高中物理人教版第五章曲線運動單元測試 第五章習題課曲線運動

[目標定位]1.進一步理解運動的合成與分解，合運動與分運動之間的關系.2.會判定互成角度的兩分運動的合運動的運動性質，進一步理解物體做曲線運動的條件.3.會分析運動的合成與分解的兩個實例：小船渡河問題和“繩聯物體”的速度分解問題．一、合運動與分運動的關系合運動的性質1．合運動與分運動的關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(等效性,等時性,獨立性))在解決此類問題時，要深刻理解“等效性”；利用“等時性”把兩個分運動與合運動聯系起來；堅信兩個分運動的“獨立性”，放心大膽地在兩個方向上分別研究．2．合運動性質的判斷分析兩個直線運動的合運動的性質時，應先根據平行四邊形定則，求出合運動的合初速度v0和合加速度a，然后進行判斷：(1)判斷是否做勻變速運動：若a恒定，物體做勻變速運動；若a變化，物體做變加速運動．(2)判斷軌跡曲直：若a與v0共線，則做直線運動；若a與v0不共線，則做曲線運動．例1質量m＝2kg的物體在光滑水平面上運動，其分速度vx和vy隨時間變化的圖線如圖1(a)、(b)所示，求：(1)物體所受的合力；(2)物體的初速度；(3)t＝8s時物體的速度；(4)t＝4s內物體的位移．圖1答案(1)1N，沿y軸正方向(2)3m/s，沿x軸正方向(3)5m/s，方向與x軸正方向的夾角為53°(4)m，方向與x軸正方向的夾角的正切值為eq\f(1,3)解析(1)物體在x方向：ax＝0；y方向：ay＝eq\f(Δvy,Δt)＝m/s2根據牛頓第二定律：F合＝may＝1N，方向沿y軸正方向．(2)由題圖可知vx0＝3m/s，vy0＝0，則物體的初速度v0＝3m/s，方向沿x軸正方向．(3)由題圖知，t＝8s時，vx＝3m/s，vy＝4m/s，物體的合速度為v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝5m/s，tanθ＝eq\f(4,3)，θ＝53°，即速度方向與x軸正方向的夾角為53°.(4)t＝4s內，x＝vxt＝12m，y＝eq\f(1,2)ayt2＝4m.物體的位移l＝eq\r(x2＋y2)≈mtanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(1,3).例2如圖2所示，豎直放置的兩端封閉的玻璃管中注滿清水，內有一個紅蠟塊能在水中以速度v勻速上?。t蠟塊從玻璃管的下端勻速上浮的同時，使玻璃管由靜止水平勻加速向右運動，則蠟塊的軌跡可能是()圖2A．直線P B．曲線QC．曲線R D．無法確定答案B解析紅蠟塊在豎直方向上做勻速直線運動，在水平方向上做勻加速直線運動，所受合力水平向右，合力與合速度不共線，紅蠟塊的軌跡應為曲線，A錯誤；由于做曲線運動的物體所受合力應指向彎曲的一側，故B正確，C、D錯誤．互成角度的兩個直線運動的合運動的性質：(1)兩個勻速直線運動的合運動仍然是勻速直線運動．(2)一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動合成時，由于其加速度與合速度不在同一條直線上，故合運動是勻變速曲線運動．(3)兩個都是從靜止開始的勻加速直線運動的合運動一定是勻加速直線運動．(4)兩個勻加速直線運動的合運動，可能是直線運動，也可能是曲線運動，但一定是勻變速運動．二、小船渡河問題1．小船參與的兩個分運動(1)船相對水的運動(即船在靜水中的運動)，它的方向與船頭的指向相同．(2)船隨水漂流的運動，它的方向與河岸平行．2．兩類最值問題(1)渡河時間最短問題：由于水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度．因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可．由圖3可知，t短＝eq\f(d,v船)，此時船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向滿足tanθ＝eq\f(v船,v水).圖3(2)渡河位移最短問題：情況一：v水＜v船最短的位移為河寬d，此時渡河所用時間t＝eq\f(d,v船sinθ)，船頭與上游河岸夾角θ滿足v船cosθ＝v水，如圖4所示．