注冊公用設(shè)備工程師基礎(chǔ)考試(一)20230417

目錄一、高等數(shù)學(xué)51.1空間解析幾何51.1.1向量代數(shù)51.1.2空間直線及其方程101.1.3平面及其方程121.1.4柱面131.1.5錐面141.1.6旋轉(zhuǎn)曲面151.1.7二次曲面171.1.8空間曲線20☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（空間解析幾何）201.2微分學(xué)311.2.1極限311.2.2連續(xù)37☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題(極限、連續(xù))371.2.3導(dǎo)數(shù)39☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用）421.2.4微分471.2.5偏導(dǎo)數(shù)與全微分481.2.6導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用48☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（導(dǎo)數(shù)、微分）491.3積分學(xué)571.3.1不定積分571.3.2定積分591.3.3廣義積分601.3.4二重積分60☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（定積分的概念與性質(zhì)）61☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（微積分的基本公式）63☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（定積分的換元法與分部積分法）66☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（反常積分）70☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（定積分）72☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（不定積分）761.4無窮級數(shù)781.4.1級數(shù)的概念781.4.2級數(shù)的基本性質(zhì)791.4.3正項(xiàng)級數(shù)791.4.4任意項(xiàng)級數(shù)811.4.4冪級數(shù)81☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（無窮級數(shù)）821.5常微分方程841.5.1微分方程的基本概念841.5.2一階微分方程851.5.3二階常系數(shù)線性微分方程901.6概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)921.6.1隨機(jī)事件與概率921.6.2概率的定義及其運(yùn)算931.6.3頻率與概率951.6.4條件概率961.6.5離散型隨機(jī)變量及其概率分布961.8線性代數(shù)981.8.1行列式98二、普通物理992.1熱學(xué)992.1.1氣體狀態(tài)參量992.1.2平衡態(tài)1002.1.3理想氣體的狀態(tài)方程1002.1.4克拉珀龍方程1012.1.5能量按自由度均分原理1012.1.6理想氣體的內(nèi)能1022.1.7氣體分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程1032.1.8麥克斯韋速率分布定律1042.1.9熱力學(xué)第一定律1052.1.10熱容量1072.1.11第一定律對于熱力學(xué)過程的應(yīng)用1082.1.12循環(huán)過程1112.1.13熱力學(xué)第二定律1142.1.14卡諾定理114☆大學(xué)物理習(xí)題（熱學(xué)）1152.2波動(dòng)學(xué)1172.2.1機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播117平面簡諧波函數(shù)1182.2.3波的能量1222.2.4波的疊加駐波1242.2.5聲波129☆大學(xué)物理習(xí)題（波動(dòng)學(xué)）1322.3光學(xué)1532.3.1相干光的獲得1532.3.2楊氏雙縫干涉1542.3.3薄膜干涉1572.3.4邁克耳遜干涉儀1592.3.5惠更斯—菲涅耳原理1612.3.6光學(xué)儀器分辨本領(lǐng)1632.3.7x射線衍射1642.3.8自然光與偏振光1642.3.9雙折射現(xiàn)象166☆☆大學(xué)物理習(xí)題（光學(xué)）166一、高等數(shù)學(xué)1.1空間解析幾何向量代數(shù)1.空間兩點(diǎn)間的距離：1).設(shè)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)為空間上的兩個(gè)點(diǎn)，則空間兩點(diǎn)距離：2).設(shè)M(x，y，z)為空間上的一個(gè)點(diǎn)，0(0，0，0)為原點(diǎn)，則空間上M到原點(diǎn)的距離：Eg1.設(shè)M1(2，1，2)，M2(-1，2，3)為空間上的兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離。()Eg2.設(shè)O(0，0，0)，M2(-1，2，3)為空間上的兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離。()2.向量的概念：向量：既有大小又有方向的量。向量的模：向量的大小。單位向量：模長為1的向量，表示方法。零向量：模長為0的向量。自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量。相等向量：大小相同且方向相同的向量。負(fù)向量：大小相同但方向相反的向量。向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)M與原點(diǎn)構(gòu)成的向量。3.向量的加減法：1).向量的加法（平行四邊形法則或三角形法則)：2).向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：交換律：結(jié)合律：3).向量的減法（平行四邊形法則或三角形法則)：Eg1.向量AB+CD+BC+DA=_________。（0)4.向量與數(shù)的乘法：1).設(shè)λ是一個(gè)數(shù)，向量與λ的乘積規(guī)定為：當(dāng)λ＞0時(shí)，當(dāng)λ＝0時(shí)，當(dāng)λ＜0時(shí)，2).數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：結(jié)合律：分配率：按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量。5.空間兩向量的夾角的概念：1)向量與向量的夾角：特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與π之間任意取值。6.空間向量：1).按基本單位向量的坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：2).向量的坐標(biāo)：3).向量的坐標(biāo)表達(dá)式：特殊的，4).向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式：5).向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式定義：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角。與X軸：與Y軸：與Z軸：則：方向余弦通常用來表示向量的方向。向量模長的坐標(biāo)表示式：向量方向余弦的坐標(biāo)表示式：當(dāng)時(shí)：方向余弦的特征：特殊地：單位向量的方向余弦為：7.向量之間的數(shù)量積：1).運(yùn)動(dòng)公式：類似地，兩向量之間的數(shù)量積：，其中θ為兩向量之間的夾角。2).數(shù)量積運(yùn)算定律：交換律：分配率：若λ、μ為常數(shù)，則：3).數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)空間直角坐標(biāo)系：，則：4).兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式：則：由此可知兩向量垂直的充要條件為：8.向量之間的向量積：1).兩向量之間的向量積：其中θ為兩向量之間的夾角，垂直于兩向量。2).向量積運(yùn)算規(guī)律：交換律：分配率：若λ為常數(shù)，則：3).向量積的坐標(biāo)表示：設(shè)，則：4).向量積三階行列式表示：則：注：1.1.2空間直線及其方程1.空間直線的一般方程：1).定義：空間直線可看成兩平面的交線。2).空間直線的一般方程式：2.空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程：1).方向向量定義：如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量。2).設(shè)方向向量MO、M為直線L上的兩點(diǎn)，則：則：令：則直線的參數(shù)方程式：3).定義：方向向量的余弦稱為直線的方向余弦。4).直線的兩點(diǎn)式方程：3．兩直線的夾角：1).定義：兩直線的方向向量的夾角。（銳角)2).直線L1、L2對稱式方程如下：則兩直線夾角余弦值：3).兩直線的位置關(guān)系：4.直線與平面的夾角：1).定義：直線和它在平面上的投影直線的夾角ψ稱為直線與平面的夾角。