求向量組地秩與極大無關(guān)組(修改整理)

實用標(biāo)準(zhǔn)文案求向量組的秩與最大無關(guān)組一、對于具體給出的向量組，求秩與最大無關(guān)組1、求向量組的秩（即矩陣的秩）的方法： 為階梯形矩陣【定理】 矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩 .(三秩相等)①把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量組成矩陣 A；②對矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣 B；③階梯形B中非零行的個數(shù)即為所求向量組的秩．【例1】求下列向量組 a１=(1,2,3,4) ，a2=(2,3,4,5) ，a3=(3,4,5,6) 的秩.解1：以a１,a２,a３為列向量作成矩陣 A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣后可求 .因為階梯形矩陣的列秩為 2，所以向量組的秩為 2．解2：以a１,a２,a３為行向量作成矩陣A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣后可求.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案因為階梯形矩陣的行秩為 2，所以向量組的秩為 2．、求向量組的最大線性無關(guān)組的方法方法1逐個選錄法給定一個非零向量組 A： 1, 2,?, n①設(shè) 1 0，則 1線性相關(guān)，保留 1②加入 2，若 2與 1線性相關(guān)，去掉 2；若 2與 1線性無關(guān)，保留 1 ， 2；③依次進(jìn)行下去，最后求出的向量組就是所求的最大無關(guān)組T T T【例2】求向量組： 1 1,2, 1 , 2 2,3,1 , 3 4,1,1 ,的最大無關(guān)組解：因為a1非零，故保留 a1取a2，因為a1與a2線性無關(guān)，故保留 a1，a2取a3，易得a3=2a1+a2，故a1，a2，a3線性相關(guān)。所以最大無關(guān)組為a1，a2方法2 初等變換法【定理】 矩陣A經(jīng)初等行變換化為 B，則B的列向量組與 A對應(yīng)的列向量組有相同的線性相關(guān)性 .證明從略,下面通過例子驗證結(jié)論成立 .向量組： 1=(1,2,3) T, 2=(-1,2,0) T, 3=(1,6,6) T精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案由上可得，求向量組的最大線性無關(guān)組的方法：（1）列向量行變換①把向量組的向量作為矩陣的 列向量組成矩陣A；②對矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣 B；③A中的與B的每階梯首列對應(yīng)的向量組，即為最大無關(guān)組．【例3】求向量組 ：1=(2,1,3,-1) T, 2=(3,-1,2,0) T, 3=(1,3,4,-2) T,4=(4,-3,1,1) T 的秩和一個最大無關(guān)組,并把不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。解 以 1, 2, 3, 4為列構(gòu)造矩陣 A,并實施初等行變換化為行階梯形矩陣求其秩：23141-13-31-13-3A1,2,3113305-51001-12,424105-5100000310210-11-20000知r(A)=2, 故向量組的最大無關(guān)組含 2個向量而兩個非零行的 非零首元分別在第 1,2列,故 1, 2為向量組的一個最大無關(guān)組精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案1-101事實上，1，2知r(1,2)=2,故1,2線性無關(guān)0000102-13,4用01-12為把1,2線性表示,把A變成行最簡形矩陣A00B000000記矩陣B=(1, 2, 3, 4),因為初等行變換保持了列向量間的線性表出性， 因此向量 1, 2, 3, 4與向量 1,2, 3, 4之間有相同的線性關(guān)系。210而310112,4122022100000因此 3=2 1- 2, 4=- 1+2 2【例4】求下列向量組的一個最大無關(guān)組，其中：1 1, 2,0,3 2 2, 5, 3,6 3 0,13,0 , 4 2, 1,4, 7 5 5, 8,1,2 .解：以給定向量為 列向量作成矩陣 A，用初等行變換將A化為階梯形矩陣 B精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案再利用初等行變換，將 B再化成行最簡形矩陣 C.初等矩陣 A,B,C用最大線性無關(guān)組表示其它向量的方法為：初等變換行作為①把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣A；求秩無關(guān)B中見②對矩陣A進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣B；線性無關(guān)C做陪③把階梯形 B進(jìn)行初等行變換化為行最簡形矩陣 C；④根據(jù)行最簡形矩陣列向量的分量，用最大無關(guān)組表示其它向量．精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案【例5】求向量組 ，， ，的秩和一個最大無關(guān)組 .精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案解：精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案(1) 當(dāng) 且時， ，故向量組的秩為 3，且 是一個最大無關(guān)組；精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案(2) 當(dāng) 時，，故向量組的秩為 3，且是一個最大無關(guān)組；精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案(3) 當(dāng) 時，若，則 ，此時向量組的秩為 2，且 是一個最大無關(guān)組 .若精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案，則 ，此時向量組的秩為 3，且 是一個最大無關(guān)組 .（2）行向量列變換同理,也可以用向量組中各向量為 行向量組成矩陣（即列向量的轉(zhuǎn)置矩陣） ,通過做初等列變換來求向量組的最大無關(guān)組。精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案【例6】求向量組 ，， ，， 的一個最大無關(guān)組.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案解：以給定向量為 行向量作成矩陣 A，用初等列變換將A化為行最簡形:（行向量列變換 ）精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案由于 的第1，2，4個行向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)，故是向量組的一個最大無關(guān)組 .方法3 線性相關(guān)法 （了解）若非零向量組 A： 1, 2,?, n線性無關(guān)，則A的最大無關(guān)組就是 1, 2,?, n若非零向量組 A線性相關(guān)，則 A中必有最大無關(guān)組二、對于抽象的向量組，求秩與最大無關(guān)組常利用一些有關(guān)的結(jié)論，如：1、若向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表示，則(Ⅰ)的秩不超過(Ⅱ)的秩、等價向量組有相同的秩精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案3、秩為 的向量組中任意個線性無關(guān)的向量都是該向量組的最大無關(guān)組精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案【例7】設(shè)向量組 的秩為.又設(shè)精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案， ，求向量組 的秩.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案解法1：由于，且 ，精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案所以，精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案故向量組 與等價，從而的秩為 .精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案解法2：將 看做列向量，則有，其中精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案可求得0，即可逆，從而可由 線性表示，精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案由已知 可由線性表示，故這兩個向量組等價，即它們有相同的秩 .精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案【例7】設(shè)向量組(Ⅰ)： 和向量組(Ⅱ)：的秩分別為和 ，而向量精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案組(Ⅲ)： 的秩為 .證明：.精彩文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文案證