《多元統(tǒng)計(jì)分析》目錄

PAGEPAGE166《多元統(tǒng)計(jì)分析》目錄前言第一章基本知識(shí)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5§1·1總體，個(gè)體與樣本﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5§1·2樣本數(shù)字特征與統(tǒng)計(jì)量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6§1·3一些統(tǒng)計(jì)量的分布﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9第二章統(tǒng)計(jì)推斷﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍15§2·1參數(shù)估計(jì)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍15§2·2假設(shè)檢驗(yàn)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍19第三章方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍32§3·1一個(gè)因素的方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍32§3·2二個(gè)因素的方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍37§3·3用方差分析進(jìn)行地層對(duì)比﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍44第四章回歸分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49§4·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49§4·2回歸方程的確定﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49§4·3相關(guān)系數(shù)及其顯著性檢驗(yàn)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍52§4·4回歸直線的精度﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍55§4·5多元回歸分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍56§4·6應(yīng)用實(shí)例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍60第五章逐步回歸分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍65§5·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍65§5·2“引入”和“剔除”變量的標(biāo)準(zhǔn)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍66§5·3矩陣變換法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍67§5·4回歸系數(shù)，復(fù)相關(guān)系數(shù)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍69§5·5逐步回歸計(jì)算方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍70§5·6實(shí)例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍74第六章趨勢(shì)面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍80§6·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍80§6·2圖解漢趨勢(shì)面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍81§6·3計(jì)算法趨勢(shì)面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍83第七章判別分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90§7·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90§7·2判別變量的選擇﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍91§7·3判別函數(shù)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍92§7·4判別方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍96§7·5多類判別分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍104第八章逐步判別分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110§8·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110§8·2變量的判別能力與“引入”變量的統(tǒng)計(jì)量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110§8·3矩陣變換與“剔除”變量的統(tǒng)計(jì)量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍113§8·4計(jì)算步聚與實(shí)例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍115第九章聚類分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125§9·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125§9·2數(shù)據(jù)的規(guī)格化（標(biāo)準(zhǔn)化）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125§9·3相似性統(tǒng)計(jì)量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍126§9·4聚類分析方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍131§9·5實(shí)例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍134§9·6最優(yōu)分割法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍134第十章因子分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍142§10·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍142§10·2因子的幾何意義﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍143§10·3因子模型﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍145§10·4初始因子載荷矩陣的求法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍147§10·5方差極大旋圍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍152§10·6計(jì)算步聚﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍156§10·7實(shí)例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍157附錄﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍162附錄1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍162附錄2正態(tài)分布臨界值ua表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍164附錄3t分布臨界值ta表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍165附錄4（a）F分布臨界值Fa表（a=0·1）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附錄4（b）F分布臨界值Fa表(a=0·05)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附表4（c）F分布臨界值Fa表（a=0·01）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附表5x2分布臨界值xa2表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍第一章基本知識(shí)§1·1總體、個(gè)體與樣本總體（母體）、個(gè)體一（樣本點(diǎn)）和樣本（子樣）是統(tǒng)計(jì)分析中常用的名詞。