直線對稱方程式：方向向量：平面方程式：垂直于平面的向量則：直線與平面的夾角關(guān)系：2).直線與平面的位置關(guān)系：1.1.3平面及其方程1.平面的點(diǎn)法式方程：1).定義：如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量。法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量。2).平面的點(diǎn)法式方程表達(dá)式：已知法線向量：平面上任意兩點(diǎn)：則必有：平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形。2.平面的一般方程：1).由平面的點(diǎn)法式方程得：平面的一般方程：法向量：2).平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過x軸；平面平行于x軸；類似的，B=0，C=0時(shí)，按以上情況類推。平面平行于xoy坐標(biāo)面。類似的，B=C=0，A=C=0時(shí)，按以上情況類推。3.兩平面的夾角：1).定義：兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角。（通常取銳角)2).兩平面的夾角公式：平面平面法向量：兩法向量夾角余弦值，既為兩平面夾角余弦值：3).兩平面的位置特征：4.點(diǎn)到平面的距離：平面方程：平面外一點(diǎn)：P(xo，yo，zo)，則：1.1.4柱面1.定義：平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線。2.柱面方程：1).柱面方程：推理過程：設(shè)柱面的準(zhǔn)線為：母線的方向數(shù)為X，Y，Z。如果為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則過點(diǎn)M1的母線方程為：且有，(3)，得：這就是以（1)為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。2).柱面方程的特征：F(x，y)=0在空間直接坐標(biāo)系中表示母線平行于Z軸的柱面，其準(zhǔn)線為坐標(biāo)系xoy面上的曲線。其它類推。，橢圓柱面：母線平行于X軸。雙曲柱面：母線平行于Z軸。拋物柱面：母線平行于Y軸。1.1.5錐面1.定義：在空間，通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點(diǎn)稱為錐面的頂點(diǎn)，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。2.錐面方程：錐面方程：推理過程：設(shè)錐面的準(zhǔn)線為：頂點(diǎn)為，如果為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則錐面過點(diǎn)M1的母線為：且有，(3)，得：這就是以（1)為準(zhǔn)線，以A為頂點(diǎn)的錐面方程。Eg.求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的錐面的方程。答案：3.齊次方程：設(shè)λ為實(shí)數(shù)，對于函數(shù)f(x，y，z)，如果有：f(tx，ty，tz)=tλf(x，y，z)則稱f(x，y，z)為λ的齊次函數(shù)，f(x，y，z)=0稱為齊次方程。定理：一個(gè)關(guān)于x，y，z的齊次方程總表示頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的錐面。方程x2+y2-z2=0圓錐面方程x2+y2+z2=0原點(diǎn)（虛錐面)旋轉(zhuǎn)曲面1.定義：以一條平面曲線C繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸。曲線C稱為放置曲面的母線2.旋轉(zhuǎn)曲面方程：旋轉(zhuǎn)曲面方程：推理過程：設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：其中為軸L上一定點(diǎn)，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設(shè)為母線C上的任意點(diǎn)，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。所以，過M1的緯圓的方程為：當(dāng)點(diǎn)M1跑遍整個(gè)母線C時(shí)，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3)（4)的四個(gè)等式中消去參數(shù)x1，y1，z1，得到一個(gè)三元方程：這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。3.常見曲面方程：a．雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn):x軸：，單葉雙曲面。z軸：，雙葉雙曲面。b.橢圓分別繞y軸和z軸旋轉(zhuǎn)：y軸：，長形旋轉(zhuǎn)橢圓面。z軸：，短形旋轉(zhuǎn)橢圓面。c．拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)：，旋轉(zhuǎn)拋物面。1.1.7二次曲面1.定義：三元二次方程ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面稱之為二次曲面。相應(yīng)地平面被稱為一次曲面。討論二次曲面性狀的平面截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕)的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。2.常見的幾種二次曲面：1).橢球面：a.用平面z=0去截割，得橢圓：b.用平面z=k去截割(要求|k|c)，得橢圓：當(dāng)|k|c時(shí)，|k|越大，橢圓越?。划?dāng)|k|=c時(shí)，橢圓退縮成點(diǎn)。c.類似地，依次用平面x=0，平面y=0截割，得橢圓：特別：當(dāng)a=b=c時(shí)，方程x2+y2+z2=a2，表示球心在原點(diǎn)o，半徑為a的球面。2).雙曲面單葉雙曲面：a.用坐標(biāo)面xoy(z=0)與曲面相截，截得中心在原點(diǎn)O（0，0，0)的橢圓。與平面z=z1交線為橢圓。當(dāng)z1變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在z軸上。b.用坐標(biāo)面xoz(y=0)與曲面相截，截得中心在原點(diǎn)的雙曲線。實(shí)軸與x軸相合，虛軸與z軸相合。與平面的交線為雙曲線。雙曲線的中心都在y軸上。實(shí)軸與x軸平行，虛軸與z軸平行。實(shí)軸與z軸平行，虛軸與x軸平行。截痕為一對相交于點(diǎn)（0，b，0)的直線。截痕為一對相交于點(diǎn)（0，-b，0)的直線。c.用坐標(biāo)面yoz(x=0)，x=x1與曲面相截均可得雙曲線。平面的截痕是兩對相交直線。單葉雙曲面圖形：雙葉雙曲面：3).拋物面橢圓拋物面：（p、q同號)用截痕法討論：設(shè)a.用坐標(biāo)面xoy(z=0)與曲面相截，截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原O(0，0，0)，原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn)。與平面z=z1，z1>0的交線為橢圓。當(dāng)z1變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在z軸上。與平面z=z1，z1<0不相交。b.用坐標(biāo)面xoz(y=0)與曲面相截，截得：與平面y=y1的交線為拋物線。它的軸平行z軸，頂點(diǎn)：c.其它截面類推。1.1.8空間曲線1.空間曲線的一般方程：1).空間曲線C可看作空間兩曲面的交線。2).空間曲線的一般方程：☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（空間解析幾何）1．已知，，，并且向量．計(jì)算．解：因?yàn)?，，，并且所以與同向，且與反向因此，，所以2．已知，，求．解：（1)（2)得所以3．設(shè)力作用在點(diǎn)，求力對點(diǎn)的力矩的大小。解：因?yàn)?，所以力矩所以，力矩的大小?．已知向量與共線，且滿足，求向量的坐標(biāo)。解：設(shè)的坐標(biāo)為，又則（1)又與共線，則所以即（2)又與共線，與夾角為或整理得（3)聯(lián)立解出向量的坐標(biāo)為5．用向量方法證明，若一個(gè)四邊形的對角線互相平分，則該四邊形為平行四邊形。證明：如圖所示，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分，則有由矢量合成的三角形法則有所以即平行且等于四邊形是平行四邊形6．已知點(diǎn)，求線段的中垂面的方程。解：因?yàn)?，中垂面上的點(diǎn)到的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由得化簡得這就是線段的中垂面的方程。7．向量，，具有相同的模，且兩兩所成的角相等，若，的坐標(biāo)分別為，求向量的坐標(biāo)。解：且它們兩兩所成的角相等，設(shè)為則有則設(shè)向量的坐標(biāo)為則:所以聯(lián)立求出或所以向量的坐標(biāo)為或8．已知點(diǎn)，，，，求以，，為鄰邊組成的平行六面體的體積求三棱錐的體積。求的面積。求點(diǎn)到平面的距離。解：因?yàn)?，，，所以?）是以它們?yōu)猷忂叺钠叫辛骟w的體積（2）由立體幾何中知道，四面體（三棱錐)的體積（3）因?yàn)?