圖4情況二：v水＞v船如圖5所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑作圓，當合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大(設為α)，此時航程最短．由圖可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程為x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.此時船頭指向應與上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水).圖5例3小船在200m寬的河中橫渡，水流速度是2m/s，小船在靜水中的航速是4m/s.求：(1)要使小船渡河耗時最少，應如何航行？(2)要使小船航程最短，應如何航行？答案(1)船頭正對河岸航行耗時最少，最短時間為50s.(2)船頭偏向上游，與河岸成60°角，最短航程為200m.解析(1)如圖甲所示，船頭始終正對河對岸航行時耗時最少，即最短時間tmin＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,4)s＝50s.(2)如圖乙所示，航程最短為河寬d，即應使v合的方向垂直于河對岸，故船頭應偏向上游，與河岸成α角，有cosα＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(1,2)，解得α＝60°.對小船渡河問題，要注意以下三點：(1)eq\x(研究小船渡河時間時)→常對某一分運動進行研究求解，一般用垂直河岸的分運動求解．(2)eq\x(分析小船速度時)→可畫出小船的速度分解圖進行分析．(3)eq\x(研究小船渡河位移時)→要對小船的合運動進行分析，必要時畫出位移合成圖．例4如圖6所示，一艘小船要從O點渡過一條兩岸平行、寬度為d＝100m的河流，已知河水流速為v1＝4m/s，小船在靜水中的速度為v2＝2m/s，B點距正對岸的A點x0＝173m．下面關于該船渡河的判斷，其中正確的是()圖6A．小船過河的最短航程為100mB．小船過河的最短時間為25sC．小船可以在對岸A、B兩點間任意一點靠岸D．小船過河的最短航程為200m答案D解析因為水流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達正對岸．如圖所示，當合速度的方向與相對水的速度的方向垂直時，合速度的方向與河岸的夾角最大，渡河航程最小；根據幾何關系，則有：eq\f(d,s)＝eq\f(v2,v1)，因此最短的航程是：s＝eq\f(v1,v2)d＝eq\f(4,2)×100m＝200m，故A、C錯誤，D正確；當靜水速的方向與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間：t＝eq\f(d,v2)＝eq\f(100,2)s＝50s，故B錯誤．三、“繩聯物體”的速度分解問題“繩聯物體”指物體拉繩(桿)或繩(桿)拉物體的問題(下面為了方便，統(tǒng)一說“繩”)：(1)物體的實際速度一定是合速度，分解時兩個分速度方向應取沿繩方向和垂直繩方向．(2)由于繩不可伸長，一根繩兩端物體沿繩方向的速度分量相等．例5如圖7所示，汽車甲以速度v1拉汽車乙前進，乙的速度為v2，甲、乙都在水平面上運動，拉汽車乙的繩子與水平方向夾角為α，求v1∶v2.圖7答案cosα∶1解析將繩子拉乙車的端點的速度分解為沿繩方向和垂直于繩子方向，如圖．在沿繩方向的分速度等于汽車甲的速度．所以v2cosα＝v1.則v1∶v2＝cosα∶1.1．(合運動與分運動的關系)(多選)一質量為2kg的質點在如圖8甲所示的xOy平面內運動，在x方向的速度時間圖象和y方向的位移時間(y－t)圖象分別如圖乙、丙所示，由此可知()圖8A．t＝0時，質點的速度大小為12m/sB．質點做加速度恒定的曲線運動C．前2s，質點所受的合力大小為10ND．