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常把研究的全部元素的集合稱為總體。組成總體的每個(gè)元素稱為個(gè)體。而把從總體中取出的一部分個(gè)體的集合叫做樣本。例如研究某花崗巖體中鉀的含量（通常研究某一指標(biāo)，即某一變量），若從該巖體中合理選取n個(gè)樣品（n=3000），分析其中鉀的鉀的含量為K（i=1，2，…，n），則（1）k1,K2,…或Kn等稱為個(gè)體；（2）n個(gè)元素（個(gè)體）組成的集合（K1,K2,…，K）稱為樣本（子樣）；（3）樣本中包含的個(gè)體數(shù)目（n）稱為樣本的容量。一般樣本容量n≥30稱為大樣本，n＜30稱為小樣本；（4）所有可能的個(gè)體的集合稱為總體，通常地質(zhì)體皆可無限取樣，這時(shí)總體包含無限多個(gè)體。這樣的總體稱為無限總體。若每個(gè)樣品。同時(shí)又分析了另一個(gè)指標(biāo)（變量），則可獲得相應(yīng)于別一個(gè)變量的個(gè)體。子樣和總體。若同時(shí)分析多個(gè)指標(biāo)，則得多個(gè)子樣，代表多個(gè)變變量的總體，這種總體稱為多元總體?？傮w是樣本的全體，樣本是總體的一部分?？傮w通常是未知的。樣本是已知的。為了對(duì)總體的分布進(jìn)行研究，就必須對(duì)總體進(jìn)行隨機(jī)抽樣觀測(cè)。由于樣本是隨機(jī)抽取的，它取一組什么值事先是無法知道的，因此樣本可以看作是一個(gè)隨機(jī)向量X=（x1,x2,…,xn），而樣本的每個(gè)分量xi可以看作是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng)然對(duì)某次抽樣來說。樣本就有一組確定的觀測(cè)值。通常根據(jù)樣本以總體進(jìn)行分析研究時(shí)，要求樣本能很好反映總體的特點(diǎn)。為此在抽樣時(shí)必須注意如下二點(diǎn)：(1)代表性。要求使總體的每一個(gè)個(gè)體都有相同的抽取機(jī)會(huì)。使樣本的每一個(gè)分量xi和總體XX具有相同的分布；(2)獨(dú)立性，要求每個(gè)觀測(cè)結(jié)果既不影響其它觀察結(jié)果。也不受其它觀察結(jié)果的影響，也就是說抽樣是獨(dú)立的隨機(jī)抽樣。滿足上述二點(diǎn)的子樣（樣本）通常稱為簡(jiǎn)單子樣。在研究地質(zhì)問題時(shí)。為了滿足土述要求，必須根據(jù)研究對(duì)象，按照具體地質(zhì)條件合理布置取樣點(diǎn)?！?·2樣本數(shù)字特征與統(tǒng)計(jì)量樣本的數(shù)字特征是反映樣本分布的主要特性的參數(shù)。利用樣本的數(shù)字特征可以估計(jì)總體的數(shù)字特征。常用的數(shù)字特征（特征數(shù)）有二類。一類是反映數(shù)據(jù)分布的集中位置，從而可以代表數(shù)據(jù)整體的特征數(shù)（表征數(shù)），稱為整個(gè)代表性特征數(shù)（又叫集中性參數(shù)）；另一類是反映數(shù)據(jù)分布離散程度的參數(shù)，稱為離散性特征數(shù)。1·整體代表性特征數(shù)常用的整體特征數(shù)有：(1)樣本算術(shù)平均數(shù)設(shè)是取自某一總體的容量為n的樣本，則樣本的算術(shù)平均數(shù)為：……（1）當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，常常將數(shù)據(jù)分組（設(shè)分為m組），統(tǒng)計(jì)各組的頻數(shù)為并用組中值Cj（組中值即為組的上限與下限的平均數(shù)）代替這組所有的觀測(cè)值。進(jìn)行近似計(jì)算。這時(shí)平均數(shù)計(jì)算方式：=………………（2）用上式求平均數(shù)的方法叫做加權(quán)平均法，求得的平均數(shù)叫加權(quán)平均數(shù)。上式中的權(quán)即為各組出現(xiàn)的頻數(shù)。（2）樣本幾何平均數(shù)樣本幾何平均數(shù)為……（3）計(jì)算時(shí)，一般是把等式兩邊取對(duì)數(shù)即得………………（4）于是，只要先算出原始數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)值的平均數(shù)。然后再查反對(duì)數(shù)。即可求出幾何平均數(shù)。由于地質(zhì)體中某些微量元素的含量，有時(shí)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，在求其背景值時(shí)就會(huì)用到幾何平均數(shù)。除了平均數(shù)（樣本均值）和幾何平均數(shù)以外。尚有樣本中位數(shù)和樣本眾數(shù)，也屬整體代表性特征數(shù)。所謂樣本中位數(shù)就是將樣本觀測(cè)值按大小順序排列起來，居中的一個(gè)數(shù)值就是樣本中位數(shù)。例如樣本（1，2，2，3，5，7，8）的中位數(shù)是3。如果樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則十位數(shù)可取中部一個(gè)數(shù)的平均值。所謂樣本眾數(shù)就是最容易出現(xiàn)的數(shù)值。也就是說把樣本規(guī)測(cè)按大小順序排列起來。若某個(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)比與它相鄰的數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都大。則這個(gè)數(shù)就是樣本的眾數(shù)。通常中位數(shù)和眾數(shù)得不多。2·離散性特征數(shù)(1)均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）均方差S是最常用的離散性特征數(shù)。均方差的平方叫方差。用S2表示。設(shè)樣本觀測(cè)值。其平均數(shù)（均值）為。若都分布在附近則離散程度較小，否則離散程度大。每個(gè)觀測(cè)值與之差，稱為離差（偏差）。離差有正有負(fù)，其平均數(shù)接近零（時(shí)，偏差平均趨于零），因此無法用以表示離散程度的大小。而離差平方的平均數(shù)能很好地反映出觀測(cè)數(shù)據(jù)的離散程度的大小。離差平方的平均數(shù)叫方差，即………………（5）均方差的計(jì)算公式為……（6）均方差又可寫為…………（7）對(duì)分成m組的數(shù)據(jù)來說，設(shè)組中值為Cj，各組的頻數(shù)為fj，則計(jì)算公式為…………（8）(2)極差極差就是樣本觀測(cè)值中最大值減去最小值的差，用R表示。設(shè)觀測(cè)值中最大值為，最小值為則。極差計(jì)算簡(jiǎn)便。但由于只依賴于二個(gè)極端值。沒有充分利用數(shù)據(jù)所提供的許多重要信息。因而反映實(shí)際情況的精確度較差。3·樣本矩樣本的某些數(shù)字特征例如平均數(shù)和均方差等?？捎脴颖揪剡@一術(shù)語來表示。設(shè)為取自某一總體的一個(gè)容量。為n的隨機(jī)樣本。則定義為樣本對(duì)于A的K階矩（其中A為常數(shù)）。（1）原點(diǎn)矩當(dāng)A=0時(shí)，稱為樣本的原點(diǎn)矩，用aK表示。則第K階樣本原點(diǎn)矩為K=1，2……（9）可見K=1時(shí)，有(2)中心矩當(dāng)A=時(shí)，稱為樣本的中心矩，用uk表示。則第k階樣本中心矩為k=1，2，……（10）可見k=2時(shí)，有(3)樣本的偏度和峰度三階中心矩可以反映分布的偏斜程度，四階中心矩可以反映分布的陡峭程度。因此樣本的偏度g1和峰度g2可以定義為…………（11）如g1=0則分布對(duì)稱，g1＞0則分布為正偏的，g1＜0分布為負(fù)偏的。g2＜=0分布與正態(tài)分布陡峭程度一樣，g2＞0則分布比正態(tài)分布更陡峭。g2＜=0m則分布沒有正態(tài)分布那么陡峭。4·統(tǒng)計(jì)量以上所述。樣本的數(shù)字特征是根據(jù)樣本導(dǎo)出的量。這些量通稱為統(tǒng)計(jì)量?？梢娨粋€(gè)子樣可以導(dǎo)出許多統(tǒng)計(jì)量。一般地說凡是子樣（樣本）的函數(shù)（不含任何未知參數(shù)）均為統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)研究問題的不同，可以利用子樣構(gòu)造出某種統(tǒng)計(jì)量。以便進(jìn)行推斷。由于予樣可以看作是一個(gè)隨機(jī)向量（或n繼隨機(jī)變量），所以統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。例如樣本的平均數(shù)和均方差等都是隨機(jī)變量。§1·3一些統(tǒng)計(jì)量的分布在敘述統(tǒng)計(jì)量分布之前，先介紹幾種常用的分布，這些分布在概率論中已有論述，這里以表格形式將這些分布的一些主要結(jié)果列出來以備查用。1·樣本（子樣）線性函數(shù)的分布從正態(tài)總體N（u9σ2）中抽取一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)單子樣（）。(1)設(shè)子樣的線性函數(shù)（統(tǒng)計(jì)量）為……（12）式中ai為已知常數(shù)。由于xi相互獨(dú)立。且有相同的分布N（u9σ2）。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，y服從正態(tài)分布。N（uy。σy2）,其均值（數(shù)學(xué)期望）E（y）和方差D（y）分別為…………（13）當(dāng)名稱密度函數(shù)K階原點(diǎn)矩K階中心矩附注正態(tài)分布N(μ，σ2)N（0，1）各階矩存在a1=μμ2＝σ2μ2k＋1=0μ2k=加法定理成立，設(shè)ξi獨(dú)立分別有N(μi,σi2),則ξ有分布N(,)若ξi獨(dú)立，有同分布N(μi,σ2)則有分布N(μ,)x2分布（自由度為n的x2分布簡(jiǎn)記為x2(n)）當(dāng)x>00當(dāng)x<0ak=n(n+2)……（n+2k-2）特別有＝n2n設(shè)ξi獨(dú)立且有相同分布N(0，1)則有分布x2（n）加法定理成立，設(shè)ξ1，ξ2分別有x2（n1）,x2(n2)則ξ＝ξ1＋ξ2有分布X2（n1+n2）表1.1幾種常用的分布

