湖南省株洲市天元學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省株洲市天元學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)F1、F2是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是其右支上一點(diǎn)，連接AF1交雙曲線的左支于點(diǎn)B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，則該雙曲線的離心率為(

) A． B． C．2﹣1 D．參考答案：D考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；解三角形；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由題意可得△BAF2為等邊三角形，設(shè)AF2=t，則AB=BF2=t，再由雙曲線的定義，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式即可計(jì)算得到．解答： 解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，則△BAF2為等邊三角形，設(shè)AF2=t，則AB=BF2=t，由雙曲線的定義可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理可得，F(xiàn)1F22=AF12+AF22﹣2AF1?AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即為4c2=28a2，則有e==．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，考查雙曲線的定義的運(yùn)用，考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．2.已知函數(shù)（其中）的圖象如下面右圖所示，則函數(shù)的圖象是參考答案：A略3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，則△ABC的面積（）A．3 B． C． D．3參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】根據(jù)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，則三角形的面積S=absinC==，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的面積的計(jì)算，根據(jù)余弦定理求出ab=6是解決本題的關(guān)鍵．4.設(shè)（5x﹣）n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M﹣N=240，則n的值為（）A．4 B．6C．8 D．10參考答案：A

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．J3解析：各項(xiàng)系數(shù)之和為M=4n，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N=2n，M﹣N=240=4n﹣2n，解得n=4．故選：A．【思路點(diǎn)撥】由于各項(xiàng)系數(shù)之和為M=4n，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N=2n，M﹣N=240=4n﹣2n，解方程求得n的值．5.若不等式組表示的區(qū)域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的區(qū)域?yàn)棣?，向Ω區(qū)域均勻隨機(jī)撒360顆芝麻，則落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為（）A．114 B．10 C．150 D．50參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出兩平面區(qū)域，計(jì)算兩區(qū)域的公共面積，得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率．【解答】解：作出平面區(qū)域Ω如圖：則區(qū)域Ω的面積為S△ABC==．區(qū)域Γ表示以D（）為圓心，以為半徑的圓，則區(qū)域Ω和Γ的公共面積為S′=+=．∴芝麻落入?yún)^(qū)域Γ的概率為=．∴落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為360×=30π+20≈114．故選A．6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=cot585°，a6=11a1，設(shè)Sn為數(shù)列{（﹣1）nan}的前n項(xiàng)和，則S2017=（）A．3022 B．﹣3022 C．2017 D．﹣2017參考答案：D【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an，計(jì)算a2n﹣a2n+1，利用分組求和即可得出．【解答】解：a1=cot585°=cot45°=1，∵a6=11a1，∴1+5d=11，解得d=2．∴an=1=2（n﹣1）=2n﹣1．∴a2n﹣a2n+1=4n﹣1﹣（4n+1）=﹣2．則S2017=﹣a1+（a2﹣a3）+…+（a2016﹣a2017）=﹣2017．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)、分組求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7.若cos（﹣α）=，則sin2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：D【分析】法1°：利用誘導(dǎo)公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式將左邊展開，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式化與二倍角的余弦是關(guān)鍵，屬于中檔題．8.已知M={x|0＜x＜2}，N={x|y=lg（x﹣1）}，則M∩N=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞0} D．{x|x≥1}參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】先分別求出集合M和N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵M(jìn)={x|0＜x＜2}，N={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴M∩N={x|1＜x＜2}．故選：B．9.高三學(xué)生在新的學(xué)期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高，上下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高，當(dāng)教室在第n層樓時(shí)，上下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨教室所在樓層升高，環(huán)境不滿意度降低，設(shè)教室在第n層樓時(shí)，環(huán)境不滿意度為，則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室應(yīng)在（）A．2樓 B．3樓 C．4樓 D．8樓參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】同學(xué)們總的不滿意度y=n+，由此利用基本不等式能求出同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室應(yīng)在3樓．【解答】解：由題意知同學(xué)們總的不滿意度y=n+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=，即2≈3時(shí)，不滿意度最小，∴同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室應(yīng)在3樓．故選：B．10.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

()A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系內(nèi)，已知曲線C1的方程

為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)檎?/p>

半軸方向，利用相同單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C2的參數(shù)

方程為(為參數(shù))．設(shè)點(diǎn)P為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C1的兩條切線，則這兩條切線所成角余弦的最小值是_______．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程