，所以，這是平行四邊形的面積因此（4）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由立體幾何使得三棱錐的體積所以9．求經(jīng)過點(diǎn)和且與坐標(biāo)平面垂直的平面的方程．解：與平面垂直的平面平行于軸，方程為(1)把點(diǎn)和點(diǎn)代入上式得(2)(3)由（2)，（3)得，，代入（1)得消去得所求的平面方程為：10．求到兩平面和距離相等的點(diǎn)的軌跡方程。解；設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由點(diǎn)到平面的距離公式得所以11．已知原點(diǎn)到平面的距離為120，且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比為，求的方程．解：設(shè)截距的比例系數(shù)為，則該平面的截距式方程為化成一般式為又因點(diǎn)到平面的距離為120，則有求出所以，所求平面方程為12．若點(diǎn)在平面上的投影為，求平面的方程。解：依題意，設(shè)平面的法矢為代入平面的點(diǎn)法式方程為整理得所求平面方程為13．已知兩平面與平面相互垂直，求的值。解：兩平面的法矢分別為，，由⊥，得求出14．已知四點(diǎn)，，，，求三棱錐中面上的高。解：已知四點(diǎn)，則由為鄰邊構(gòu)成的平行六面體的體積為由立體幾何可知，三棱錐的體積為設(shè)到平面的高為則有所以又所以，因此，15．已知點(diǎn)在軸上且到平面的距離為7，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：在軸上，故設(shè)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)到平面的距離公式，得所以則那么點(diǎn)的坐標(biāo)為16．已知點(diǎn)．在軸上且到點(diǎn)與到平面的距離相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：在軸上，故設(shè)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到平面的距離公式得化簡得因?yàn)榉匠虩o實(shí)數(shù)根，所以要滿足題設(shè)條件的點(diǎn)不存在。17．求經(jīng)過點(diǎn)且與直線和都平行的平面的方程。解：兩已知直線的方向矢分別為，平面與直線平行，則平面的法矢與直線垂直由⊥，有（1)由⊥，有（2)聯(lián)立（1)，（2)求得，只有又因?yàn)槠矫娼?jīng)過點(diǎn)，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。18．求通過點(diǎn)P(1，0，-2)，而與平面3x-y+2z-1=0平行且與直線相交的直線的方程。解：設(shè)所求直線的方向矢為，直線與平面平行，則⊥，有（1)直線與相交，即共面則有所以（2)由（1)，（2)得，即取，，，得求作的直線方程為19．求通過點(diǎn))與直線的平面的方程。解：設(shè)通過點(diǎn)的平面方程為即(1)又直線在平面上，則直線的方向矢與平面法矢垂直所以(2)直線上的點(diǎn)也在該平面上，則（3)由（1)，（2)，（3)得知，將作為未知數(shù)，有非零解的充要條件為即，這就是求作的平面方程。20．求點(diǎn)到直線的距離。解：點(diǎn)在直線上，直線的方向矢，則與的夾角為所以因此點(diǎn)到直線的距離為21．取何值時(shí)直線與軸相交?解：直線與軸相交，則有交點(diǎn)坐標(biāo)為，由直線方程得，求得22．平面上的直線通過直線：與此平面的交點(diǎn)且與垂直，求的方程。解：依題意，與的交點(diǎn)在平面上，設(shè)通過交點(diǎn)的平面方程為即（1)已知直線的一組方向數(shù)為所以由直線與平面垂直得所以得將，代入（1)得化簡得故所求直線方程為23．求過點(diǎn)且與兩平面和平行直線方程．解：與兩平面平行的直線與這兩個(gè)平面的交線平行，則直線的方向矢垂直于這兩平面法矢所確定的平面，即直線的方向矢為將已知點(diǎn)代入直線的標(biāo)準(zhǔn)方程得8．一平面經(jīng)過直線（即直線在平面上)：，且垂直于平面，求該平面的方程．解：設(shè)求作的平面為(1)直線在該平面上，則有點(diǎn)在平面上，且直線的方向矢與平面的法矢垂直所以(2)(3)又平面與已知平面垂直，則它們的法矢垂直所以(4)聯(lián)立(2)，(3)，(4)得代入（1)式消去并化簡得求作的平面方程為1.2微分學(xué)1.2.1極限1.極限定義的等價(jià)形式：(設(shè))2.極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則(x趨向于0)：3.兩個(gè)重要極限：4.同角三角函數(shù)關(guān)系式：1).平方關(guān)系：2).商的關(guān)系：3).倒數(shù)關(guān)系：4).兩角和與差的函數(shù)關(guān)系：5).背角關(guān)系：6)萬能公式：7).和差化積：Eg1.求下列極限：(1).解：(2).解：令(3).Eg2.求下列極限：解：解：解：因?yàn)椋核裕阂虼耍?).初等函數(shù)曲線圖：9.洛必達(dá)法則：定理1：設(shè)定理2：設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)a可以除外)都可導(dǎo)，且g'(x)≠01.2.2連續(xù)1.連續(xù)的定義：2.結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題(極限、連續(xù))一、選擇題1、當(dāng)時(shí)，（A）無窮小量。ABCD2、點(diǎn)是函數(shù)的（C）。A連續(xù)點(diǎn)B第一類非可去間斷點(diǎn)C可去間斷點(diǎn)D第二類間斷點(diǎn)3、函數(shù)在點(diǎn)處有定義是其在處極限存在的（D）。A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D無關(guān)條件4、已知極限，則常數(shù)等于（A）。A-1B0C1D25、極限等于（D）。AB2C0D-2二、填空題1、=2、當(dāng)時(shí)，無窮小與無窮小等價(jià)，則常數(shù)A=33、已知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則函數(shù)值=04、=1若存在，且，則=1三、解答題1、計(jì)算極限解：原式=2、計(jì)算極限解：原式=3、計(jì)算極限解：原式=4、計(jì)算極限解：原式=5、設(shè)具有極限，求的值解：因?yàn)?，所以，因此并將其代入原?、設(shè)，試確定常數(shù)，使得解：此時(shí)，7、試確定常數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。解：當(dāng)時(shí)，連續(xù)，當(dāng)時(shí)，連續(xù)。所以當(dāng)時(shí)，在連續(xù)因此，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)連續(xù)。1.2.3導(dǎo)數(shù)1．初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2.反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：3.函數(shù)的四算法則：1).定理2.1：函數(shù)u(x)、v(x)在x處可導(dǎo)，則它們的和、差、積與商在x處也可導(dǎo)，且：推論1：(c為常數(shù))推論2：公式推廣：2).高階函數(shù)求導(dǎo)定義：如果可以對函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)再求導(dǎo)，所得到的一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為f(x)、y或d2y/dx2，如對二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則稱三階導(dǎo)數(shù)，記為f(x)、y或d3y/dx3。3).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2.2：若函數(shù)u=u(x)在x處可導(dǎo)，若函y=f(u)在u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(u(x))在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且：或推論：設(shè)y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[((x))]也可導(dǎo)，且4).隱函數(shù)求導(dǎo)：5).二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法：求對自變量x(或y)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只須將另一自變量y(或x)看作常數(shù)，直接利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。6).二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù):☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用）一、選擇題1、設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則（C）A．B．C．D．