得到的焦點(diǎn)數(shù)目為19個(gè)，配置分布圖如下：①③②圖5滿足至少一次無縫覆蓋時(shí)的焦點(diǎn)分布及配色方案圖和覆蓋的灰度圖圖中，①，②，③號(hào)球的顏色紅，藍(lán)皆可。則紅球最少為7個(gè)，最多為12個(gè)，藍(lán)球亦然。4.1.2簇2著色方案分析該著色方案下圓內(nèi)一簇中的覆蓋情況如下圖所示：圖6簇1著色方案示意圖記為小區(qū)半徑，為圓柱的高，為橢圓1的半焦距。由于該簇的對(duì)稱性，只需要滿足對(duì)圖中所示三角區(qū)至少無縫覆蓋一次就可以了，這個(gè)區(qū)域在該簇內(nèi)至少需要、、、這四個(gè)焦點(diǎn)組成的橢球在頂平面的交面來覆蓋，分別記為橢圓1、橢圓2和橢圓3。若要使橢圓1、橢圓2和橢圓3能將三角區(qū)無縫覆蓋，則必須保證橢圓1與軸的交點(diǎn)在橢圓2、3之內(nèi)。由于橢圓2、3是關(guān)于y軸對(duì)稱的，因此只需要保證在橢圓3之內(nèi)。在圖中建立的坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)為橢圓1的方程為根據(jù)以上分析則需要滿足以下不等式：時(shí)上式成立，此時(shí)：。則能剛好滿足無縫覆蓋一次，此時(shí)所成的橢球經(jīng)過無球區(qū)在頂端投影的中心點(diǎn)，且該點(diǎn)為橢球在頂端投影所得橢圓的短軸頂點(diǎn)，因此得到方程：此時(shí)解得。根據(jù)模型建立中的方案設(shè)計(jì)步驟，對(duì)圓心進(jìn)行搜索，并對(duì)邊際進(jìn)行處理后，得到的焦點(diǎn)數(shù)目為24個(gè)，配置分布圖如下：圖7滿足至少三次無縫覆蓋時(shí)的焦點(diǎn)分布及配色方案圖和覆蓋的灰度圖兩種方案比較可以得出此時(shí)使用簇1進(jìn)行著色時(shí)，使用的焦點(diǎn)數(shù)目較少為19個(gè)。但由圖可見，此時(shí)圓的半徑還可以增大，即可以覆蓋更大的區(qū)域，計(jì)算得半徑約為51.96。當(dāng)半徑為51.96時(shí)，用簇I著色，圓面不能完全被覆蓋，需要再增加焦點(diǎn)，按最小球數(shù)搜索算法得到至少需要23個(gè)焦點(diǎn)。表2問題一求解結(jié)果4.2問題二求解著色方案簇1簇2小區(qū)半徑14.5024焦點(diǎn)個(gè)數(shù)191024問題二實(shí)際上是如何設(shè)計(jì)焦點(diǎn)位置及著色方案使其能以最少數(shù)目三次無縫覆蓋頂圓，我們同樣可以用模型建立中提到的方案來解決這個(gè)問題。由表1可以知道三次覆蓋時(shí)最少的顏色方案是紅色、紅色、紅色、藍(lán)色或藍(lán)色、藍(lán)色、藍(lán)色、紅色，那么他們能組成最小簇的方案有兩種，個(gè)數(shù)分別是4或12，如圖所示：圖8分簇方案示意圖（記左邊的為簇1，右邊的為簇2）4.2.1簇1著色方案分析該著色方案下圓內(nèi)一簇中的覆蓋情況如下圖所示：圖9簇1著色方案示意圖記為小區(qū)半徑，為圓柱的高。由于該簇的對(duì)稱形，需要滿足原心在橢圓4內(nèi)：即解得：，取。按照與問題1中設(shè)計(jì)的搜索圓心及邊際處理后得到以下焦點(diǎn)配置圖：圖10簇1配置方案下滿足至少三次無縫覆蓋時(shí)的焦點(diǎn)分布及配色方案圖和覆蓋的灰度圖4.2.2簇2著色方案分析該著色方案下圓內(nèi)一簇中的覆蓋情況如下圖所示：圖11簇2著色方案示意圖由圖中可以看出若對(duì)圖中所示區(qū)域進(jìn)行三次覆蓋，至少需要橢圓1和橢圓2的交點(diǎn)在橢圓6之內(nèi)，在如圖所示的坐標(biāo)系中，假設(shè)的坐標(biāo)為，則有以下方程組：解得，，按照與問題1中設(shè)計(jì)的搜索圓心及邊際處理后得到以下焦點(diǎn)配置圖：圖12簇2配置方案下滿足至少三次無縫覆蓋時(shí)的焦點(diǎn)分布及配色方案圖和覆蓋的灰度圖此時(shí)共有34個(gè)焦點(diǎn)。其中紅球?yàn)?6個(gè)，藍(lán)球?yàn)?8個(gè)，或者紅球?yàn)?8個(gè)，藍(lán)球?yàn)?6個(gè)。