N3解析：曲線的一般方程為：即，圓心為半徑為1，曲線的一般方程為：點(diǎn)到直線的距離是：則這兩條切線所成角余弦的最小值是【思路點(diǎn)撥】根據(jù)參數(shù)方程可求出一般方程，再根據(jù)直線與圓的關(guān)系可求出結(jié)果.12.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是____________;參考答案：;13.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱，且對(duì)任意實(shí)數(shù)時(shí),恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_________.參考答案：514.圖中的程序框圖所描述的算法稱為歐幾里得展轉(zhuǎn)相除法．若輸入m=209,n=121,?則輸出m=_________．參考答案：1115.已知曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______參考答案：316.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足：a1a7=4，則數(shù)列{log2an}的前7項(xiàng)之和為．參考答案：7【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴數(shù)列{log2an}的前7項(xiàng)和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案為：7．17.已知四棱錐P-ABCD的外接球?yàn)榍騉，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且，，則球O的表面積為

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=e2x+aex，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)x∈R，f（x）≥a2x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）當(dāng)a=﹣4時(shí)，f′（x）=2ex（ex﹣2），令f′（x）=0，解得x=ln2．分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）對(duì)x∈R，f（x）≥a2x恒成立?e2x+aex﹣a2x≥0，令g（x）=e2x+aex﹣a2x，則f（x）≥a2x恒成立?g（x）min≥0．g′（x）=2e2x+aex﹣a2=2[ex﹣（﹣a）]，對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．【解答】解：（I）當(dāng)a=﹣4時(shí)，函數(shù)f（x）=e2x﹣4ex，f′（x）=2e2x﹣4ex=2ex（ex﹣2），令f′（x）=0，解得x=ln2．當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（﹣∞，ln2）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[ln2，+∞）時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，ln2）．（Ⅱ）對(duì)x∈R，f（x）≥a2x恒成立?e2x+aex﹣a2x≥0，令g（x）=e2x+aex﹣a2x，則f（x）≥a2x恒成立?g（x）min≥0．g′（x）=2e2x+aex﹣a2=2[ex﹣（﹣a）]，①a=0時(shí)，g′（x）=2e2x＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，g（x）=e2x＞0恒成立，滿足條件．②a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=ln，則x＞ln時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增；x＜ln時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=ln時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，則g（ln）=a2（1﹣ln）≥0，解得0＜a≤2e．③a＜0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=ln（﹣a），則x＞ln（﹣a）時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增；x＜ln（﹣a）時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=ln（﹣a）時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，則g（ln（﹣a））=﹣a2ln（﹣a）≥0，解得﹣1≤a＜0．綜上可得：a的求值范圍是[﹣1，2e]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19.

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，是和1的等差中項(xiàng)，

（1）當(dāng)首項(xiàng)a1為多少時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

（2）設(shè)，求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和.參考答案：20.已知橢圓過點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.（1）求的方程；（2）若（點(diǎn)不與橢圓頂點(diǎn)重合）為上的三個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求所在直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.參考答案：（1）由已知得，∴，則的方程為；（2）設(shè)代入得，設(shè)，則，，設(shè)，由，得，∵點(diǎn)在橢圓上，∴，即，∴，在中，令，則，令，則.∴三角形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)，∴所求三角形面積的最小值為.21.如圖,是正方形，平面，，.(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求證：平面；(Ⅲ)求四面體的體積.參考答案：(Ⅰ)證明：因?yàn)槠矫妫?/p>

所以.

…1分

因?yàn)槭钦叫危裕?/p>

…2分

因?yàn)?/p>

…3分所以平面.

…4分(Ⅱ)證明：設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，所以，.

…5分因?yàn)?，，所以?/p>

…6分從而四邊形是平行四邊形，.

………………7分因?yàn)槠矫?平面,

…8分所以平面，即平面.

……9分（Ⅲ）解：因?yàn)槠矫嫠?/p>

因?yàn)檎叫沃校?所以平面.

…11分因?yàn)?，所以的面積為，

所以四面體的體積.

……………14分略22.（12分）把圓周分成四等份，是其中一個(gè)分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在四個(gè)分點(diǎn)上按逆時(shí)針方向前進(jìn)?，F(xiàn)在投擲