不能確定2、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（D）yyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．3、下列說法正確的是(D)A．當(dāng)時(shí)，則為的極大值B．當(dāng)時(shí)，則為的極小值C．當(dāng)時(shí)，則為的極值D．當(dāng)f(x0)為函數(shù)f(x)的極值且存在時(shí)，則有4、已知函數(shù)，在處函數(shù)極值的情況是（C）A．沒有極值B．有極大值C．有極小值D．極值情況不能確定5、曲線在點(diǎn)的切線方程是（A）A．B．C．D．6、已知曲線在點(diǎn)M處有水平切線，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（C）．A．（-15，76）B．（15，67）C．（15，76）D．（15，-76）7、已知函數(shù)，則（D）A．在上遞增B．在上遞減C．在上遞增D．在上遞減8、已知對任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（B）A． B．C． D．yxO9、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為（B） （）yxOA．B．C.D．10、如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率(C)A．B．C．D．二、填空題11、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是與。12、若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下：則此物體在和時(shí)的瞬時(shí)速度是6和0．13、求由曲線圍成的曲邊梯形的面積為．14、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則32.三、解答題16、（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；（2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度.分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù).解：（1），，即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0.因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1.（2）..17、已知函數(shù)的圖像是折線段ABC，若中A(0，0)，B(，5)，C(1，0).求函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積NxyODM15PNxyODM15P圖2xyABC15圖1所以，（法一）y=xf(x)的分段解析式中的兩部分拋物線形狀完全相同，只是開口方向及頂點(diǎn)位置不同，如圖2，封閉圖形MNO與OMP全等，面積相等，故所求面積即為矩形ODMP的面積S=.18、設(shè)函數(shù)是定義在［－1，0）∪（0，1］上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈［－1，0）時(shí)，（a∈R).（1）當(dāng)x∈(0，1］時(shí)，求的解析式；（2）若a＞－1，試判斷在（0，1）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）是否存在a，使得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)有最大值－6.（1）解：設(shè)x∈(0，1］，則－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，∵f(x)是奇函數(shù).∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］.（2）證明：∵f′(x)=2a+，∵a>－1，x∈(0，1］，>1，∴a+>0.即f′(x)>0.∴f(x)在（0，1］上是單調(diào)遞增函數(shù).（3）解：當(dāng)a>－1時(shí)，f(x)在（0，1］上單調(diào)遞增.f(x)max=f(1)=－6，a=－(不合題意，舍之），當(dāng)a≤－1時(shí)，f′(x)=0，x=.如下表：fmax(x)=f()=－6，解出a=－2.x=∈(0，1).（－∞，）（，+∞）+0－最大值∴存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.19、函數(shù)對一切實(shí)數(shù)均有成立，且，（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）因?yàn)?，令，再?（Ⅱ）由知，即.由恒成立，等價(jià)于恒成立，即．當(dāng)時(shí)，．故．20、已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求參數(shù)的取值范圍;（2）若函數(shù)在處取得極值，且時(shí)，恒成立，求參數(shù)的取值范圍.解：已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求參數(shù)的取值范圍;（2）若函數(shù)在處取得極值，且時(shí)，恒成立，求參數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意，知方程有實(shí)根所以得（2）由函數(shù)在處取得極值，知是方程的一個(gè)根，所以，方程的另一個(gè)根為因此，當(dāng)，當(dāng)所以，和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)有極大值，又恒成立，1.2.4微分導(dǎo)數(shù)的定義：當(dāng)時(shí)：為右導(dǎo)數(shù)：當(dāng)時(shí)：為左導(dǎo)數(shù)：微分：關(guān)系：可導(dǎo)可微導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率偏導(dǎo)數(shù)與全微分1.2.6導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用定理1：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，若則函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)單調(diào)遞增（遞減)?！罡叩葦?shù)學(xué)習(xí)題（導(dǎo)數(shù)、微分）一、選擇題1、設(shè)函數(shù)為y＝f（x），當(dāng)自變量x由改變到時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量△y為（A）(C)A．πＢ．2π解：（B）A．－１Ｂ．－2 C．－3 D．1４、設(shè)周期函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）內(nèi)可導(dǎo)，周期為T，又則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（T＋1，f（T＋1））處的切線斜率為（D） B．0 C．－1 D．－2(A)A．f（x）極限存在，但不一定可導(dǎo) B．f（x）極限存在且可導(dǎo)C．f（x）極限不存在但可導(dǎo) D．f（x）極限不一定存在(A)(C)A．a(chǎn)＝0，b＝－2Ｂ．C． D．a(chǎn)＝1，b＝－28、設(shè)f（x）處處可導(dǎo)，則（D）9、兩曲線相切于點(diǎn)（1，－1）處，則a，b值分別為（D）A．0，2 B．1，－3 C．－1，1 D．－1，－1（D）A．必可導(dǎo) B．不連續(xù)C．一定不可導(dǎo) D．連續(xù)但不一定可導(dǎo)(C)A．（1，1） B．（－1，1）C．（1，1）和（－1，－1） D．(－1，－1)(B)A．既連續(xù)又可導(dǎo) B．連續(xù)但不可導(dǎo)C．既不連續(xù)也不可導(dǎo) D．不連續(xù)但可導(dǎo)13、垂直于直線且與曲線相切的直線方程是(B)A．3x－y＋6＝0 B．3x＋y＋6＝0C．3x－y－6＝0 D．3x＋y－6＝0(A)A．a(chǎn) B．2a提示：設(shè)點(diǎn)為拋物線上任一點(diǎn)，則將拋物線方程兩邊對x求導(dǎo)：得所以在點(diǎn)處的切線斜率為，由此可得切方程為即此切線與兩坐標(biāo)軸的截距之和為：15、設(shè)f（x）＝|sinx|，則f（x）在x＝0處(B)A．不連續(xù) B．連續(xù)，但不可導(dǎo)C．連續(xù)且有一階導(dǎo)數(shù) D．有任意階導(dǎo)數(shù)(A)A．不連續(xù)，必不可導(dǎo) B．不連續(xù)，但可導(dǎo)C．連續(xù)，但不可導(dǎo) D．連續(xù)，可導(dǎo)提示：討論分段函數(shù)在交接點(diǎn)處是否可導(dǎo)應(yīng)按導(dǎo)數(shù)定義判斷；考察在某點(diǎn)得是否連續(xù)，應(yīng)按左、右極限是否相等來判斷.(B)18、要使點(diǎn)（1，3）為曲線的拐點(diǎn)，則a，b的值分別為(A)提示：因?yàn)椋?，3）是連續(xù)曲線的拐點(diǎn)的定義可得a＋b＝3①再結(jié)合拐點(diǎn)的定義可得b＝－3a②結(jié)合①②解之．