河池市重點中學(xué)2022年高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則()A. B.C. D.2.小王因上班繁忙,來不及做午飯,所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12:00~12:10之間隨機到達(dá)小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是()A. B. C. D.3.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.4.已知純虛數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則實數(shù)等于()A. B.1 C. D.25.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.已知,則()A. B. C. D.7.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項和,則()A. B. C. D.8.已知向量,,則向量與的夾角為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.410.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.811.已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為等差數(shù)列,為其前n項和,若,,則_______.14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的焦距為,若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為,則雙曲線的離心率為____________.15.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺,術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是說:圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長的平方高),則由此可推得圓周率的取值為________.16.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點,的頂點也在曲線上運動,求面積的最大值.18.(12分)運輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時,每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(),運輸?shù)穆烦虨镾(千米).設(shè)用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達(dá)式;(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.19.(12分)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,.(1)求數(shù)列{an}的通項an;(2)設(shè)bn=an?3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.20.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,點是棱的中點,,.(1)若,證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求二面角的余弦值.21.(12分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知是公比為的無窮等比數(shù)列,其前項和為,滿足,________.是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.從①,②,③這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合,∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進(jìn)行交并補運算時,常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.2.C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時間分別為,以12:00點為開始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為:.故選:C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運算能力.3.A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.4.B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出,然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應(yīng)的的值即可.【詳解】因為,所以,又因為是純虛數(shù),所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值,難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則有.5.A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為,所以.因為,所以,因為,為增函數(shù),所以所以,故選:A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.6.B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可.【詳解】,本題正確選項:【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計算能力.7.B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項和公式得【詳解】解:因為,由等差數(shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項和,則.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應(yīng)用,如.8.C【解析】

求出,進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解:由題意知,.則所以,則向量與的夾角為.故選:C.【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算,考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時,通常代入公式進(jìn)行計算.9.C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】

由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐,四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.11.C【解析】分析:先求導(dǎo),再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,得到關(guān)于a的不等式組,再解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍.詳解:由題得.當(dāng)a<1時,,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當(dāng)1≤a<e時,函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增,在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,所以即令,所以所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以,所以當(dāng)1≤a<e時,滿足題意.當(dāng)a時,函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C.點睛:本題的難點在于“對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題,所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解答問題.本題就是把這個條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來,完成了數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)化,找到了問題的突破口.12.A【解析】

先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】試題分析:因為是等差數(shù)列,所以,即,又,所以,所以.故答案為1.【考點】等差數(shù)列的基本性質(zhì)【名師點睛】在等差數(shù)列五個基本量,,,,中,已知其中三個量,可以根據(jù)已知條件,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式、前項和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個量,計算時須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.14.【解析】

利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為,過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點,則,,由已知,,即,所以,離心率.故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式,是一道容易題.15.3【解析】

根據(jù)圓堡瑽(圓柱體)的體積為(底面圓的周長的平方高),可得,進(jìn)而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.16.【解析】

對函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化,分離參數(shù)討論交點個數(shù),數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點,,等價于函數(shù)恰有兩個公共點,作出大致圖象:要有兩個交點,即,所以.故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)零點問題,根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于對函數(shù)零點問題恰當(dāng)變形,等價轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1):,:;(2)【解析】

(1)由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由即可得的底,由點到直線的距離的最大值為即可得高的最大值,即可得解.【詳解】(1)由消去參數(shù)得直線的普通方程為,由得,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線即,圓心到直線的距離,所以,又點到直線的距離的最大值為,所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,考查了直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.18.(1),,.(2)當(dāng)時,此時選擇火車運輸費最??;當(dāng)時,此時選擇飛機運輸費用最省;當(dāng)時,此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】

(1)將運費和損耗費相加得出總費用的表達(dá)式.(2)作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比較與的大小關(guān)系即可,令,故當(dāng),即時,,即,此時選擇火車運輸費最省,當(dāng),即時,,即,此時選擇飛機運輸費用最省.當(dāng),即時,,,此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【點睛】本題考查了常見函數(shù)的模型,考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.19.(1).(2)【解析】

(1)先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程,解出d的值,即可得到數(shù)列{an}的通項an;(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計算出數(shù)列{bn}的通項公式,然后運用錯位相減法計算前n項和Tn.【詳解】(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),則a4a5=(1+3d)(1+4d)=11,整理,得12d2+7d﹣10=0,解得d(舍去),或d,∴an=1(n﹣1),n∈N*.(2)由(1)知,bn=an?3n?3n=(2n+1)?3n﹣1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×1+5×31+7×32+…+(2n+1)?3n﹣1,∴3Tn=3×31+5×32+…+(2n﹣1)?3n﹣1+(2n+1)?3n,兩式相減,可得:﹣2Tn=3×1+2×31+2×32+…+2?3n﹣1﹣(2n+1)?3n=3+2×(31+32+…+3n﹣1)﹣(2n+1)?3n=3+2(2n+1)?3n=﹣2n?3n,∴Tn=n?3n.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算,以及運用錯位相減法計算前n項和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想,方程思想,錯位相減法的運用,以及邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.屬于中檔題.20.(1)見解析(2)【解析】

(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.(2)過作交于,由為的中點,結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明:平面,平面,,又四邊形為正方形,.又、平面,且,平面..中,,為的中點,.又、平面,,平面.平面,平面平面.(2)解:過作交于,如圖為的中點,,

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