到此將第二問的結(jié)果列成表為，從表中可以看出是采用簇1進(jìn)行配置需要37個(gè)焦點(diǎn)，采用簇2進(jìn)行配置需要34個(gè)。表問題二求解結(jié)果著色方案小區(qū)半徑焦點(diǎn)個(gè)數(shù)簇1簇211.37649.611833734圖13小圓柱等效示意圖當(dāng)考慮到小區(qū)以波束掃描，且黃球被看成球時(shí)，對(duì)底面上的球以圓錐掃描時(shí)，如圖13所示，軸AB不需要掃描到圓邊上就可以覆蓋到整個(gè)圓，所以等效為區(qū)域圓半徑縮小為；同時(shí)由于黃球的直徑，軸AB不需要射到頂面就可以檢測(cè)到頂面的球，所以等效為圓柱體高度縮小為。也即等效為焦點(diǎn)以直線在變小了的也即假如不將黃球看為質(zhì)點(diǎn)而且紅、藍(lán)球以圓錐而不是直線進(jìn)行掃描時(shí)，可以等效為焦點(diǎn)都以直線在變小了的圓柱體掃描，在該圓柱體內(nèi)的黃球都可以看成質(zhì)點(diǎn)，只要焦點(diǎn)所形成的橢球陣能夠無縫覆蓋變小了的圓柱，那么一定能夠在以圓錐掃描的原圓柱體內(nèi)掃描到任意一個(gè)位置的半徑為0.02m的黃球此時(shí)將第二問轉(zhuǎn)化為：怎樣對(duì)焦點(diǎn)進(jìn)行分布和配色能使在、的圓柱體內(nèi)內(nèi)的任何位置的黃球有可能被發(fā)現(xiàn)。此時(shí)根據(jù)定理一可將問題描述為如何設(shè)計(jì)焦點(diǎn)位置和著色方案來三次無縫覆蓋頂圓區(qū)域的問題，那么我們同樣可以采用問題一中所采用的處理方案。5問題三討論5.1圓錐軸線旋轉(zhuǎn)方案由定理1的推論可知，若底面的紅，藍(lán)球能夠?qū)μ幱陧斆嫒我馕恢玫狞S球定位，則對(duì)圓柱體內(nèi)的任意位置黃球都能夠定位，則只要黃球進(jìn)入圓柱體內(nèi)，按照問題2中的解，可以在不增加紅，藍(lán)球的數(shù)量，也不改變它們的位置的情況下，總可能對(duì)黃球定位。根據(jù)圖10和圖12中的灰度圖，將頂面分成若干個(gè)連續(xù)的封閉區(qū)域，每個(gè)區(qū)域灰度相同（也即被滿足定位條件的紅，藍(lán)球?qū)?shù)相同），對(duì)每個(gè)區(qū)域，總存在至少三對(duì)同樣的紅，藍(lán)球?qū)Γ瑢?duì)該區(qū)域上任意一點(diǎn)定位?，F(xiàn)對(duì)每個(gè)區(qū)域向底面作投影，得到相應(yīng)的區(qū)域投影體，這些投影體將圓柱體作了無縫覆蓋。對(duì)某一區(qū)域內(nèi)點(diǎn)定位的紅，藍(lán)球?qū)?，肯定能?duì)相應(yīng)投影體內(nèi)的任意點(diǎn)定位，這樣圓柱體內(nèi)的任意點(diǎn)都可能被定位，則只要黃球進(jìn)入到圓柱體內(nèi)，就有可能被定位。要提高定位的概率，必須使得紅，藍(lán)球?qū)μ綔y(cè)完整個(gè)圓柱體所用的時(shí)間最小。要完成定位，至少需要3對(duì)紅，藍(lán)球?qū)Γ枰?－6個(gè)球，對(duì)于定位對(duì)數(shù)為3的區(qū)域，由哪幾個(gè)球定位是確定的，對(duì)對(duì)數(shù)大于3的區(qū)域，由哪些球定位可以進(jìn)行一定的選擇，對(duì)每一個(gè)球，其可以定位某幾個(gè)區(qū)域進(jìn)行定位，但不能同時(shí)對(duì)多個(gè)區(qū)域定位，對(duì)完全不同的紅，藍(lán)球?qū)Γ梢酝瑫r(shí)對(duì)不同的區(qū)域定位。我們把灰度相同而且相互連通的園內(nèi)區(qū)域看作一項(xiàng)工作，把一個(gè)紅球或一個(gè)籃球看作一個(gè)工人。各個(gè)球的圓錐軸的旋轉(zhuǎn)方案可以轉(zhuǎn)換成以下問題：有n項(xiàng)工作由m個(gè)工人來完成，目標(biāo)：求最小完成時(shí)間。