t分布（自由度為n的t分布簡(jiǎn)記為t(n)）k(<n)階矩有限a1＝0（1<n）(2k<n)設(shè)ξ1,ξ2獨(dú)立,分別有N(0,1)及x2（n）,則有分布t(n)F分布（自由度為m,n的F分布簡(jiǎn)記為F(m,n)）,當(dāng)x>00,當(dāng)x<=0對(duì)m<2k<n存在（n>4）設(shè)ξ1,ξ2獨(dú)立,分別有x2（m）及x2（n）,則有分布F(m,n)可見那時(shí)子樣均值服從正態(tài)分布N（），其均值E（）和方差D（）分別為…………（14）所以子樣平均數(shù)（均值）和隨機(jī)觀測(cè)值x有相同的均值，但方差小n倍，故的分布更為集中。（3）設(shè)子樣線性方程組為…………（15）其中A為系數(shù)方法。則y1，…，yn也是正態(tài)隨機(jī)變量，其均E（yi）,方差D（y1），協(xié)方差COV（yi,yj）分別為…………（16）i,j=1,2,…,p當(dāng)p=n,A為正交方陣時(shí)，則有……（17）那時(shí)若xi（i=1，2，…，n）服從N（0，1）分布，則依據(jù)上式可得COV（yi，yj）=0……（18）E（yi）=0,D(yi)=1……（19）因?yàn)樾伦兞浚▂i）的協(xié)方差為零。即兩兩互不相關(guān)。由于新變量也都服從正態(tài)分布。故y19y29…yn相互獨(dú)立（正態(tài)變量?jī)蓛苫ゲ幌嚓P(guān)。亦即相互獨(dú)立）。以上討論可以得出結(jié)論。相互獨(dú)立的服從N（0，1）分布的簡(jiǎn)單子樣xi（i=1，2，…，n）通過正交變換后，得到的也是相互獨(dú)立的服從N（0，1）分布的新變量yi（i=1，2，…，n）。2·幾個(gè)有關(guān)子樣方差與均值的統(tǒng)計(jì)量的分布（1）設(shè)x19x29…xn是從正態(tài)總體N（μ9σ2）中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單子樣。其均值與方差為，…………（20）則統(tǒng)計(jì)量和S2相互獨(dú)立，且有ns2/σ2服從自由度為n-1的x2分布。服從自由度為n-1的t分布，即有a，ns2/σ2～x2（n-1）…………（21）b，…………（22）因?yàn)閷?duì)子樣作正交變換并令正并方陣A中的第一行為a1i=1/(滿足正交條件a·y1=…………（23）b·（正交變換持長度不變）則故…………（24）c·…………（25）因此由于相互獨(dú)立，則y1與nS2獨(dú)立。又因因?yàn)榉腘(0，1)分布，故服從自由度為n-1的x2分布。因?yàn)榉姆植糔（0，1），nS2/σ2服從分布x2（n-1）且相互獨(dú)立，故……（26）服從t分布。（2）設(shè)x1，y2，…，xm是從正態(tài)總體N（u1,σ12）中抽取的一個(gè)子樣，y1，y2,…，yn是從另一個(gè)正態(tài)總體N（u2，σ22）中抽取的一個(gè)子樣。并假定x1，x2，…，xm和y1，y2，…，yn相互獨(dú)立，則a·…………（27）b·當(dāng)時(shí)，有其中：……（29）因?yàn)镕=當(dāng)二個(gè)正態(tài)總體分布的方差相同是，即因?yàn)楫?dāng)另外由分布加法定理知，統(tǒng)計(jì)量則統(tǒng)計(jì)量服從自由度為m+n-的t分布。若（32）或式中以上幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布，在統(tǒng)計(jì)分析中常會(huì)用到。今后根據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷的需要。還將陸續(xù)引進(jìn)一些其它的統(tǒng)計(jì)量。第二章統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷就是根據(jù)子樣的數(shù)據(jù)來推斷母體的種種統(tǒng)計(jì)特性。它大體可以分為參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)二個(gè)方面?！?·1參數(shù)估計(jì)在地地工作中，常常需要根據(jù)一批礦樣的平均品位來估計(jì)整個(gè)礦體的平均品位；或根據(jù)每一巖體上測(cè)得的放射性強(qiáng)度（或其它物理性質(zhì)）的平均數(shù)，來估計(jì)該巖體的放射性底數(shù)（背景值）等等，這些就是參數(shù)估計(jì)問題。參數(shù)估計(jì)又可分為點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。1·點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)就是選擇一個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為母體未知參數(shù)的估計(jì)。這個(gè)統(tǒng)計(jì)量（是子樣的函數(shù)）稱為的估計(jì)量。當(dāng)x1，x2，…，xn是子樣的一組確定的觀測(cè)值時(shí)，就是一個(gè)具體數(shù)值（或一個(gè)點(diǎn)），所以也叫的點(diǎn)估計(jì)。常用的求估計(jì)量的方法有矩法和最大似然法。（1）矩法矩法就是用子樣矩（樣本矩）代替母體矩（總本矩），從而求出估計(jì)量的方法。例如，正態(tài)母體一階矩為二階矩為;若用一階和二階子樣矩來估計(jì)，則有：}…………（1）解上式可得因此母體均值和差2的估計(jì)量分別是子樣均值和子樣方差S2因?yàn)椤?）……（3）==…………（4）由此可見。作為的估計(jì)時(shí)，它在值周圍波動(dòng)，其均值恰好是真值。這一性質(zhì)稱為無偏性。無偏性就是要求的估計(jì)值的均值正好等于，即E。這種估計(jì)稱為無偏估計(jì)。因此是的無偏估計(jì)量，而不是的無偏估計(jì)量。由于…………（5）故的無偏估計(jì)因此……（6）具總體方差2和均方差的無偏估計(jì)量。（2）最大似然法設(shè)總體X有分布函數(shù)F（X;…,是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是容量為n的子樣。采用大似然定未知參數(shù)時(shí)，首先確定似然函數(shù)。a·若總體為離散型分布設(shè)Pi()…………（7）b·若總體為連續(xù)型分布設(shè)X的密度函數(shù)是f（X;θ1,…，），則似然函數(shù)為L…………（8）顯然，當(dāng)X1,X2,…固定時(shí)，L是θ1，θ2,…的函數(shù)，它表示樣本值X1，X2,…，的可能性大小。最大似然法就是使樣本值X1，X2，…，出現(xiàn)的可能性為最大的參數(shù)值。來作為未知參數(shù)的估計(jì)值。因此求估計(jì)值的問題。就是求似然函數(shù)的最大值問題。它可以通過解下述方程組求得…………（9）由于L最大時(shí)，也最大，故可將上述方程組換成如下比較容易解的方程組來求解（i=1，2，…，K）……（10）由上式求出的即為θ1，θ2,…θ的最大似然估計(jì)值。例如，設(shè)正態(tài)母體，其未知參數(shù)為和，用最大似然法求估計(jì)量是，因其似然函數(shù)為=則故解上述聯(lián)立方程組，得所以大似然估計(jì)。乙區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)總不免有偏差，在許多實(shí)際問題中常常采用一個(gè)區(qū)間而不用一個(gè)定值來估計(jì)母體的參數(shù)。并指出母體參數(shù)落在此區(qū)間的概率大小。這種估計(jì)方法叫區(qū)間估計(jì)，這種區(qū)間叫置信區(qū)間。設(shè)總體未知數(shù)為θ，通過子樣找出二個(gè)量1（X19…,Xn）和包含θ的概率為給定值1—。即……（11）區(qū)間即為置信區(qū)間，（1—）叫區(qū)間的置信概率，叫信度（或顯著性水平）。（1）當(dāng)正態(tài)總體的2已知時(shí)，的區(qū)間估計(jì)因?yàn)榉﨨（，2/n）分布。故標(biāo)準(zhǔn)化變量服從N（0，1）分布，則從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得即…（12）即即若求具有置信概率為1-=0·95的置信區(qū)間。可取則這就是所要求的置信區(qū)間。必須指出。若母體不服從正態(tài)分布，但當(dāng)子樣容量很大時(shí)，即n＞30（稱為大樣本）。則子樣均值就近似服從N（,2/n）分布。故仍可用上述方法進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。（2）當(dāng)正態(tài)母體的2來知時(shí)。的區(qū)間估計(jì)這時(shí)可用統(tǒng)計(jì)量因?yàn)閠服從t（n-1）分布。則從t分布表可查得即P==1—………………（13）令則即得的置信區(qū)間。（3）正態(tài)總體2的氏間估計(jì)這時(shí)利用統(tǒng)計(jì)量，因它服從分布，故從分布表中可以找出可這樣選取λ1和λ2的值。使由上式可知……（14）令即得2的區(qū)間估計(jì)。