t＝1s時，質點的速度大小為7m/s答案BC解析由v－t圖象可知，物體在x方向上的初速度為12m/s，而在y方向上，物體做速度為－5m/s的勻速運動，故在前2s內物體做勻變速曲線運動，物體的初速度為水平速度和豎直速度的合速度，則初速度大小：v0＝eq\r(122＋52)m/s＝13m/s；故A錯誤，B正確；由v－t圖象可知，前2s，物體的加速度為：a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(2－12,2－0)m/s2＝－5m/s2，根據牛頓第二定律，前2s物體所受合外力大小為F＝ma＝2×5N＝10N，故C正確；t＝1s時，x方向的速度為7m/s，而y方向速度為5m/s，因此質點的速度大小為eq\r(72＋52)＝eq\r(74)m/s，故D項錯誤．2．(合運動性質的判斷)(多選)一物體在xOy平面內從坐標原點開始運動，沿x軸和y軸方向運動的速度隨時間t變化的圖象分別如圖9(甲)、(乙)所示，則物體0～t0時間內()圖9A．做勻變速運動B．做非勻變速運動C．運動的軌跡可能如圖(丙)所示D．運動的軌跡可能如圖(丁)所示答案AC解析0～t0時間內物體在x軸方向做勻速直線運動，在y軸方向上做勻減速直線運動，所受合力沿y軸負方向且大小保持不變，物體做向y軸負方向彎曲的勻變速曲線運動，故選項A、C正確．3．(繩聯物體的速度分解問題)如圖10所示，某人用繩通過定滑輪拉小船，設人勻速拉繩的速度為v0，繩某時刻與水平方向夾角為α，則船的運動性質及此時刻小船水平速度vx為()圖10A．船做變加速運動，vx＝eq\f(v0,cosα)B．船做變加速運動，vx＝v0cosαC．船做勻速直線運動，vx＝eq\f(v0,cosα)D．船做勻速直線運動，vx＝v0cosα答案A解析如圖所示，小船的實際運動是水平向左的運動，它的速度vx可以產生兩個效果：一是使繩子OP段縮短；二是使OP段繩與豎直方向的夾角減?。源乃俣葀x應有沿OP繩指向O的分速度v0和垂直O(jiān)P的分速度v1，由運動的分解可求得vx＝eq\f(v0,cosα)，α角逐漸變大，可得vx是逐漸變大的，所以小船做的是變加速運動．4．(小船渡河問題)小船在200m寬的河中橫渡，水流速度為3m/s，船在靜水中的航速是5m/s，求：(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？(sin37°＝答案(1)40s下游120m處(2)船頭與岸的上游成53°角50s解析(1)因為小船垂直河岸的速度即小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運動，故渡河時間t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40m＝120m，即小船經過40s，在正對岸下游120m處靠岸．(2)要使小船到達河的正對岸，則v水、v船的合運動v合應垂直于河岸，如圖所示，則v合＝eq\r(v\o\al(2,船)－v\o\al(2,水))＝4m/s.經歷時間t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s．又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝，即船頭與岸的上游所成角度為53°.題組一合運動與分運動的關系合運動的性質判定1．關于合運動、分運動的說法，正確的是()A．合運動的位移為分運動位移的矢量和B．合運動的位移一定比其中的一個分位移大C．合運動的速度一定比其中的一個分速度大D．合運動的時間一定比分運動的時間長答案A解析位移是矢量，其運算滿足平行四邊形定則，A正確；合運動的位移可大于分位移，也可小于分位移，還可等于分位移，B錯誤；同理可知C錯誤；合運動和分運動具有等時性，D錯誤．2．(多選)關于運動的合成，下列說法中正確的是()A．兩個直線運動的合運動，一定是直線運動B．兩個直線運動的合運動，可能是曲線運動C．兩個互成角度的勻速直線運動的合運動，一定是勻速直線運動D．兩個互成角度的勻加速直線運動的合運動，一定是勻加速直線運動答案BC解析兩個勻速直線運動的合成，就是其速度的合成，其合速度是確定的，等于兩個分速度的矢量和，加速度為零，即合力為零，故合運動一定是勻速直線運動，C對；兩個分運動的合加速度方向與合速度的方向不一定在同一直線上，既有可能做曲線運動，也有可能做直線運動，不是“一定”，而是“可能”，故A、D錯，B對．