高中數(shù)學高考一輪復習一輪復習 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法

課時作業(yè)(三十三)數(shù)列的概念與簡單表示法1．數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2且n∈N*時，an＝eq\f(n2,（n－1）2)，則a3＋a5＝()A．eq\f(25,9) B．eq\f(25,16)C．eq\f(31,15) D．eq\f(61,16)D[因為an＝eq\f(n2,（n－1）2)(n≥2)，所以a3＝eq\f(9,4)，a5＝eq\f(25,16)，所以a3＋a5＝eq\f(9,4)＋eq\f(25,16)＝eq\f(36,16)＋eq\f(25,16)＝eq\f(61,16).]2．(多選)已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項公式可能是()A．a(chǎn)n＝(－1)n－1＋1 B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數(shù)，,0，n為偶數(shù)))C．a(chǎn)n＝2sineq\f(nπ,2) D．a(chǎn)n＝cos(n－1)π＋1ABD[對n＝1，2，3，4進行驗證，an＝2sineq\f(nπ,2)不合題意．而ABD都符合題意．]3．若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，則a10＝()A．55 B．10C．9 D．1D[∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴令m＝1，n＝9，得S9＋S1＝S10，即S10－S9＝S1＝a1＝1，∴a10＝S10－S9＝1.故選D.]4．在數(shù)列{an}中，“|an＋1|>an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[“|an＋1|>an”?an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列?|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，∴“|an＋1|>an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選B.]5．(多選)(2023·江蘇海門中學高二期中)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n(n∈N*)，記數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n＋1)))的前n項和為Sn，則()A．a(chǎn)1＝2 B．a(chǎn)n＝eq\f(2,2n－1)C．Sn＝eq\f(n,2n＋1) D．Sn＝nan＋1ABD[由已知得：a1＝2，令Tn＝a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝2n，則當n≥2時，Tn－Tn－1＝(2n－1)an＝2，即an＝eq\f(2,2n－1)，而a1＝eq\f(2,2×1－1)＝2也成立，∴an＝eq\f(2,2n－1)，n∈N*，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n＋1)))通項公式為eq\f(2,（2n＋1）（2n－1）)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1)，∴Sn＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1)＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1)＝1－eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(2n,2n＋1)，即有Sn＝nan＋1，故選ABD.]6．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則a1＝________，{an}的通項公式為________．解析：數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1).所以(2n－1)an＝2，所以an＝eq\f(2,2n－1)，當n＝1時，a1＝2，上式也成立．所以an＝eq\f(2,2n－1).答案：2；an＝eq\f(2,2n－1)7．(開放型)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且?n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.請寫出一個滿足條件的數(shù)列{an}的通項公式an＝________．解析：?n∈N*，an＋1>an，則數(shù)列{an}是遞增的，?n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6項均為負數(shù)，或前5項為負數(shù)，第6項為0，即可，所以，滿足條件的數(shù)列{an}的一個通項公式an＝n－6(n∈N*)答案：n－6(n∈N*)(答案不唯一)8．根據(jù)如圖所示的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an________．解析：由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，歸納an＝5n－4.答案：5n－49．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝an＋an＋1，求數(shù)列{bn}的通項公式．解析：(1)當n＝1時，a1＝S1＝22－2＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.因為a1也適合此等式，所以an＝2n(n∈N*).(2)因為bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝4an＋3.(1)寫出該數(shù)列的前4項，并歸納出數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝4.解析：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因為a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以歸納得an＝4n－1.(2)證明：因為an＋1＝4an＋3，所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(4an＋3＋1,an＋1)＝eq\f(4（an＋1）,an＋1)＝4.11．已知數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，則eq\f(an,n)的最小值為()A．4eq\r(5) B．4eq\r(5)－1C．8 D．9C[由an＋1－an＝2n知：a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，……，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，當n＝1時，a1＝20符合上式，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(20,n)－1，n∈N*，所以n≤4時eq\f(an,n)單調(diào)遞減，n≥5時eq\f(an,n)單調(diào)遞增，因為eq\f(a4,4)＝eq\f(a5,5)，所以eq\f(an,n)的最小值為eq\f(a4,4)＝eq\f(a5,5)＝8，故選C.]12．(2023·北京市東城區(qū)高三一模)某數(shù)學大會會徽的主體圖案是由一連串直角三角形演化而成的(如圖)，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，記OA1，OA2，OA3，…，OA8的長度構(gòu)成的數(shù)列為{an}(n∈N*，n≤8)，則{an}的通項公式an＝________(n∈N*，n≤8).解析：根據(jù)題意：OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＋1(n≥2)且aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝1，所以{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝n，an＝eq\r(n).答案：eq\r(n)13．數(shù)列{an}滿足?n∈N*，a1·a2·a3·…·an＝n2＋n.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝an＋1－an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解析：(1)數(shù)列{an}滿足?n∈N*，a1·a2·a3·…·an＝n2＋n，當n＝1時，a1＝2，當n≥2時，由a1·a2·a3·…·an＝n2＋n，可得a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2＋n－1＝(n－1)n，則an＝eq\f(a1a2…an,a1a2…an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)，而a1＝2不符合an＝eq\f(n＋1,n－1)，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,\f(n＋1,n－1)，n≥2.))(2)由bn＝an＋1－an，得Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an＋1－an)＝an＋1－a1＝eq\f(n＋2,n)－2＝eq\f(2,n)－1.14．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．解析：(1)依題意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n.由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，因此，所求通項公式為bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n－2)＋a－3))，所以，當n≥2時，an＋1≥an?12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－2)＋a－3≥0?a≥－9，又a2＝a1＋3>a1，a≠3.所以，所求a的取值范圍是[－9，3)∪(3，＋∞).15．(多選)(2023·山東菏澤期末)意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)6＝8B．S7＝33C．a(chǎn)1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2020D．eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019)),a2019)＝a2020ABCD[根據(jù)題意可知，數(shù)列{an}的第六項a6＝3＋5＝8，所以A正確；數(shù)列{an}的第七項a7＝5＋8＝13，所以S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，所以B正確；由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2019＝a2020－a2018可得，a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝a2020，所以C正確；對于數(shù)列{an}，總有an＋2＝an＋1＋an，所以aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝a1a2，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2，…，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2018))＝a2018(a2019－a2017)＝a2018a2019－a2018a2017，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019))＝a2019(a2020－a2018)＝a2019a2020－a2019a2018，所以eq\f(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋…＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2019)),a2019)＝eq\f(a2019a2020,a2019)＝a2020，所以D正確，故選ABCD.]16．(創(chuàng)新型)若數(shù)列{an}滿足a2－eq\f(1,2)a1<a3－eq\f(1,2)a2<…<an－eq\f(1,2)an－1<…，則稱數(shù)列{an}為“差半遞增”數(shù)列，若數(shù)列{an}為“差半遞增”數(shù)列，且其通項an與前n項和Sn滿足Sn＝2an＋2t－1(n∈N*)，則實數(shù)t的取值范圍是________．解析：由題意知，Sn＝2an＋2t－1①，當n＝1時a1＝2a1＋2t－1得a1＝1－2t；當n≥2時，Sn－1＝2an