（4）總體均值差的區(qū)間估計(jì)若有兩個(gè)總體，分別服從N（1，2）和N（2，2）分布，從中分別抽取子樣X1，X2，…，和Y1，Y2，…，Y。求1—2的置信區(qū)間（直置信概率為1—）。因?yàn)檫@時(shí)統(tǒng)計(jì)量故由t分布表可查出即u1-u2＜=1-ɑ…………（15）§2·2假設(shè)檢驗(yàn)地質(zhì)工作中常會(huì)遇到各種需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的問題。例如兩相鄰地段巖體中某些主要元素的平均含量有無顯著區(qū)別？是否從正態(tài)分布（或?qū)?shù)正態(tài)分布）？等等。這些問題都要用到統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。1·基本原理概要地說，統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)就是先將需要推斷的問題（總體），作出一種假設(shè)，然后利用一個(gè)實(shí)測(cè)子樣數(shù)據(jù)算出某個(gè)已知分布的統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)統(tǒng)主量出現(xiàn)的概率來檢驗(yàn)假設(shè)是否合理。檢驗(yàn)的依據(jù)是“小概率實(shí)際不可能性”原理。如果在一次實(shí)際取樣中就竟然出現(xiàn)小概率事件。則認(rèn)為假設(shè)不合理，從而否定假設(shè)。若發(fā)生的是大概率事件。則認(rèn)為是合理的。人而肯定假設(shè)。所以推斷時(shí)的步驟為（a）先作出假設(shè)H，即寫明所要檢驗(yàn)的假設(shè)的具體內(nèi)容；（b）在H條件下，選擇一個(gè)合適的已知分布的統(tǒng)計(jì)量；（c）根據(jù)子樣算出統(tǒng)計(jì)量的值；（d）確定顯著性水平。即確定作為小概率事件的臨界概率（概率上限）值a，通常根據(jù)問題的要求可取a=0·10，0·05，0·01等；（e）接受或拒絕假設(shè)。根據(jù)給定的a值確定否定哉A（P（A）=a），如果統(tǒng)計(jì)量值落在否定域中，則否定假設(shè)。通?？梢愿鶕?jù)a值選確定統(tǒng)計(jì)量的臨界值（相應(yīng)于臨界概率）。并把統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界的區(qū)域稱為否定域。小于臨界值的區(qū)域稱為肯定域。當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的值落在否定域中時(shí)，則否定（拒絕）假設(shè)。必須指出，統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)推斷，是在一定概率基礎(chǔ)上作出的判斷，不可能總是正確的，它可能發(fā)生的錯(cuò)誤有兩類。第一類錯(cuò)誤是，原假設(shè)本來為真（是肯定的），但取樣檢驗(yàn)后卻否定了這個(gè)假設(shè)。當(dāng)然這一錯(cuò)誤判斷的概率等于a。一般統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)都希望能否完原假設(shè)，因?yàn)檫@樣犯錯(cuò)誤的概率可以預(yù)先控制。第二類錯(cuò)誤就是原先假設(shè)不真。而取樣檢驗(yàn)的結(jié)果卻肯定了原假設(shè)，從而作出了錯(cuò)誤的判斷。在子樣容量n一定時(shí)，第一類錯(cuò)誤減小，第二類錯(cuò)誤碼就會(huì)增加。所以選擇a時(shí)要考慮兩類錯(cuò)誤的危害性大小。如第一類錯(cuò)誤危害性大則a可選擇小些。如果要同時(shí)減小這兩類錯(cuò)誤。則只有增加子樣的容量（大?。＝y(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)內(nèi)容較多，現(xiàn)將一些常用方法介紹如下。2·u檢驗(yàn)法若總體xx服從N（u,σ02）分布，其中總體標(biāo)準(zhǔn)差σ0為已知，今欲檢驗(yàn)假設(shè)H：u=u。。設(shè)從總體中抽取子樣x1，x2,…xn。若H為真，即u=u。，則子樣均值服從N（u0，oO2/n）分布，將變量標(biāo)準(zhǔn)化得統(tǒng)計(jì)量?！?6）由于統(tǒng)計(jì)量u服從N（0，1）分布，在給定顯著性水平a上，查正態(tài)分布表可得μ，使P{│u│＞ua}=a，如圖2—1所示.則│u│＞ua為否定域。若根據(jù)子樣算出的u絕對(duì)值大于此臨界值即│u│＞ua，則在顯著水平a下，統(tǒng)計(jì)量u值落在否定域中，故否定假設(shè)H．反之若u＜ua，則肯定假設(shè)圖2—1N（0，1）分布的H．這種根據(jù)統(tǒng)計(jì)量u密度函數(shù)圖（服從正態(tài)分布）來檢驗(yàn)假設(shè)的方法叫做u檢驗(yàn)法。顯著若取a=0·05，則ua=1·96。故當(dāng)根據(jù)具體子樣算出u值后，若│u│＞1·96，則在顯著性水平a下否定假設(shè)。在方差已知的條件下，u檢驗(yàn)法也可用以檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等。設(shè)兩個(gè)總體X和Y分切服從N（u1，o12）和N（u2，o22）分布。若σ1=σ2=σ0為已知，今欲檢驗(yàn)假設(shè)H：u1=u2。從兩個(gè)總體中分別抽取子樣x1，x2，…xn和y1，y2，…ym求得相應(yīng)的平均值為。若H為真，即u1=u2=u0，則……（17）由于通常方差比較穩(wěn)定。故假設(shè)則…………（18）將標(biāo)準(zhǔn)化。得統(tǒng)計(jì)量……（19）因此若取顯著性水平a=0·05，則可以從正態(tài)分布表查得統(tǒng)計(jì)量的臨界值為ua=1·96。若│u│＞ua，則否定假設(shè)H，反之若│u│＜ua則肯定假設(shè)H。必須指出。當(dāng)未知時(shí)，若子樣容量n和m都很大，則總體方差可用子樣方差的加權(quán)平均值來代替，則有故…………（20）例如在某個(gè)黑云母花崗巖地段進(jìn)行放射性伽瑪測(cè)量，取得169個(gè)數(shù)據(jù)。算得平均放射性強(qiáng)度為31·7Y，標(biāo)準(zhǔn)差為2·5Y。后在相鄰的另一個(gè)地段又測(cè)得放射性Y強(qiáng)度數(shù)據(jù)99個(gè)，算得平均值為28·8Y，標(biāo)準(zhǔn)差為2·6Y。要判斷這相鄰兩地段是否可看作同一母體（即從Y強(qiáng)度來看兩巖體的性質(zhì)相同）？因已知放射性Y強(qiáng)度服從正態(tài)分布，又因二個(gè)子樣的標(biāo)準(zhǔn)差非常接近，故可認(rèn)為這兩個(gè)母體的均方差是一樣的。因此只要檢驗(yàn)兩母體的均值是否相同即可。用子樣算出的值n=169，m=99代入上式。得設(shè)a=0·05，則否定域?yàn)椹│＞ua，臨界值ua=1·96。今│u│＞ua，故可斷定這兩個(gè)地段不屬一個(gè)母體，或者說從放射性Y強(qiáng)度來看，這兩個(gè)地段的巖性不同。3·t檢驗(yàn)法若母體服從N（u，）分布，u和都求知，今欲檢驗(yàn)假設(shè)H：u=u0。這時(shí)可用子樣方差代替總體方差進(jìn)行判斷。設(shè)從總體中抽取一個(gè)子樣求得子樣均值和標(biāo)準(zhǔn)差為和S，這時(shí)可利用統(tǒng)計(jì)量t…………（21）式中當(dāng)H成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量t服從t（n-1）分布。因此在選定顯著性水平a后，就可以從t分布表上查出臨力界值ta，否定域?yàn)椹│＞ta。故當(dāng)│t│＞ta時(shí)，則否定假設(shè)H，反之│t│＜ta則肯定假設(shè)H。這種方法（根據(jù)服從t分布的統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)總體均值的方法）叫做t檢驗(yàn)法。應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)樣本的容量無限增大時(shí)t分布趨于正態(tài)分布。事實(shí)上當(dāng)樣本容量n≥30時(shí)。T檢驗(yàn)法可用u檢驗(yàn)法代替（結(jié)果相差不大），所以t檢驗(yàn)法特別適用于小樣本推斷。t檢驗(yàn)法還可用于檢驗(yàn)二個(gè)帶有未知方差的正態(tài)母體的均值是否相等。設(shè)正態(tài)母體X和Y分別服從N（u1,）和N（），其中為未知，要求檢驗(yàn)假設(shè)H：u1=u2。分別從X和Y中抽取容量為m和n的子樣，求得子樣均值和方差為，當(dāng)子樣容量較小時(shí)（即對(duì)小子樣而言），可以利用統(tǒng)計(jì)量t來推斷?！?2）若H（）成立。則上式?jīng)Q定的統(tǒng)計(jì)量t服從t（m+n-2）分布。因此根據(jù)選定的顯著性水平a，從t分布表上可查出臨界值ta，當(dāng)│t│＞ta時(shí)。則否定假設(shè)H。例：從某鋅礦的東、西兩支脈中各取10個(gè)樣品，化驗(yàn)出東支脈中鋅含量為z1i。西支脈中鋅含量為z2i（i=1，2，…，10），數(shù)據(jù)見表2—1。問能否把東西兩支礦脈認(rèn)為是一條礦脈？表2—1東西礦脈鋅含量表z1i(10-4)Z2i（10-4）23273025232135281724262330182429372427311·361·431·481·401·361·321·541·451·231·381·421·361·481·261·381·461·571·381·431·49由于鋅礦脈含量一般服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。