3．有一個質量為2kg的質點在xOy平面內運動，在x方向的速度圖象和y方向的位移圖象如圖1甲、乙所示，下列說法正確的是()甲乙圖1A．質點所受的合外力大小為3NB．質點的初速度大小為3m/sC．質點做勻變速直線運動D．質點初速度的方向與合外力方向垂直答案A解析由題圖可知，ax＝m/s2，ay＝0，vy＝－4m/s，故質點的合外力F＝max＝3N，方向沿＋x方向，質點的初速度大小為v0＝eq\r(32＋(－4)2)m/s＝5m/s，方向不與合外力方向垂直，質點做曲線運動，故只有A正確.4．(多選)兩個互相垂直的勻變速直線運動，初速度分別為v1和v2，加速度分別為a1和a2，則它們的合運動軌跡()A．如果v1＝v2＝0，那么軌跡一定是直線B．如果v1≠0，v2≠0，那么軌跡一定是曲線C．如果a1＝a2，那么軌跡一定是直線D．如果eq\f(a1,a2)＝eq\f(v1,v2)，那么軌跡一定是直線答案AD解析判斷合運動是直線還是曲線，看合初速度與合加速度是否共線．5.(多選)如圖2所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向運動的小車A，小車下裝有吊著物體B的吊鉤，在小車A與物體B以相同的水平速度沿吊臂方向做勻速直線運動的同時，吊鉤將物體B向上吊起，A、B之間的距離以d＝H－2t2(SI)(SI表示國際單位制，式中H為吊臂離地面的高度)規(guī)律變化，則物體做()圖2A．速度大小不變的曲線運動B．速度大小增加的曲線運動C．加速度大小、方向均不變的曲線運動D．加速度大小、方向均變化的曲線運動答案BC解析B物體在水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上由d＝H－2t2得出做勻加速直線運動．B物體的實際運動是這兩個分運動的合運動．對速度和加速度進行合成可知，加速度恒定且與合速度不共線．所以應選B、C兩項．6．如圖3甲所示的直角三角板緊貼在固定的刻度尺上方，現使三角板沿刻度尺水平向右勻速運動的同時，一支鉛筆從三角板直角邊的最下端，由靜止開始沿此邊向上做勻加速直線運動，下列關于鉛筆尖的運動及其留下的痕跡的判斷中，正確的有()圖3A．筆尖留下的痕跡可以是一條如圖乙所示的拋物線B．筆尖留下的痕跡可以是一條傾斜的直線C．在運動過程中，筆尖運動的速度方向始終保持不變D．在運動過程中，筆尖運動的加速度方向始終保持不變答案D解析由題可知，鉛筆尖既隨三角板向右做勻速運動，又沿三角板直角邊向上做勻加速運動，其運動軌跡是向上彎曲的拋物線，故A、B錯誤；在運動過程中，筆尖運動的速度方向是軌跡的切線方向，時刻在變化，故C錯誤；筆尖水平方向的加速度為零，豎直方向加速度的方向豎直向上，則根據運動的合成規(guī)律可知，筆尖運動的加速度方向始終豎直向上，保持不變，故D正確．題組二繩聯物體的速度分解問題7.如圖4所示，物體A和B的質量均為m，且分別與跨過定滑輪的輕繩連接(不計繩與滑輪、滑輪與軸之間的摩擦)在用水平變力F拉物體B沿水平方向向右做勻速直線運動的過程中，則()圖4A．物體A也做勻速直線運動B．繩子拉力始終等于物體A所受重力C．繩子對A物體的拉力逐漸增大D．繩子對A物體的拉力逐漸減小答案D解析將B物體的速度vB進行分解如圖所示，則vA＝vBcosα，α減小，vB不變，則vA逐漸增大，說明A物體豎直向上做加速運動，選項A錯誤；對A由牛頓第二定律FT－mg＝ma，可知繩子對A的拉力FT>mg，選項B錯誤；運用極限法：若繩子無限長，B物體距滑輪足夠遠，即當α→0時，有vA→vB，這表明，物體A在上升的過程中，加速度必定逐漸減小，繩子對A物體的拉力逐漸減小，故C錯誤，D正確．故選D.8．如圖5所示，重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車沿斜面升高．當滑輪右側的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為()圖5A．vsinθ \f(v,cosθ)C．vcosθ \f(v,sinθ)答案C解析重物以速度v沿豎直桿下滑，繩子的速率等于小車的速率，將重物的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向的分速度等于繩速，如圖所示．