19、如果f（x）與g（x）可導(dǎo)，，則(C)20、已知f（x）在[a，b]上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x∈（a，b）時(shí)，有又已知f（a）>0．則（D）A．f（x）在[a，b]上單調(diào)增加，且f（b）>0B．f（x）在[a，b]上單調(diào)減少，且f（b）<0C．f（x）在[a，b]上單調(diào)增加，且f（b）<0D．f（x）在[a，b]上單調(diào)減少，但f（b）正負(fù)號無法確定(C)A．在（－∞，＋∞）單調(diào)增加B．在（－∞，＋∞）單調(diào)減少C．在（－1，1）單調(diào)減少，其余區(qū)間單調(diào)增加D．在（－1，1）單調(diào)增加，其余區(qū)間單調(diào)減少22、當(dāng)x≠0時(shí)，有不等式（B）23、若在區(qū)間（a，b）內(nèi)，函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)f（x）在此區(qū)間內(nèi)是（D）A．單調(diào)減少，曲線是下凹的 B．單調(diào)增加，曲線是下凹的C．單調(diào)減少，曲線是下凸的 D．單調(diào)增加，曲線是下凸的（B）A．沒有水平漸近線，也沒有斜漸近線B．x＝－3為其垂直線漸近線，但無水平漸近線C．既有垂直漸近線，也有水平漸近線D．只有水平漸近線25、設(shè)函數(shù)y＝f（x）在處有在處有不存在，則（C）26、若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有惟一的極大值和極小值，則（D）A．極大值一定是最大值，極小值一定是最小值B．極大值必大于極小值C．極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值D．極大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值（D）提示：這里插入，因?yàn)轭}目假定f（x）在點(diǎn)可導(dǎo)，所以分成兩項(xiàng)的極限都存在．因?yàn)轭}中只設(shè)f（x）在可導(dǎo)，沒說在及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)，更沒假定在點(diǎn)連續(xù)，所以上面的做法是無根據(jù)的．（C）A．3 B．2 C．－3 D．－2（A）A．－ln4 D．2提示：（B）A．x＋y＝1 B．x＋y＝5 C．x－y＝5 D．x－y＝1（A）A．a(chǎn)＝2，b＝1 B．a(chǎn)＝1，b＝2C．a(chǎn)＝－1，b＝－1 D．a(chǎn)＝2，b＝－1二、解答題3、討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定它在該區(qū)間上的最大值最小值．解：設(shè)則，于是當(dāng)0<x≤2時(shí)，而只有x＝0時(shí)，，故在[0，2]上為單調(diào)減少，而所以在為單調(diào)減少，在為單調(diào)增加，因而在[0，2]上f（x）的最大值f（0）＝27，最小值4、作函數(shù)的圖形，說明函數(shù)的單調(diào)及凹凸區(qū)間、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、漸近線．得惟一的駐點(diǎn)x＝e，，得，下面求漸近線方程．由可知x＝0為垂直漸近線，y＝0為水平漸近線，無斜漸近線，在各部分區(qū)間內(nèi)的符號，相應(yīng)曲線弧的升降及凹凸，以及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)等列表如下：函數(shù)圖形如圖3－25．（1）求函數(shù)的增減區(qū)間及極值．（2）求函數(shù)圖象的凹凸區(qū)及拐點(diǎn)．（3）求其漸近線并作出其圖形．所以，區(qū)間（－∞，0），（2，＋∞）為增區(qū)間，（0，2）為減區(qū)間，x＝2為極小點(diǎn)，極小值為y＝3．（3），所以x＝0為垂直漸近線，y＝x為斜漸近線．描點(diǎn)作圖（如圖3－26）．1.3積分學(xué)1.3.1不定積分1.基本積分表：1).2).3).4).5).6).7).8).9).10).11).12).13).14).15).16).17).18).19).20).21).2.分部積分法:1).2).1.3.2定積分1.牛頓—萊布尼茨公式：1).定理：如果在上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是2).定理：如果在上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)就是在上的一個(gè)原函數(shù)。3).定理：如果是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則2.定積分的計(jì)算法：1).換元法：2).分部積分法：3).性質(zhì)：4).性質(zhì)：1.3.3廣義積分1.無窮限的廣義積分：當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分發(fā)散。2.無界函數(shù)的廣義積分：當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分發(fā)散。1.3.4二重積分1.則有：2.則有：3.☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（定積分的概念與性質(zhì)）1.填空題(1)根據(jù)定積分的幾何意義：12，，__0_。(2）設(shè)，則__5__，__-5__，。2.選擇題（1）定積分值的符號為（）大于零小于零等于零不能確定（2）曲線與軸所圍成的圖形的面積可表示為（）；；；3.利用定義計(jì)算定積分.解：將區(qū)間等分，則每個(gè)小區(qū)間的長度，每個(gè)小區(qū)間上取右端點(diǎn)，于是4.比較下列各對積分的大?。海?）與解：當(dāng)時(shí)，，所以，從而（2）與解：當(dāng)時(shí)，，所以，從而（3）與解：因?yàn)?，所以?）與解：當(dāng)時(shí)，，從而5.估計(jì)積分的值：解：設(shè)，先求在上的最大、最小值，由得內(nèi)駐點(diǎn)，由知由定積分性質(zhì)得6.求證：.證明：在區(qū)間上的最大值、最小值分別為，由性質(zhì)6可知結(jié)論成立.7.設(shè)在區(qū)間上可微，且滿足條件，試證：存在，使.證明：設(shè)，由積分中值定理可知，存在，使從而，可知在上滿足羅爾定理，所以存在，使，即.8.已知函數(shù)連續(xù)，且，求函數(shù).解：設(shè)，則，于是，得，所以.☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（微積分的基本公式）1.填空題(1)0，(2)，(3)(4)已知，則(5)已知，則（6）已知，則(7)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=2.求由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：3.求下列極限（1）解：原式=（2）解：原式==4.計(jì)算下列定積分（1）解：原式=（2）解：原式=(3)解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=（7）解：原式=(8)解：原式=（9）解：原式=（10）解：原式=（11）解：當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式5.設(shè)，求，并討論在區(qū)間上的連續(xù)性。解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上處處連續(xù).6.設(shè)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明在（a，b）內(nèi)有.證明：由于，所以當(dāng)時(shí)，，從而結(jié)論成立！☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（定積分的換元法與分部積分法）定積分的換元法和分部積分法1.計(jì)算下列定積分（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=(7)解：令，則原式=（8）解：令，則原式=（9）設(shè)，求。解：令原式=(10)解：原式（11）解：原式（12）解：原式（13）解：原式=（14）解：原式=(15)，其中解：因?yàn)椋?.證明題(1)證明證明：令，則（2）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明.證明：3.設(shè)在上連續(xù)，且，求.解：4.若函數(shù)滿足，且，求.解：因?yàn)樗詢蛇吳髮?dǎo)數(shù)，得，取，?！罡叩葦?shù)學(xué)習(xí)題（反常積分）1.選擇題下列各項(xiàng)正確的是（）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，反常積分與有相同的斂散性==2.判定下列各反常積分的收斂性，如果收斂，計(jì)算反常積分的值：（1）解：由定義，反常積分發(fā)散，所以原積分發(fā)散.（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式(5)解：令，則原式（6）解：，所以反常積分發(fā)散.(7)解：(8)解：令，則原式3.利用遞推公式計(jì)算反常積分.解：利用分部積分，，依次遞推，得，而，所以4.已知，求（1）；（2）解：（1）（2）☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（定積分）1.