故稱取對(duì)數(shù)。令xi=。則xi和yi為服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)。又因方差一般比較穩(wěn)定。設(shè)二者方差相同，所以只需檢驗(yàn)二支脈中鋅含量的總體均值（u1和u2）有無顯著差異即可。由于n=m=10，為小子樣（小樣本），可用t檢驗(yàn)法來推斷。為此先假設(shè)H：u1=u2,則當(dāng)n=m時(shí)，則………………（23）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以算得t=-0·73。若取a=0·05時(shí)，可從t分布表中查得當(dāng)自由度為m+n-2=18時(shí)的臨界值ta=2·101，可見│t│＜ta。則可肯定假設(shè)H。由此可以認(rèn)為東西兩支鋅礦脈是一條礦脈。4·F檢驗(yàn)法如上所述，在用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)兩個(gè)母體均值是否相同時(shí)，通常假定方差相等。若不能肯定。則須對(duì)方差進(jìn)行檢驗(yàn)。這時(shí)常用F檢驗(yàn)法作兩個(gè)母體的方差比（S1/S2）檢驗(yàn)。設(shè)兩個(gè)正態(tài)母體。分別服從N（u1,）和N分布。從中分別抽取容量為nn1和n2的兩個(gè)小樣本。若子樣方差采用無偏估計(jì)量表示，并仍記為S，即………………（24）顯然，這時(shí)當(dāng)假設(shè)H：時(shí)，則“方差比”統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n1-1和n2-1的F分布，即}…………（25）當(dāng)給定顯著性水平α，并已知γ1和γ2時(shí)，即可以F分布中查出臨界值Fα/2。使?jié)M足P{F≥Fα/2}=α/2，如圖2·2所示。由于F分布左右兩邊并1不對(duì)稱，所以否定域各取面積為積為α/2的兩部分（如圖中陰影部分）。通常為了制表方便起見，F(xiàn)分布表中只給出F＞1的右邊臨界值。因圖2—2F分布的密度函數(shù)圖此，一般在實(shí)際計(jì)算F時(shí)，就要把數(shù)值較大的一個(gè)方差放在分子上，使F＞1。這時(shí)否定域?yàn)镕＞Fα/2。這種根據(jù)服從F分布的統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行檢驗(yàn)的方法叫做F檢驗(yàn)法。例：從一號(hào)和二號(hào)巖體中各取40個(gè)樣品?；?yàn)其中的銅含量。求得一號(hào)和二號(hào)巖體銅含量的方差分別為問兩母體（巖體銅含量）的方差有無顯著差異。首先計(jì)算統(tǒng)計(jì)量值。因?yàn)镾2＞S1，則因?yàn)榧僭O(shè)H：時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量服從F（）分布。故查F分布表可得當(dāng)時(shí)的臨界值FO.O5=1·7。所以F＜Fα/2，落在肯定域中，則肯定假設(shè)H：即兩母體標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）無顯著差異?？烧J(rèn)為相等。5·皮爾遜x2檢驗(yàn)法（K.pearson）前面敘述的幾種檢驗(yàn)方法。都是對(duì)母體分布的未知參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，那時(shí)假定母體分布是已知的。因此只要對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)即可。這些方法統(tǒng)稱參數(shù)性檢驗(yàn)法。但有時(shí)母體分布的類型事先并不知道，需要對(duì)母體的分布和出種種假設(shè)。然后進(jìn)行檢驗(yàn)。這樣的方法稱為非參數(shù)性檢驗(yàn)。皮爾遜x2檢驗(yàn)法是一種常用的非參數(shù)性檢驗(yàn)法。皮爾遜x2檢驗(yàn)法常用以檢驗(yàn)?zāi)阁w是否服從某個(gè)給定分布。假設(shè)H：母體XX的分布函數(shù)為F（x）。從母體中抽取一空量為n的子樣計(jì)算時(shí)將x軸分成r個(gè)區(qū)間（—·∞，a1），（a1，a2），（a2，a3）…（a2，a3）…（ar—1，+∞），即i=1，2，…，r其中aO=-∞，ar=∞。若H為真，則總體XX取Si內(nèi)的值的概率為通常Pi稱為理論頻率。將子樣觀測(cè)值x1，x2，…，xn分組。把在同一個(gè)Si內(nèi)的xi作為一組，即把子樣也分成r組，用fi表示落在Si中的子樣值的個(gè)數(shù)。則有fi稱為實(shí)測(cè)頻數(shù)，顯然理論頻數(shù)為n·pi。一般說來。若H為具，則fi和n·Pi之間的差異不顯著。若H為假則差異顯著。K.pearson提出用下面統(tǒng)計(jì)量來衡量理論與實(shí)際的差異程度。在假設(shè)H下，只要n足夠大（n≥50），不管母體服從什么分布，上式定義的x2統(tǒng)計(jì)量服從自由度為r—k—1的x2分布。其中k為理論分布中用估計(jì)量代替的未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，即…………（26）所以對(duì)給定的水平α，查x2分布表，求出臨界xα2。若x2＞xα2，則否定假設(shè)H。通常用這種方法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)要求：（1）子樣容量較大（n＞50），（2）每組的實(shí)測(cè)頻數(shù)不能太?。ㄖ辽俨恍∮?）。例：設(shè)在某礦體上均勻取樣，共得120個(gè)樣品。分析其中某金屬的品位。該金屬品位數(shù)據(jù)見表2·2。問礦體的該金屬品位是否服從正態(tài)分布？表2—2礦體某金屬品位表組號(hào)金屬品位（%）間隔組中值（%）頻數(shù)fi123456789102·5～7·57·5～12·512·5～17·517·5～22·522·5～27·527·5～32·532·5～37·537·5～42·542·5～47·547·5～52·5510152025303540455012514283524731根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以算得，標(biāo)準(zhǔn)差S=7·5，將它們分別代替總體（理論）分布中的μ和現(xiàn)檢驗(yàn)如下：假設(shè)H：巖體某金屬品位符合N（28·6，7·52）分布，則統(tǒng)計(jì)量在此例中由于和S代替兩個(gè)未知參數(shù)μ和，故k=2。此外原分組中，有些組的頻數(shù)f＜5，則需要適當(dāng)合并?？砂?，2，3組并為一組，8，9，10組并為一組，合并后的各組頻組和理論頻數(shù)及部分計(jì)算結(jié)果見表2—3。表2—3品位分組的實(shí)測(cè)與理論頻數(shù)表組號(hào)品位（%）間隔實(shí)測(cè)頻數(shù)fi理論頻數(shù)n·Pifi-n·Pi1234562·5～17·517·5～22·522·5～27·527·5～32·532·5～37·537·5～52·5814283524118·2916·7527·7730·9722·1413·96-0·29-2·750·234·031·86-2·960·0100·4520·0020·5240·1560·628表中理論頻率Pi是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得的。求法如下：例如。要求第三組間隔為（2·25～2·75）的概率P3，則P3=則這時(shí)統(tǒng)計(jì)量x2值為若取顯著性水平α=0·05，查γ=r-k-1=3-欄。得臨界值xα2=x02·05=7·82。因?yàn)閤2＜xα2，即統(tǒng)計(jì)量值落在肯定域中，則肯定假設(shè)，即認(rèn)為巖體的該金屬品位符合正態(tài)分布。6·符號(hào)與秩和檢驗(yàn)法符號(hào)檢驗(yàn)法和秩和檢驗(yàn)法是兩種常用的非參數(shù)性檢驗(yàn)法。（1）符號(hào)檢驗(yàn)法在地質(zhì)工作中常會(huì)遇到。對(duì)同一批樣品，不同人用不同儀器或不同分析方法，得出成對(duì)數(shù)據(jù)（xi，yi）。要檢驗(yàn)這兩批成對(duì)數(shù)據(jù)間有無顯著性差異時(shí)?？梢圆捎煤?jiǎn)便的符號(hào)檢驗(yàn)法。例，甲、乙兩人分析同一氣體co2含量。得兩組數(shù)據(jù)xi和yi（見表2·4）。問兩人分析結(jié)果有無顯著差異？表2—4xi14·715·015·214·815·514·614·914·815·115·0yi14·615·115·411·715·214·714·814·615·215·0符號(hào)＋－－＋＋－＋＋－0xi14·714·814·715·014·914·915·214·715·415·3yi14·614·614·815·314·714·614·814·915·215·0符號(hào)＋＋－－＋＋＋－＋＋顯然若沒二批分析結(jié)果具有相同的分布[其母體具有相同的分布F（xi）=F（yi）]，則xi＞yi的可能性和yi＞xi的可能性相同，即正負(fù)符號(hào)數(shù)相差不大。設(shè)xi＞yi記為“+”號(hào)。yi＞xi記為“－”號(hào)，xi=yi記為“0”令n+和n-分別表示“+”和“-”號(hào)的個(gè)數(shù)。它們的和記為n=n++n—，它們中較小的一個(gè)記為S，即在檢驗(yàn)時(shí)，對(duì)于已知n和給定的顯著性水平α，可從符號(hào)檢驗(yàn)表中查得臨界值Sα。然后把S和Sα相比較，若S≤Sα則否完原假設(shè)，若S＞Sα則肯定原假設(shè)。