限制條件：每項(xiàng)工作由4－6工人的固定組合完成；每個(gè)工人可和他人組合完成一項(xiàng)或多項(xiàng)工作；一個(gè)工人不可同時(shí)進(jìn)行多項(xiàng)工作；部分工作必須由某些特定的組合完成；部分工作可有多種組合中的一種完成；完全不同的組合可以同時(shí)進(jìn)行不同的工作；這是一個(gè)多約束的最佳生產(chǎn)調(diào)度問題。從R＝11.3764的3次覆蓋方案的灰度圖中，我們可以看到，工作的數(shù)目相當(dāng)多，而且工作區(qū)域的形狀和面積都極不相同。完成一項(xiàng)工作的時(shí)間也各不相同，求解會(huì)相當(dāng)困難。而且，最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)方案也必定相當(dāng)復(fù)雜，不方便應(yīng)用于實(shí)際的場(chǎng)合。為了簡(jiǎn)化問題，我們考慮4個(gè)球一組（一紅三藍(lán)或者一藍(lán)三紅）星型放置，3次覆蓋一個(gè)正六邊形。要求球放置在正六邊形的中心，而且3個(gè)橢圓正好3次覆蓋正六邊形。解方程得到R＝9.61183m，需要的總球數(shù)為43個(gè)，其中藍(lán)球個(gè)數(shù)最少為18個(gè)。這樣，我們把工作的區(qū)域變?yōu)橐?guī)則的六邊形（圓的邊緣為六邊形的一部分），工作的數(shù)目大為減少，變?yōu)楹凸と艘粯佣?。而且能完成某一?xiàng)工作的工人也只能是一該工作區(qū)域?yàn)橹行牡囊唤M或者兩組。一組工人完成該項(xiàng)工作的時(shí)間也是一樣的（在圓的邊緣處會(huì)適當(dāng)減少）。那么我們的目標(biāo)簡(jiǎn)化為對(duì)工人組的分配次數(shù)最少。最后得到工人的分配（即紅籃球的圓錐軸的旋轉(zhuǎn)方案）也會(huì)相當(dāng)簡(jiǎn)單，某個(gè)工人的工作的最大區(qū)域?yàn)橐运约簽橹行牡?個(gè)六邊形。經(jīng)過計(jì)算機(jī)搜索，我們得出的最少分配次數(shù)為N＝6?？紤]一組工人完成某項(xiàng)工作所需要的時(shí)間：為了簡(jiǎn)化問題，我們把4個(gè)圓錐在高度為h的層上的形成的3次覆蓋的區(qū)域近似為一個(gè)圓，半徑為。把六邊形（邊長(zhǎng)為R）分割成平行的帶狀，每個(gè)帶的寬度為2r，我們依次掃描帶狀區(qū)域。為了計(jì)算方便，我們把六邊形的工作區(qū)域近似為一個(gè)同等面積的正方形，邊長(zhǎng)為，則帶狀相對(duì)與圓柱底面圓心的最大張角為掃描一個(gè)工作區(qū)的時(shí)間為。。隨著層高的降低，一組工人完成該項(xiàng)工作的時(shí)間越來越大。如下圖：當(dāng)高度h＝10m時(shí)，時(shí)間t=169.11s。當(dāng)高度h＝0.1m時(shí)，時(shí)間t=間為Nt。s。則掃描這個(gè)高度層需要的總時(shí)把4個(gè)圓錐在空間上相交形成的區(qū)域近似為一個(gè)半徑為r的球，那么每次只能掃描一個(gè)高度為2r的圓柱體。我們把整個(gè)圓柱體分為多個(gè)高度為2r的小圓柱。則掃描整個(gè)圓柱所需要的時(shí)間為其中，H＝10m，m，帶入上式中，可得總掃描時(shí)間T＝秒。黃球在圓柱體內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)路徑為，約為100.5m。則在圓柱體內(nèi)運(yùn)行的時(shí)間為98.5~670s內(nèi)。整個(gè)掃描時(shí)間比這個(gè)時(shí)間大2～3個(gè)數(shù)量級(jí)?？偟膾呙钑r(shí)間之所以這么大，主要是因?yàn)楫?dāng)h比較小的時(shí)候，4個(gè)圓錐形成的3次覆蓋的區(qū)域球的半徑特別小，導(dǎo)致在這個(gè)小圓柱體內(nèi)的掃描時(shí)間急劇增大。為了減少低層的掃描時(shí)間，我們可以調(diào)整紅籃球的配對(duì)原則，使得3次覆蓋的區(qū)域球的半徑變大。在低層，能覆蓋同一區(qū)域的紅籃球?qū)τ泻芏?，?yīng)該選擇那些圓錐軸線方向盡量?jī)A斜的紅藍(lán)球?qū)?，?/p>