選擇題（1）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，則的值（）依賴于依賴于依賴于，不依賴于依賴于，不依賴于（2）設(shè)在上令，則（）.（3），則為（）.正常數(shù)負(fù)常數(shù)恒為零不為常數(shù)提示：，而.(4)下列反常積分發(fā)散的是（）2.計(jì)算題（1）求解：原式（2）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，，求.解：令，則，所以（3）計(jì)算解：原式（4）計(jì)算解：原式（5）已知，求的值.解：由條件有，即所以.（6）設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)滿足，求.解：令，，從而，故.3.當(dāng)時(shí)滿足方程且在有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，又，求.解：兩邊對ｔ求導(dǎo)，得，令ｔ＝１，得，對求導(dǎo)，得，即，所以，又由知，故.4.設(shè)，在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件（為常數(shù)），（1）證明：（2）利用（1）結(jié)論計(jì)算定積分證明：（1），令，，所以（2）取，，，且，所以5.設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，又設(shè)，證明對于任意滿足的和，恒有.證明：作輔助函數(shù)，由知單調(diào)遞減，故結(jié)論成立！☆高等數(shù)學(xué)習(xí)題（不定積分）１、求下列不定積分２、求下列不定積分（第一換元法）3、求下列不定積分（第二換元法）４、求下列不定積分（分部積分法）５、求下列不定積分（有理函數(shù)積分）6、一曲線通過點(diǎn)，且在任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程。7、已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)函數(shù)值為，試求此函數(shù)。8、證明：若，則。9、設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，求。10、求下列不定積分11、求以下積分1.4無窮級數(shù)1.4.1級數(shù)的概念1.級數(shù)的定義：1).常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)：2).級數(shù)的部分和：2.級數(shù)的收斂與發(fā)散：當(dāng)無限增大時(shí)，如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即則稱無窮級數(shù)收斂，這時(shí)極限叫做級數(shù)的和.并寫成如果沒有極限，則稱無窮級數(shù)發(fā)散。1.4.2級數(shù)的基本性質(zhì)1).定理1：如果級數(shù)收斂，則亦收斂。2).定理2：設(shè)兩收斂級數(shù)，，則級數(shù)收斂，其和為。3).定理3：若級數(shù)收斂，則也收斂.且其逆亦真。4).定理4：收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和。注意：收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂。5).推論：如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散，則原來級數(shù)也發(fā)散。6).定理5：去掉或添加為零的項(xiàng)所得到的級數(shù)與原級數(shù)有相同的斂散性，在收斂時(shí)有相同的和。7).定理6：級數(shù)收斂的必要條件：級數(shù)收斂如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則級數(shù)發(fā)散。8).定理7：（柯西判別準(zhǔn)則）級數(shù)收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對于任意的自然數(shù)p恒有1.4.3正項(xiàng)級數(shù)1.定義：如果收斂級數(shù)中各項(xiàng)均有，這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù)。2.正項(xiàng)級數(shù)及其判別法：1).定理1：正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有上界，并且當(dāng)正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散時(shí)，其部分和數(shù)列趨于正無窮大。注意：正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散的充分必要條件是它的部分和數(shù)列，滿足：2).定理2：（比較判別法）如果有，那么若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。3).定理3：（比較判別法的極限形式）已給正項(xiàng)級數(shù)和，如果：則和有相同的斂散性。注：（1）當(dāng)A=0時(shí)，若收斂，則也收斂。（2）當(dāng)A=時(shí)，若發(fā)散，則也發(fā)散。4).定理4：（達(dá)朗貝爾比值判別法）已知正項(xiàng)級數(shù)，若，則：當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級數(shù)可能收斂，可能發(fā)散。5).定理5：（柯西根值判別法）已知正項(xiàng)級數(shù)，若，則：當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級數(shù)可能收斂，可能發(fā)散。1.4.4任意項(xiàng)級數(shù)1.定義1：設(shè)是任一實(shí)數(shù)列，則級數(shù)：稱為任意項(xiàng)級數(shù)。2.定義2：設(shè)有級數(shù)，如果級數(shù)收斂，則說級數(shù)絕對收斂。3.定理1：若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)收斂。4.定理2：若交錯(cuò)級數(shù)滿足條件：（1）數(shù)列單調(diào)遞減，即：；（2）則交錯(cuò)級數(shù)收斂，且其和S不超過。5.定義3：如果級數(shù)收斂，但級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)條件收斂。1.4.4冪級數(shù)1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念：設(shè)（n=1，2，3，…）是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，序列稱為I上的一個(gè)函數(shù)序列。定義1：設(shè)有函數(shù)序列，表達(dá)式稱為區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。2．冪級數(shù)：1).級數(shù)稱為冪級數(shù)。2).級數(shù)為冪級數(shù)的一般形式。3).定理1：（Abel定理）如果級數(shù)在點(diǎn)處收斂，則它在開區(qū)間上任何一點(diǎn)處絕對收斂；如果級數(shù)在處發(fā)散，則它在閉區(qū)間外的任何一點(diǎn)處發(fā)散。4).定理:2：冪級數(shù)在一定在某個(gè)區(qū)間（-R，R）上絕對收斂，在閉區(qū)間[-R，R]外發(fā)散，在-R、R處可能發(fā)散可能收斂。5).定理3：在冪級數(shù)或者中，若：則：收斂半徑，當(dāng)時(shí)，規(guī)定；當(dāng)時(shí)規(guī)定R=0?！罡叩葦?shù)學(xué)習(xí)題（無窮級數(shù)）一、討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性.解：，發(fā)散發(fā)散發(fā)散填空題:1、若，則=____________；答案：2、若，則=______________________；答案：若級數(shù)為則_______；答案：4、若級數(shù)為則________；答案：5、若級數(shù)為則當(dāng)_____時(shí)_____；當(dāng)______時(shí)________；答案：6、等比級數(shù)，當(dāng)_____時(shí)收斂；當(dāng)____時(shí)發(fā)散.答案：三、由定義判別級數(shù)：的收斂性.答案：收斂。三、判別下列級數(shù)的收斂性:1、；答案：發(fā)散2、；答案：收斂3、.答案：發(fā)散五、利用柯西收斂原理判別級數(shù)的斂散性.答案：發(fā)散[取]1.5常微分方程1.5.1微分方程的基本概念1.定義1：凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量關(guān)系的方程稱為微分方程。2.定義2：微分方程中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階。3.定義3：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程。4.定義4：從微分方程求出未知函數(shù)就叫做解微分方程.滿足微分方程的函數(shù)（它要在某區(qū)間上連續(xù)）稱為微分方程的解。5.定義5：微分方程的解中的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，這種解稱為方程的通解．