本例中n+=12，n—=7，nO=1，故n=12+7=19，S=min（n+，n—）=7。對(duì)n=19，α=0·05，查得Sα=4。由于S＞Sα，故肯定原假設(shè)。故可說二人分析結(jié)果無顯著差異。符號(hào)檢驗(yàn)法雖然簡(jiǎn)單，但要求數(shù)據(jù)成對(duì)出現(xiàn)，而且在比較數(shù)據(jù)大小時(shí)不管其具體數(shù)值。因此方法的精度較差。秩和檢驗(yàn)法在一定程度上彌被了上述缺點(diǎn)。（2）秩和檢驗(yàn)法假設(shè)H：兩個(gè)母體A和B有相同的分布。從中分別抽取容量為n1和n2的兩個(gè)子樣。假定n1＜n2。秩和檢驗(yàn)步驟如下。a·將兩個(gè)子樣混合起來，按大小遞增的次序排列編號(hào)，每個(gè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的序號(hào)（或叫序數(shù)）稱為數(shù)據(jù)的秩。b·計(jì)算較小容量為子樣所對(duì)應(yīng)的秩之和，用T表示。c·對(duì)于n，和nr及給定的顯著性水平α，從秩和檢驗(yàn)表中查出秩和下限（T1）和上限（T2）。d·若T1＜T＜T2,則肯定假設(shè)H，否則否定假設(shè)。例：甲、乙二人作某氣體中Co2，含量分析，測(cè)得數(shù)據(jù)為xi和yi，見表2·5。問二人分析結(jié)果是否有顯著差異？表2·5xi14·714·815·215·6yi14·615·015·1（見·28·頁。）（b）因yi容量較小（n=3），則計(jì)算yi的秩和。這時(shí)T=1+4+5=10。（c）對(duì)n1=3，n2=4，α=0·05查秩和檢驗(yàn)表得T1=7，T2=17。（d）由地T=10，故T1＜T＜T2則肯這假設(shè)，認(rèn)為兩母體分布相同，即甲、乙二人分析結(jié)晶果無顯著差異。通常秩和表只給出n1≤n2≤10條件下的T1和T2值。當(dāng)n1和n2較大時(shí)，在假設(shè)A、B二母體分布相同條件下，統(tǒng)計(jì)量T近似服從正態(tài)分布。這時(shí)有或式中，例如將符號(hào)檢驗(yàn)法中的例子，進(jìn)行秩和檢驗(yàn)時(shí)（a）將數(shù)據(jù)按大小排列，得表2·7表2·7秩3·53·53·53·53·53·510101010xiyi14·614·614·614·614·614·614·714·714·714·7秩10101016·516·516·516·516·516·521·5xiyi14·714·714·714·814·814·814·814·814·814·9秩21·521·521·5262626262629·529·5xiyi14·914·914·915·015·015·015·015·015·115·1秩333333333336·536·538·538·540x15·215·215·315·415·5yi15·215·215·215·315·4注：當(dāng)數(shù)據(jù)相同時(shí)，其秩取秩數(shù)的平均數(shù)。如前六個(gè)數(shù)相等，則其秩均為（1+2+3+4+5+6）/6=3·5。（b）由于n1=n2，故可任取xi或yi的秩和（T）。設(shè)取yi的T值為T=374。（c）均值u=標(biāo)準(zhǔn)差=37（d）u=（T-u）/因a=0.05時(shí)，ua=1.96，即│u│＜ua，則肯定假設(shè)，亦即二人分析結(jié)果無顯著差別。這與符號(hào)檢驗(yàn)法結(jié)果相同。接·27·頁開始。作秩和檢驗(yàn)時(shí)：(a)將數(shù)據(jù)按大小排列編號(hào)，如表2—6。表2—6秩1234567xi14·714·815·215·6yi14·615·015·1第三章方差分析地質(zhì)現(xiàn)象通常由若干地質(zhì)因素決定。例如礦體中某元素的品位，就可能受礦體理藏深度（也可用層位表示）和不同類型的圍巖等等因素的影響。如何通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析出各個(gè)因素，以及各因素之間的交互作用。這就是方差分析的主要任務(wù)。所謂方差分析，就是從方差的角度來分析觀測(cè)數(shù)據(jù)以確定各因素作用的大小，從而把由于控制因素的改變（或稱試驗(yàn)條件的改變）而引起的觀測(cè)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差和觀測(cè)過程（或稱試驗(yàn)過程）中不可避免的偶然誤差（或叫試驗(yàn)誤差或隨機(jī)誤差）區(qū)別開來。方差分析是一種有效的統(tǒng)計(jì)分析方法。這種方法于本世紀(jì)二十年代首先由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)會(huì)爾（R·A·Fisher）把它應(yīng)用到農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn)上，其后在許多工業(yè)和科學(xué)研究方面都得到應(yīng)用。在地質(zhì)工作中，例如在研究礦物變異和對(duì)比及劃分地層等工作中使用方差分析都取得良好結(jié)果?！?·1一個(gè)因素的方差分析1·概述一個(gè)因素的方差分析的基本內(nèi)容，往往是檢驗(yàn)多個(gè)總體的均值是否相同的問題。例如在地球化學(xué)找礦時(shí)鉛是伴生指示元素，往往需要知道鉛在礦體垂直分帶上有無顯著變化。也就是研究深度（礦體理藏深度）這個(gè)因素對(duì)鉛含量有無顯著變化。這時(shí)我們可以在不同深度的層位上（即在不同總體上）各采取一組樣品進(jìn)行研究。由于通常方差比較穩(wěn)定。所以要檢驗(yàn)不同層位上鉛含量是否有顯著變化。就是要檢驗(yàn)不同總體的均值是否相等。一般地說，就是從G個(gè)總體（例如G個(gè)層位）中，分別獨(dú)立抽取子樣進(jìn)行觀測(cè)，共得G組測(cè)值（xg1，xg2，…，xgng）.根據(jù)這些觀測(cè)值來檢驗(yàn)G個(gè)總體的均值是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè)H：u1=u2=…=uG。推斷時(shí)根據(jù)子樣組間方差和組內(nèi)方差的比值來進(jìn)行。所以這種方法可以說是假設(shè)檢驗(yàn)的推廣?，F(xiàn)將方法原理敘述如下。2·方法原理設(shè)所有觀測(cè)值（xgk,g=1,2,…G;k=1,2,…,ng）的總平均值為，第g組觀測(cè)值的平均值為，則…………（1）…………（2）………………（3）式中n為總的觀測(cè)數(shù)，ng為第g組中的觀測(cè)數(shù)（即g子樣的容量）。這時(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù)的總的離差平方和Q為…………（4）總離差平方和Q可以分解成組間平方和Q1和組內(nèi)平方和Q2兩部分，即………………（5）………………（6）由于因則………………（7）總平方和的自由度v，也可分解成組間自由度和組內(nèi)自由度兩部分。因?yàn)榭偟淖杂啥葀為…………（8）組間自由度v1為v1=G-1…………（9）組內(nèi)自由度v2為v2=…………（10）則v=v1+v2組間平方和Q1是每個(gè)組平均值與總平均值的加權(quán)離差平方和。它的大小反映了各總體均值之間的差異程度。組內(nèi)平方和Q2,則反映了試驗(yàn)誤差（觀測(cè)過程中各種偶然因素造成的誤差）的影響。若H為真。即u1=u2=…=uG,那么所有全體子樣可看作取自同一正態(tài)母體N（u，）。由于它們相互獨(dú)立，則服從自由度為n—1的x2分布，即……（12）同樣有根據(jù)x2分布加法定理可知Q1/服從自由度為v2=n—G的x2分布，即………………（13）下面證明Q1和Q2獨(dú)立（則Q1/），且Q1服從分布。因?yàn)槭街衭gk=xgk–u為相互獨(dú)立的隨變量。V1是ugk的一個(gè)正交線性變換。因此根據(jù)第一章子樣線性函數(shù)分布以及有關(guān)正交變換的性質(zhì)可知，這時(shí)可以再找到n—1獨(dú)立的變量Vi（i=2，…，n），可使式中Vi（i=2，3，…，n）相互獨(dú)立并服從N（0，）分布。同樣有：式中Wi是ugk的一個(gè)正交線性變換。因此可以再找到n—G獨(dú)立變量Wi（i=G+1，…，n），使得所以式中由于zkyk相互獨(dú)立，則Q1與Q2獨(dú)立。此外由上式可知，zk/服從N（0，1）分布，則服從自由度為V1的x2分布。即…………（14）從（13）、（14）式可知，統(tǒng)計(jì)量F=服從自由度為V1和V2的F分布，即…………（15）式中S21和S22分別稱為組間方差與組內(nèi)方差。于是當(dāng)給定顯著性水平a時(shí)，從F分布表可查得臨界值Fa/2。若實(shí)測(cè)統(tǒng)計(jì)值F＞Fa/2是，則在顯著性水平a下否定假設(shè)H。3·方差分析步驟與實(shí)例如上所述一個(gè)因素的方差分析可以歸納為如下幾步。（1）計(jì)算組間離差平方和S21，組內(nèi)離差平方和S22，及總偏差平方和S2，并用S2=S12+S22進(jìn)行驗(yàn)算；（2）計(jì)算組間自由度V1=G—1和組內(nèi)自由度總自由度v=n—1，并且用v=v1+v2進(jìn)行驗(yàn)算；（3）計(jì)算組間和組內(nèi)方差（4）求出統(tǒng)計(jì)量F值（F=）;（5）查F分布表，求出臨界Fa/2，與實(shí)測(cè)F相比較。作出判斷。實(shí)例：某礦區(qū)，要求查明鉛在礦體垂直分帶上有無顯著變化？為了查明這一問題，在礦體的四個(gè)不同層位上，分別于五個(gè)剖面處取了鉛的組合樣，鉛含量（組合樣中鉛含量為單個(gè)樣中含量的幾何平均數(shù)）如表3—1所示。