繩子速率v繩＝vcosθ，而繩子速率等于小車的速率，則有小車的速率v車＝v繩＝vcosθ.故選C.題組三小船渡河問題9．(多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖中v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線．則其中可能正確的是()答案AB解析船頭垂直于河岸，根據平行四邊形定則知，合速度的方向偏向下游，故A正確；當船頭偏上游時，若船靜水中速度與水流速度的合速度垂直河岸，會出現這種軌跡，故B正確；因船頭垂直河岸，又存在水流，合速度不可能垂直河岸，因此不可能出現這種運動軌跡，故C錯誤；船頭的指向為船靜水速度的方向，船靜水中速度水流速度的合速度的方向應偏向下游，故D錯誤．10．(多選)河水的流速隨離一側河岸的距離的變化關系如圖6甲所示，船在靜水中的速度與時間的關系如圖乙所示，若要以最短時間渡河，則()圖6A．船渡河的最短時間是60sB．船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C．船在河水中航行的軌跡是一條直線D．船在河水中的最大速度是5m/s答案BD解析由題中甲圖可知河寬300m，船頭始終與河岸垂直時，船渡河的時間最短，則t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(300,3)s＝100s，A錯，B對．由于船沿河向下漂流的速度大小始終在變，故船的實際速度的大小、方向也在時刻發(fā)生變化，船在河水中航行的軌跡是曲線，C錯．船沿河向下漂流的最大速度為4m/s，所以船在河水中的最大速度v＝eq\r(32＋42)m/s＝5m/s，D對．11．已知某船在靜水中的速率為v1＝4m/s，現讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100m，河水的流動速度為v2＝3m/s，方向與河岸平行．試分析：(1)欲使船以最短時間渡過河去，船的航向怎樣？最短時間是多少？到達對岸的位置怎樣？船發(fā)生的位移是多大？(2)欲使船渡河過程中的航行距離最短，船的航向又應怎樣？渡河所用時間是多少？答案見解析解析(1)根據合運動與分運動的獨立性和等時性，當船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大時，渡河所用時間最短．設船頭指向上游且與上游河岸夾角為α，其合速度v與分速度v1、v2的矢量關系如圖甲所示．甲河水流速v2平行于河岸，不影響渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sinα，則船渡河所用時間為t＝eq\f(d,v1sinα).顯然，當sinα＝1即α＝90°時，v⊥最大，t最小，此時船身垂直于河岸，船頭始終指向正對岸，但船實際的航向斜向下游，如圖乙所示．乙渡河的最短時間tmin＝eq\f(d,v1)＝eq\f(100,4)s＝25s船的位移為l＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))tmin＝eq\r(42＋32)×25m＝125m船渡過河時已在正對岸的下游A處，其順水漂流的位移為x＝v2tmin＝3×25m＝75m(2)由于v1>v2，故船的合速度與河岸垂直時，船的航行距離最短．設此時船速v1的方向(船頭的指向)斜向上游，且與河岸成θ角，如圖丙所示，丙則cosθ＝eq\f(v2,v1)＝eq\f(3,4)，船的實際速度為：v合＝eq\r(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2))＝eq\r(42－32)m/s＝eq\r(7)m/s故渡河時間：t′＝eq\f(d,v合)＝eq\f(100,\r(7))s＝eq\f(100\r(7),7)s.題組四綜合應用12．在一光滑的水平面上建立xOy平面坐標系，一質點在水平面上從坐標原點開始運動，沿x方向和y方向的x－t圖象和vy－t圖象如圖7甲、乙所示，求：甲乙圖7(1)運動后4s內質點的最大速度的值；(2)4s末質點離坐標原點的距離．答案(1)2eq\r(5)m/s(2)8m解析(1)由題圖可知，