不含有任意常數(shù)的解稱為特解。6.定義6：用來確定通解中的任意常數(shù)，未知函數(shù)所滿足的條件稱為初始條件或定解條件。7.定義7：求解微分方程滿足初始條件的問題稱為微分方程的初值問題。8.定義8：微分方程的特解在幾何上是一條曲線，稱它為微分方程的積分曲線．也被稱為微分方程初值問題的幾何意義。Eg1：某曲線過點(diǎn)且任一點(diǎn)處的切線的斜率為，求曲線方程。解：依題意有……….一階微分方程且……………..…….初始條件或定解條件所以…….……….微分方程的通解所以……….……..微分方程的特解Eg2：火車以20米/秒行駛時(shí)，若以的加速度剎車，則到停止時(shí)位移為多少？解：設(shè)剎車后位移與時(shí)間關(guān)系為，則有：…二階微分方程且…….初始條件或定解條件所以……….特解1.5.2一階微分方程1.可分離變量的微分方程：1).定義：若某微分方程可化為：的形式，稱這種類型的微分方程為可分離變量的微分方程。形式：左邊的表達(dá)式中只含有，右邊的表達(dá)式中只含有。Eg1：微分方程：變化得：兩邊積分得：所以：……………方程的通解Eg2：求的通解。解：由方程得：所以即方程的通解為Eg3：求微風(fēng)方程滿足初始條件的特解。解：原方程變?yōu)?故特解為：2.齊次方程：定義：若一階微分方程中的函數(shù)可化為的函數(shù)，即，稱為該方程為齊次方程。如可化為：齊次方程形式：得其解法為：對于，令，則，從而：，將其代入原方程得：Eg1：解方程，并求的特解。解：由原方程得：令，則原方程變?yōu)椋?，即分離變量得：兩端積分得：即：將代入得把代入得：所以3.一階線性微分方程：1).定義：形如的微分方程稱為一階線性微分方程。當(dāng)時(shí)，稱為一階線性齊次微分方程。當(dāng)時(shí)，稱為一階線性非齊次方程。Eg1:解方程。解：對應(yīng)的線性齊次微分方程的通解為：把換成的未知函數(shù)代入得：因此：，得：將代入，得原方程通解為：.3.可降階的微分方程：1.右端僅含x的方程：微分方程：對這類方程，只須兩端分別積分一次就可化為n-1階方程：同理可得：依此法繼續(xù)進(jìn)行，接連積分n次，便得方程①的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解。Eg1：解方程解：對方程兩邊連續(xù)積分三次得：2.右端不顯含y的方程：微分方程令為一新的未知函數(shù)，則可化為，這是一階微分方程，可解。Eg1.求方程滿足的特解。解：設(shè)，則從而方程化為兩邊積分得：既有將條件代入得：對兩端再積分得：再將代入得：故所求方程的特解為：3.右端不顯含x的方程：微分方程：令為一新的未知函數(shù)，將看作是自變量的函數(shù)，有：方程可化為這是一階微分方程，可解。Eg1：解方程.解：令則代入次方程得：當(dāng)時(shí)，約去并分離變量得：，兩端積分得：即再分離變量，兩邊積分得：即：（）當(dāng)，即時(shí)，原方程有解：顯然此二解是（）式分別當(dāng)和時(shí)的特殊情形．故方程的通解為：1.5.3二階常系數(shù)線性微分方程1.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)：二階線性微分方程……①其中，當(dāng)時(shí)，二階線性齊次方程……②當(dāng)時(shí)，稱①為二階線性非齊次方程。定理1：若函數(shù)是②的解，則：也是②的解．其中為任意常數(shù)。定理2：若是②的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則是②的通解。推論：如果是階線性齊次方程：的個(gè)線性無關(guān)的解，那么，此方程的通解為：其中為任意常數(shù)。定理3：若是①的一個(gè)特解，是①的對應(yīng)的齊次方程②的通解，則……③是①的通解．定理4：設(shè)有線性非齊次方程：.如果分別是方程與方程：的解，那么就是原方程的特解.2.二階常系數(shù)線性齊次微分方程型如：……④（其中為常數(shù)）的方程稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程。將，，代入④得：又，故有：……⑤可見，只要滿足⑤，即可滿足④。稱代數(shù)方程⑤為微分方程④的特征方程。1).當(dāng)時(shí)，⑤有兩個(gè)不相等的實(shí)根。此時(shí)不是常數(shù)方程的通解為：。1).當(dāng)時(shí)，⑤有兩個(gè)相等的實(shí)根。，這時(shí)微分方程只有一個(gè)解。方程的通解為：3).當(dāng)時(shí)，方程有一對共軛復(fù)數(shù)根：方程的通解為：Eg1：解方程解：此方程的特征方程為：，故所求通解為Eg2：解方程解：此方程的特征方程為：故所求通解為1.6概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6.1隨機(jī)事件與概率1.隨機(jī)事件：1).樣本空間：實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間。2).隨機(jī)事件：試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況。3).事件之間的關(guān)系：a.包含關(guān)系：A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生。記為AB，且有A＝BAB且BA。b.和事件：事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生，記作AB。c.積事件：A與B同時(shí)發(fā)生，記作AB＝AB。d.差事件：A－B稱為A與B的差事件，表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生。e.互斥事件：事件A和B的交集為空，A與B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可敘述為：不可能同時(shí)發(fā)生的事件。f.互逆事件：指在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，必然有一個(gè)發(fā)生，但又不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)隨機(jī)事件.事件A和B互逆必須且只須(必然事件)且(不可能事件).A與B是互逆事件時(shí)，A和B互稱為逆事件。Eg1：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：1.6.2概率的定義及其運(yùn)算1.古典概型與概率：1).定義：若某實(shí)驗(yàn)E滿足：a.有限性：樣本空間S＝{e1，e2，…，en}；b.等可能性：P(e1)=P(e2)=…=P(en)。則稱E為古典概型也叫等可能概型。2).古典概型中的概率：設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A)，以N(S)記樣本空間S中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有，稱為古典概型中的概率。Eg1.有三個(gè)子女的家庭，設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等，則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?解:設(shè)A至少有一個(gè)男孩，以H表示某個(gè)孩子是男孩:N(S)={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}N(A)={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT}2.組合：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè)，共有：取法。一般地，設(shè)有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是：Eg1.設(shè)有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從合中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A為取到一紅一白，則：一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到m個(gè)盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：Eg2.將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球，B:空一盒。一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(n>m)，要求第i組恰有ni個(gè)球(i=1，…m)，共有分法：Eg3.30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員;B:3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組Eg4.從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)：(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率。(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率。(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率。