表3—1鉛含量（Pb×10-6）數(shù)據(jù)表層位號(hào)（g）樣品號(hào)（K）1234123452·452·322·122·441·894·653·843·394·732·403·765·577·856·945·054·803·305·185·755·6311·2219·0129·1724·662·2443·8025·8344·9324·20根據(jù)表中數(shù)據(jù)作方差分析，結(jié)果如表3—2（方差分析表）所示。表3—2方差分析表方差來源平方和自由度方差FF0.05F0.01顯著性組間35·9505311·983510·583·245·29**組內(nèi)18·1164161·1323總54·066919從這張方差分析表中，計(jì)算和推斷結(jié)果都可一自了然。必須指出，為了直觀地表示顯著性的不同程度，通常當(dāng)實(shí)測(cè)F＜F0.05時(shí)，即無顯著差異，則在顯著性一欄上無*號(hào)表示：當(dāng)F0，05＜F＜F0，01時(shí)，即有顯著差異。則用*號(hào)表示：若F＞F0，01時(shí)，即差異特別顯著，則用**表示。從表中可以年出，層閏這一因素對(duì)鉛含量有特別顯著的影響?！?—2二個(gè)因素的方差分析以上討論了一個(gè)因素的方差分析，即只考慮一個(gè)因素對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響。在實(shí)際地質(zhì)工作中，影響一個(gè)量的因素常常不止一個(gè)。諸因素之間又有互相作用，情況較為復(fù)雜。下面敘述兩個(gè)影響因素在無交互作用和有交互和用時(shí)的方差分析，說明解決這些總是題的思想和方法。按比原則，可以解決更為復(fù)雜的問題。1·不考慮交互作用時(shí)，兩個(gè)因素的方差分析例如在研究礦脈厚度和它的埋藏深度對(duì)鉛的平均品位的影響時(shí)，用A表示礦脈厚度因素，用B表示礦脈埋藏深度因素。將因素A按厚度不同分為若干個(gè)等級(jí)（通常稱為若干水平），如A1=5～15cm，A2=15～25cm，…等等。同樣將因素B按照深度（即不同層位）分為若干等級(jí)（水平），如第一層為B1，第二層為B2等等。一般說來，例如將因素A分為a個(gè)水平，即A1，A2，…Aa；將因素B分為b個(gè)水平，即B1，B2，…Bb，，則因素A和B總共有a×b種不同的水平配合。在每一種水平配合（如一定的厚度和一定的深度上）進(jìn)行一次觀測(cè)，其結(jié)果用xij表示。含量結(jié)果如表3—3所示。表3—3BAB1…Bj…BbA1···Ai··接下頁·接下頁x11…x1j…x1b·········xi1xij…xib···············AaxaI…xaj…xab……設(shè)……（16）為a×b個(gè)觀測(cè)值的總平均值。為j列的平均值，即為B因素j水平的平均值。為i列的平均值，即為A因素i水平的平均值。若變量總體分別服從N（uij）分布，分析的目的是檢驗(yàn)假設(shè)H：所有的uij都相等。解決這類問題的基本方法與一上因素的方差分析一樣。這時(shí)把總離差平方和分解為三部分。即A因素，B因素與觀測(cè)誤差三部分?！?7）由（16）式可知（17）式中三個(gè)交錯(cuò)乘積皆為0。比如：因此（17）式可寫為……（18）式中為A因素的離差平方和。為B因素的離差平方和，為誤差平方和?！?9）

在應(yīng)用中通常用下式計(jì)算（20）比如=當(dāng)假設(shè)H為真時(shí)，則a×b個(gè)觀測(cè)值xij可看作來自同一總體N（u，），即u=uij。自由度分別為v=ab—1，vA=a—1，vB=b—1，vE=（a—1）（b—1）?！?1）和一個(gè)因素的方差分析一樣，有相互獨(dú)立，且…………（22）故…………（23）對(duì)于給定的a可從F分布表中分別求出A和B的臨界值F和F。若由觀測(cè)數(shù)據(jù)算出的FA和FB均分別小于F和F時(shí)，則肯定假設(shè)，否則否定假設(shè)。實(shí)例：已知鉛含量隨層位不同而變化。而某礦的品級(jí)也隨層位而變化，那么就需研究鉛含量的變化究竟是由于層位間地球化學(xué)條件不同引起的，還是由于礦的品級(jí)變化所引起的呢？設(shè)礦的品級(jí)因素為A，分為四個(gè)品級(jí)A1，A2，A3，A4。層位因素為B，分為四個(gè)水平B1，B2，B3，B4。在不同的Ai，Bi條件下各取一個(gè)樣品分析出鉛含量xij(×10-6)。其數(shù)據(jù)列于表3—4中。問A、B二因素對(duì)鉛含量是否有顯著影響？二者中哪個(gè)更大些？表3—4鉛含量（Pb×10-6）數(shù)據(jù)表BAB1B2B3B4A12·203·763·724·17A22·184·724·855·50A33·004·954·205·50A45·107·108·306·31根據(jù)原始數(shù)據(jù)用以上公式計(jì)算結(jié)果見表3·5。表3·5不考慮交互作用時(shí)二個(gè)因素方差分析表方差來源平方和自由度方差FF0.05F0.01顯著性ABE總23·0913·813·840·70339157·704·600·4218·3310·953·863·866·996·9****表中可以看出，某礦的品位和層位二個(gè)因素對(duì)鉛含量均有特別顯著的影響，但比較起來，品位因素影響更大些。因?yàn)樗云肺灰蛩赜绊懘笮?、考慮交互作用時(shí)，二個(gè)因素的方差分析所謂交互作用是指二個(gè)因素A和B相配合時(shí)對(duì)結(jié)果的影響。例如有時(shí)當(dāng)?shù)V脈的厚度這一因素和埋藏深度因素結(jié)合（搭配）起來時(shí)對(duì)某元素的含量影響特別大。這種因素間聯(lián)合起來所起的作用稱為交互作用。為了考慮交互作用，在不同因素Ai，Bi條件下只取一個(gè)樣品就不夠了。必須取一組樣品進(jìn)行觀測(cè)才行。這是因?yàn)槊恳蝗佑^測(cè)都有承機(jī)誤誤，所以即使搭配作用較大，在一次取樣觀測(cè)中未必能得到同樣好的結(jié)果。所以面要多交取樣觀測(cè)才能平均出交互作用來。設(shè)在A、B二因素的每一種水平搭配時(shí)，都進(jìn)行m次取樣觀測(cè)，其結(jié)果如表3—6所示。表3—6BAB1…Bj…BbA1┆Ai┆Aax111…x11m…x1j1…x1jm…x1b1…x1bm┆┆┆┆┆xill…xilm…xij1…xijm…xib1…x1bm┆┆┆┆┆Xall…xa1m…xaj1…xajm…xab1…xabm表中xijk表示第I行，第j列內(nèi)的第k次取樣觀測(cè)值。I=1，2，…，a：j=1，2，…，b：k=1，2，…，m。設(shè)為表中全部數(shù)所的平均值。為表中第i行數(shù)的平均值。列數(shù)據(jù)的平均值。則……（24）與前類似，將總離差平方和分解為四項(xiàng)之和?！?5）上式簡(jiǎn)記為……（26）為總平方和，其自由度v=abm—1A為A因素平方和，其自由度為vA=a—1。B為B因素平方和，其自由度為vB=b—1A×B為A和B交互作用引起的平方和。其自由度為VA×B=(a—1)(b—1)，E為誤差平方和，其自由度為vE=abm—ab=ab（m—1）v=vA+vB+vA×B+vE…………（27）和以前討論的相似，可以證明(28)因此……（29）以上統(tǒng)計(jì)量FA9FB和FA×B可以分別用以判斷A，B和A×B對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響。方法與前面相同。實(shí)例：在某多金屬礦床上，用方差分析法研究脈厚和埋藏深度對(duì)鉛含量有無顯著影響。設(shè)，厚度因素用A表示。分為四個(gè)水平，即A1=5～15cm，A2=15～25cm，A，=25～35cm，A4=35～45cm。埋藏深度因素用B表示，分為三個(gè)水平，即第一層為B1，第二層為B2，第三層為B3。在每一Ai，Bi條件下各取三個(gè)樣品。測(cè)量結(jié)果鉛含量的原始數(shù)據(jù)列于表3—6中。表3—5鉛含量（%）的原始數(shù)據(jù)表BAB1B2B3A1A2A3A41，5，61，3，52，3，72，2，52，5，83，8，101，4，102，2，116，7，85，10，122，10，154，7，10根據(jù)上述公式，計(jì)算結(jié)果列于表3—7。表3—7考慮交互作用時(shí)方差分析差方差業(yè)源平方和自由度方差FFoooFOo顯著性ABA×BE總1046·535·5314460326243534·673·255·9213·082·650·250·453·013·402·514·725·613·67表中可以看出，由地實(shí)測(cè)各F值皆小于FO。05，故均無顯著影響。結(jié)論為：礦脈厚度和埋藏深度以及它們的交互作用，對(duì)鉛含量皆無顯著影響?！?—3用方差分析進(jìn)行地層對(duì)比通常不同巖層，由于形成的地質(zhì)條件不同。因而它們的某些定量標(biāo)志（比如含砂量、滲透率、電阻率、放射性強(qiáng)度等等）往往有著顯著的差異。而同一巖層內(nèi)這些標(biāo)志（隨機(jī)變量）間的差異則相對(duì)來講就要小些。因此可以利用層間方差（組間方差）和層內(nèi)方差（納內(nèi)方差）之比作為統(tǒng)計(jì)量來對(duì)比和劃分地層。比如（a）在對(duì)比A、B、C三個(gè)不同地層時(shí)?？梢栽贏、B、C地層中分別采取一組樣品。分析劃分巖層的標(biāo)志變量（如含砂量）。我后計(jì)算組間方差和組內(nèi)方差，并進(jìn)行方差比顯著性檢驗(yàn)。若差異顯著則A、B、C三個(gè)地層就不能歸屬于同一巖層。（b）在根據(jù)物業(yè)資料進(jìn)行地層劃分時(shí)。為了取得最佳效果，可以根據(jù)對(duì)不同地層有明顯差異的物性參數(shù)變化曲線（比如電阻率變化曲線等），按一定間隔（比如10cm到100cm）取值。然后根據(jù)要求劃分出的層數(shù)用方差分析法確定層位界線。比如分成二層時(shí)，即將所有的n個(gè)數(shù)據(jù)分成二組。