2021-2022學年福建省莆田市礪青中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

2021-2022學年福建省莆田市礪青中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構造數(shù)列1，，，，…，．①第二步：將數(shù)列①的各項乘以n，得到數(shù)列（記為）a1，a2，a3，…，an．則a1a2+a2a3+…+an﹣1an=（）A．n2 B．（n﹣1）2 C．n（n﹣1） D．n（n+1）參考答案：C【考點】數(shù)列的求和．【分析】ak=．n≥2時，ak﹣1ak==n2．利用“裂項求和”方法即可得出．【解答】解：∵ak=．n≥2時，ak﹣1ak==n2．∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an=n2+…+==n（n﹣1）．故選：C．2.如圖，在正方體中，是的中點，為底面內(nèi)一動點，設與底面所成的角分別為（均不為．若，則動點的軌跡為哪種曲線的一部分（

）.(A)直線

(B)圓

(C)橢圓

(D)拋物線參考答案：B【測量目標】數(shù)學基本知識和基本技能/能按照一定的規(guī)則和步驟進行計算、畫圖和推理.【知識內(nèi)容】圖形與幾何/空間圖形/空間直線與平面的位置關系;圖形與幾何/曲線與方程/曲線與方程的概念.【正確選項】B【試題分析】在正方體中，平面,,所以,因為，所以，即,因為為的中點，所以,設正方體邊長為2，以DA方向為軸，線段DA的垂直平分線為軸建立如圖所示的坐標系，則,因為，所以，化簡得，所以動點的軌跡為圓的一部分.3.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為，AB=1，則直線AB1與CD1所成的角為（

）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：C【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB1與CD1所成的角．【詳解】∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積為，AB＝1，∴AA1，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，則A（1，0，0），B1（1，1，），C（0，1，0），D1（0，0，），（0，1，），（0，﹣1，），設直線AB1與CD1所成的角為θ，則cosθ，又θ∴θ＝60°，∴直線AB1與CD1所成的角為60°．故選：C．【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查運算求解能力，考查空間想象能力，是中檔題．4.鈍角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，則△ABC的面積是

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知全集，集合，，則等于

(

)A.｛0，4｝

B.｛3，4｝C.｛1，2｝

D.參考答案：A6.已知為實數(shù)，條件p：，條件q：，則p是q的(

)

A．充要條件

B．必要不充分條件

C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B由得。由得。所以p是q的必要不充分條件，選B.7.若||=||=2||，則向量+與的夾角為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模．【分析】將已知式子平方可得=0，代入向量的夾角公式可得其余弦值，結(jié)合夾角的范圍可得答案．【解答】解：∵，∴，兩邊平方可得=，化簡可得=0，設向量與的夾角為θ則可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故選B．8.

復數(shù)的實部是（

）A.2

B.4

C.3

D.-2參考答案：A9.函數(shù)，，其中，則．均為偶函數(shù)

．均為奇函數(shù)．

為偶函數(shù)，為奇函數(shù)

．

為奇函數(shù)，為偶函數(shù)參考答案：

C10.已知函數(shù)，，若的圖像與的圖象有且僅有兩個不同的公共點、，則下列判斷正確的是（

）A．，

B．， C．， D．，參考答案：C方法一：在同一坐標系中分別畫出兩個函數(shù)的圖象，則點在第三象限，為

兩函數(shù)在第一象限的切點，要想滿足條件，則有如圖，做出點關于原點的對稱點,

則點坐標為由圖象知，即.

方法二：的圖像與的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則方程有且僅有兩個根，則函數(shù)有且僅有兩個零點，，又，則，當時滿足函數(shù)有且僅有兩個零點，此時，，，即.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且對任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．則f（2007，2008）的值=．參考答案：22006+4014【考點】3P：抽象函數(shù)及其應用．【分析】根據(jù)條件可知{f（m，n）}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，求出f（n，1）和f（m，n+1），從而求出所求．【解答】解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列∴f（1，n）=2n﹣1又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，∴f（n，1）=2n﹣1∴f（m，n+1）=2m﹣1+2n∴f（2007，2008）=22006+4014故答案為：22006+4014．【點評】本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本題的關鍵，屬中檔題．12.函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若，則

。參考答案：略13.等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為．參考答案：210【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】設前3m項和為x，則30，100﹣30，x﹣100成等差數(shù)列，解出x的值，即為所求．【解答】解：等差數(shù)列{an}的每m項的和成等差數(shù)列，設前3m項和為x，則30，100﹣30，x﹣100成等差數(shù)列，故2×70=30+（x﹣100），x=210，故答案為：210．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前n項和的性質(zhì)，得到30，100﹣30，x﹣100成等差數(shù)列，是解題的關鍵．14.設為等差數(shù)列的前項和，若，公差，，則

________

參考答案：515.三名學生兩位老師站成一排，則老師站在一起的概率為

。

參考答案：【知識點】古典概型及其概率計算公式三名學生兩位老師站成一排，有種方法，老師站在一起，共有種方法，∴老師站在一起的概率為．故答案為：．【思路點撥】求出三名學生兩位老師站成一排，有種方法，老師站在一起的方法，即可求出概率．

16.設正項等比數(shù)列的前項和為，則以，，為前三項的等差數(shù)列的第8項與第4項之比為 .參考答案：17.已知，，則

，

，

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A′C的中點．（１）求證：BF∥平面A′DE；（２）設M為線段DE的中點，求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值．參考答案：(1)略(2)19.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（1）若a=﹣1，求C與l的交點坐標；（2）若a=8，求C上的點到l的距離的最大值．參考答案：【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【專題】11：計算題；36：整體思想；4G：演繹法；5S：坐標系和參數(shù)方程．【分析】（1）將參數(shù)方程化為直角坐標方程，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程即可求得交點坐標；（2）求得距離公式的三角函數(shù)表達式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果．【解答】解：（1）曲線C的參數(shù)方程為化為標準方程是：；a=﹣1時，直線l的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y﹣3=0；聯(lián)立方程可得：或，所以橢圓C和直線l的交點為（3，0）和．（2）若a=8，則l的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y﹣12=0，橢圓C上的任一點P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以點P到直線l的距離d為：，當sin（θ+φ）=﹣1時，C上的點到l的距離有最大值．20.（本小題滿分12分）已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，向量且

（1）求角A；

（2）若的值。參考答案：解：（1）因為，所以，

（2分）所以

（4分）因為

（6分）

（2）因為所以

（8分）所以

（9分）所以

（11分）即

（12分）略21.（14分）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．(Ⅰ)若，求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：（1），①若，當或時，；當時，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.

…4分②若，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.…5分③若，當或時，；當時，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.

…7分（2）由

（1）知，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得極小值，在處取得極大值.8分

由，得.

當或時，；當時，.

所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故在處取得極大值，在處取得極小值.10分

因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，

所以，即.

所以.

…………12分22.如圖，在△ABC中，點P在BC邊上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面積是，求sin∠BAP．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等邊三角形，即可得解．（Ⅱ）法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面積公式可求PB=3．進而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=的值．法2：作AD⊥BC，垂足為D，可求：，利用三角形面積公式可求PB，進而可求BD，AB，利用三角函數(shù)的定義可求，．利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△APC中，因為∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2?AP?AC?cos∠PAC，…所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2?AP?（4﹣AP）?cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…解得AP=2．…所以AC=2．…所以△APC是等邊三角形．…所以∠ACP=60°．…（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．