解:N(S)=200，N(1)=[200/6]=33，N(2)=[200/8]=25，N(3)=[200/24]=8(1)，(2)，(3)的概率分別為:33/200，1/8，1/251.6.3頻率與概率1.定義:事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)次，則比值稱為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為.即實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率。1.6.4條件概率Eg1.設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率；（2）求第二次取到紅球的概率；（3）求兩次均取到紅球的概率；解：設(shè)A——第一次取到紅球，B——第二次取到紅球：顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個(gè)事件，其中A含有個(gè)樣本點(diǎn)，AB含有個(gè)樣本點(diǎn)，則：一般地，設(shè)A、B是S中的兩個(gè)事件，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。1.6.5離散型隨機(jī)變量及其概率分布1.定義：按一定概率取有限個(gè)或可列個(gè)值的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。2.概率函數(shù)(分布律)：設(shè)X所有可能取值為（i=1，2，…)稱為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律。性質(zhì)：1).2).（i=1，2，…）3.離散型隨機(jī)變量分類：1).伯努利概型:試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：及，把這個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次，就構(gòu)成了n重伯努利試驗(yàn)，簡稱伯努利試驗(yàn)。設(shè):定理（伯努利公式）:B={n重貝努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次}(k=0，1，…n)Eg1.某藥治某病的治愈率為p，現(xiàn)用此藥治該病5例，問治愈3例的概率是多少？解：Eg2.袋中裝有白球20個(gè)和黑球10個(gè)，每次抽一個(gè)：（1）抽取后放回抽取5次，求抽到白球3次的概率；（2）抽取后無放回抽取5次，求抽到白球3次的概率。解：（1）抽取后放回抽球，可看成每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，屬于伯努利試驗(yàn)，令A(yù)={抽到白球}且P（A）=2/3則（2）抽取后無放回抽球，說明每次試驗(yàn)間不獨(dú)立，因此不屬伯努利試驗(yàn)，應(yīng)看成古典概型。無放回抽5次，可看成一次抽5個(gè)球，由古典公式得：一維隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方差分析一元線性回歸分析1.7向量分析1.8線性代數(shù)1.8.1行列式1.二階與三階行列式：1).一二階行列式的定義：2).三階行列式的定義：二、普通物理2.1熱學(xué)氣體狀態(tài)參量1.溫度：1).意義：(宏觀)表示物體的冷熱程度的物理量。(微觀)是物體內(nèi)部分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度的標(biāo)志。2).單位:開爾文(k)、攝氏度(℃)3).熱力學(xué)溫度和攝氏溫度間的關(guān)系T=t+273K（雖然他們表示同一溫度時(shí)，數(shù)值不同，但他們表示溫度的間隔時(shí)相同，即溫差相同。)4).測量工具:溫度計(jì)2.體積：.意義：就是指氣體所充滿的容器的容積。2).單位:m3常用單位:L、mL、dm3、cm3關(guān)系：1m3=103dm3=103L1L=103mL1dm3=103cm33.壓強(qiáng)：1).定義：氣體作用在器壁單位面積上的壓力叫做氣體的壓強(qiáng)。2).單位：Pa1Pa=1N/m2atmcmHg柱mmHg柱關(guān)系：1atm=1.013×105Pa=76cmHg=760mmHg3).產(chǎn)生原因：大量氣體分子做無規(guī)則運(yùn)動(dòng)而不間斷地對器壁碰撞引起的。4).一般情況下，氣體壓強(qiáng)處處相等（跟重力無關(guān))5).測量工具：壓強(qiáng)計(jì)2.1.2平衡態(tài)1.平衡態(tài)的定義：一定質(zhì)量的氣體狀態(tài)參量(p，V，T)為定值，不隨時(shí)間發(fā)生變化的狀態(tài)。2.平衡過程：如果氣體從一個(gè)平衡狀態(tài)經(jīng)過無數(shù)個(gè)無限接近平衡狀態(tài)的中間狀態(tài)，過渡到另一個(gè)平衡狀態(tài)，這個(gè)過程就稱為平衡過程.3.熱力學(xué)第零定律：如果有三個(gè)物體A、B、C，其中兩個(gè)物體A、B分別與處于確定狀態(tài)的C達(dá)到了熱平衡，那么A、B兩個(gè)物體也處于熱平衡狀態(tài)，二者相互接觸，不會有能量的傳遞，這就是熱力學(xué)第零定律。2.1.3理想氣體的狀態(tài)方程1.理想氣體宏觀定義：遵守三個(gè)實(shí)驗(yàn)定律(玻意耳定律、蓋-呂薩克定律、查理定律)的氣體。當(dāng)氣體的溫度不太低，壓強(qiáng)不太大時(shí)，可近似當(dāng)作理想氣體。玻意耳定律：蓋-呂薩克定律:查理定律:2.理想氣體的狀態(tài)方程：1).內(nèi)容：一定質(zhì)量的某種理想氣體在從一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)時(shí)，盡管p、V、T都可能改變，但是壓強(qiáng)跟體積的乘積與熱力學(xué)溫度的比值保持不變。2).公式：注：恒量C由理想氣體的質(zhì)量和種類決定，即由理想氣體的物質(zhì)的量決定。3).氣體密度式：4).氣體標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)參數(shù)：5).理想氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的常量（摩爾氣體常量）：P(Pa)，V(m3):R=8.31J/mol·K一摩爾理想氣體的狀態(tài)方程：2.1.4克拉珀龍方程1.定義：克拉珀龍方程是任意質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)方程，它聯(lián)系著某一確定狀態(tài)下，各物理量的關(guān)系。公式：或2.1.5能量按自由度均分原理1.分子平均平動(dòng)動(dòng)能:2.自由度：描述物體運(yùn)動(dòng)自由程度的物理量。在力學(xué)中，自由度是指決定一個(gè)物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。所謂獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)是指描寫物體位置所需的最少的坐標(biāo)數(shù)。3.氣體分子自由度：1).單原子分子氣體:總自由度為，比如He、Ne、Ar。2).剛性雙原子分子氣體:總自由度為，比如氫氣（H2）、氧氣（O2）。3).剛性多原子分子氣體:總自由度為，比如二氧化碳?xì)怏w（CO2）、水蒸氣（H2O）、甲烷氣體（CH4）。4.分子動(dòng)能按自由度均分的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：分子平均平動(dòng)動(dòng)能：且同理:能量按自由度均分定理：在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個(gè)自由度的平均動(dòng)能都相等，都等于。分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：分子的平均總動(dòng)能：2.1.6理想氣體的內(nèi)能1.定義：氣體內(nèi)能：所有氣體分子的動(dòng)能和勢能的總和。理想氣體內(nèi)能：所有分子的動(dòng)能總和。2.理想氣體公式：1).一個(gè)分子的能量為:2).1mol氣體分子的能量為:3).M千克氣體的內(nèi)能為：4).對于一定量的理想氣體，它的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)而且與熱力學(xué)溫度成正比。當(dāng)溫度變化T時(shí)，當(dāng)溫度變化dT時(shí)，氣體分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程1.氣體分子平均速率：氮?dú)夥肿釉?70C時(shí)的平均速率為476m.s-1?？藙谛匏怪赋觯簹怏w分子的速度雖然很大，但前進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運(yùn)動(dòng)方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。2.溫度越高，分布曲線中的最概然速率vp增大，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度增大，高度降低。在相同的t時(shí)間內(nèi)，分子由A到B的位移比它的路程小得多。3.分子自由程：氣體分子在連續(xù)兩次碰撞之間自由通過的路程。4.碰撞頻率：在單位時(shí)間內(nèi)分子與其他分子碰撞的平均次數(shù)。5.平均自由程：平均自由程與分子的有效直徑的平方和分子數(shù)密度成反比。當(dāng)溫度恒定時(shí)，平均自