顯然任意劃分時(shí)可有n-1種劃分方法。我們可以對(duì)這n-1種劃分法，都計(jì)算出n-1個(gè)組間方差S1和組內(nèi)方差S2。很明顯，能獲得最大方差比（S1/S2）的劃分法，就是最佳劃分法。在確定二層的基礎(chǔ)上，根據(jù)需要?？梢园凑胀瑯釉瓌t分成三層、四層或更多層。下面舉例說明二個(gè)已知分層的對(duì)比方法。設(shè)：有相鄰二井（A和B）各分四層。每層平均電阻率數(shù)據(jù)如表3—8所示。表3—8各巖層電阻率數(shù)據(jù)表井號(hào)層號(hào)AB12346.0211.698.875.744.078.296.223.38若A和B井的各層分別用Ai和Bi（i=1，2，3，4）表示，則地層的以比可能有以下五種方案（A4對(duì)B1和A1對(duì)B4二種方案原因數(shù)據(jù)太小，故略去），參見圖3—1。采用方差來對(duì)比方案時(shí)，將對(duì)比的地層看作是同一個(gè)地層。這樣A、B二井中可看作同一地層的對(duì)比數(shù)是：第一方案為2層，第二方案有3層，第三方案有4層等等。于是就可以求出租間方差S1121234121234121234123A1A2A3B1A4B2B3B4A1A2B1A3B2A4B3B4A1B1A2B2A3B3A4B4B1A1B2A2B3A3B4A4B1B2A1B3A2B4A312112121233-1地層對(duì)示意圖（層間方差）和組內(nèi)方差S2（層內(nèi)方差）。因?yàn)閰⒓訉?duì)比的層數(shù)不同，對(duì)層間方差有很大影響，必須乘一個(gè)校正系數(shù)。才能保持對(duì)五種方案在相似條件下進(jìn)行對(duì)比。設(shè)五種方案中參加對(duì)比的最多層數(shù)為m。第i方案參加對(duì)比的層數(shù)為p，則校正數(shù)Ki=m/P。于是可規(guī)定地層對(duì)比指標(biāo)顯然能夠取得H（i）值最大的方案，就是最佳對(duì)比方案?，F(xiàn)將各方案的計(jì)算敘述如下（通常規(guī)定當(dāng)H（i）為負(fù)時(shí)一律記為0）。（一）第一方案。原始數(shù)據(jù)見表3—9。這時(shí)n1=n2=2,G=2.表3—9一方案數(shù)據(jù)表層號(hào)g井號(hào)K121（A）8.875.742（B）4.078.2912.9414.036.477.0156.74m=4，p=2（二）第二方案原始數(shù)據(jù)見表3·10。這時(shí)n1=n2=2，G=3。表3—10二方案數(shù)據(jù)表層號(hào)g井號(hào)k1231（A）11.698.875.742（B）4.078.296.2215.7617.1611.967.888.585.987.48方差計(jì)算結(jié)果為：因m=4，p=3則H（2）=0（三）第三方案原始數(shù)據(jù)見表3--11。表3--11三方案數(shù)據(jù)表地層號(hào)g井號(hào)k12341（A）6.0211.698.875.742（B）4.078.296.223.3810.0919.9815.099.125.0459.9907.5454.5606.785這時(shí)m=4，p=4H（3）=0.721（四）第四方案原始數(shù)據(jù)見表3—12。表3—12四方案原始數(shù)據(jù)表地層號(hào)g井號(hào)k1231（A）6.0211.698.872（B）8.296.223.3814.3117.9112.257.1558.9556.1257.412這時(shí)n1=n2=2,G=3S1=4.1033S2=10.869M=4，P=3H（4）=0（五）第五方案原始數(shù)據(jù)見表3—13表3—13五方案原始數(shù)據(jù)表地層號(hào)g井號(hào)k121（A）6.0211.692（B）6.223.3812.2415.076.127.5356.83這時(shí)n1=n2=2,G=2S1=2.0S2=17.27m=4,P=2H（5）=0比較上述五個(gè)方案計(jì)算結(jié)果，只有H（3）=0.721不為零，故H（3）最大。因此第三方案是所求的地層對(duì)比的最佳方案。第四章回歸分析§4—1概述回歸分析是地質(zhì)學(xué)中常用的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。用以研究某一變量（指標(biāo)）與另一變量（或其它若干變量）之間的相關(guān)關(guān)系。一切事物都是相互聯(lián)系的。事物之間的聯(lián)系反映在數(shù)學(xué)上就是變量之間的關(guān)系。通常變量之間的關(guān)系可以分為二類。（1）確定性關(guān)系。這就是通常所說的函數(shù)關(guān)系。例如歐姆定律所確定的電阻、電流和電壓之間的關(guān)系，即V=IR。知道子其中兩個(gè)變量的值。第三個(gè)變量的值就完全確定了。（2）相關(guān)關(guān)系。比如巖石中鈾鉀含量之間的關(guān)系，原生暈強(qiáng)度與到礦體的距離之間的關(guān)系，金屬礦床中各種金屬含量之間的關(guān)系，放射性元素含量與伴生元素含量的關(guān)系等等。這些變量之間存在著密切的關(guān)系，但這些關(guān)系受許多隨機(jī)因素的影響，不能由一個(gè)（或幾個(gè)）變量的效值。精確的求出另一個(gè)變量的值。這些變量都是隨機(jī)變量。這種變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。通常利用回歸分析（相關(guān)分析）在一定地質(zhì)條件下確定變量間的相關(guān)關(guān)系后，就可以根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)比較容易測(cè)定和控制的變量，對(duì)另一個(gè)變量（如某種礦石的品位）進(jìn)行予測(cè)。回歸分析內(nèi)容較多，應(yīng)用范圍也較廣。本章重點(diǎn)敘述最常用和最基本的線性回歸方法?！?—2回歸方程的確定在研究二個(gè)隨機(jī)變量的關(guān)系時(shí)，若觀測(cè)n對(duì)數(shù)據(jù)（xi,yi,i=1,2,…，n）。設(shè)xi為自變量，yi為因變量。為了表明它們之間的關(guān)系，將x作橫坐標(biāo)，y作縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中把n對(duì)數(shù)據(jù)表示成n個(gè)點(diǎn)。如圖4—1所示。這樣的圖稱為散點(diǎn)圖。圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線隊(duì)近。即大體呈線性關(guān)系。在理論上若二個(gè)變量之間存在線性關(guān)系時(shí)，則理論相關(guān)表達(dá)式為ε…………（1）圖4—1散點(diǎn)圖式中a，β為理論待定參數(shù)（待估計(jì)參數(shù)）ε是誤差項(xiàng)，它是服從N（o，）分布的隨機(jī)變量。通常在解決實(shí)際問題時(shí)?？偸歉鶕?jù)樣本對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。設(shè)a為a的估計(jì)，b為β的估計(jì)，為y的估計(jì)。則y對(duì)x的回歸議程為…………（2）系數(shù)a，b通常根據(jù)最小乘法原則來確定（即根據(jù)樣本用最小二乘法原則來確定a和β的估計(jì)值a，b）。這時(shí)要求選擇系數(shù)a,b使得各觀測(cè)值y和估計(jì)值之間的偏差（y）的平方和為最小。即…………（3）因此求系數(shù)a，b的正規(guī)方程組為}…………（4）即}…………（5）以下為了簡(jiǎn)便，用表示表示等等。解（5）式可得：=}…………（6）由（5）式可知，加歸直線必然通過平均值點(diǎn)（）。A和b稱為回歸直線的截距和斜率。b又稱回歸系數(shù)?；貧w系數(shù)b通常又可寫成如下形式}…………（7）式中稱為x，y的交叉積：為x，y的交叉積為x的方差（也可記為Sxx或SSx）。實(shí)際工作中常采用如下公式計(jì)算}…（8）顯然。當(dāng)=0時(shí)（或=0時(shí)），b=0，表示y不隨x發(fā)生變化，即x和y不相關(guān)。例：在某礦取了18個(gè)煤樣，分析其比重（）和灰分（）的數(shù)據(jù)如表4—1。試求回歸方程。表4—1煤樣比重（）和灰分（）數(shù)據(jù)表樣品號(hào)（%）樣品號(hào)（%）11·525101·3421·24111·51731·730121·52441·420131·62551·836141·4661·37151·62671·35161·52481·524171·42091·733181·40根據(jù)上述公式可以求得，則回歸直線為§4—3相關(guān)系數(shù)及其顯著性檢驗(yàn)1·相關(guān)系數(shù)在求回歸直線時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)不管觀測(cè)點(diǎn)（xi，yi）分布狀態(tài)如何，即不管是非常分散還是集中地落在一條直線附近，也就是說不管變量x和y之間關(guān)系的密切程度如何，都可用最小二乘法求出一條回歸直線來。倘若x和y關(guān)系并不密切，甚至并不相關(guān)，那未所配的回歸直線就毫無意義。只有當(dāng)x和y間關(guān)系密切時(shí)所配的回歸直線才有意義。因此需要找出一個(gè)參數(shù)（r）來定量地描寫變量x和y之間關(guān)系的密切程度。這個(gè)參數(shù)要求滿足（a）當(dāng)x和y不相關(guān)時(shí)r=0。（b）當(dāng)x和y完全相關(guān)時(shí)r=1。（c）在其它情況下，0＜r＜1。由于因變量y的離散程度可用總離差平方和（簡(jiǎn)稱總平方和Lyy）來表示，如圖4—2所示?？偲椒胶陀挚勺魅缦路纸猓?/p>