2021-2022學(xué)年深圳市高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．2．設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（）A． B． C． D．3．若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則它的一條對(duì)稱(chēng)軸方程可能是（）A． B． C． D．4．一個(gè)陶瓷圓盤(pán)的半徑為，中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋，向盤(pán)中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計(jì)圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1475．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或06．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B．C． D．7．已知向量，滿(mǎn)足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．8．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的為（）A． B．，C． D．9．已知函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)，則的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（）A． B．C． D．10．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．11．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定12．當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_______.14．圖（1）是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2）），其中，則的值是______.15．已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于、兩點(diǎn)和橢圓交于、兩點(diǎn)，為拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，，當(dāng)面積最大時(shí)，直線的方程為_(kāi)_____.16．已知函數(shù)，令，，若，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和及使得最小的的值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.19．（12分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）記，且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.20．（12分）如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上異于、的一點(diǎn)，直角梯形所在平面與圓所在平面垂直，且，.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）已知函數(shù)（1）已知直線：，：.若直線與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)在處的切線與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，求證：①；②.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

直線恒過(guò)定點(diǎn)，由此推導(dǎo)出，由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而能求出的值．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線恒過(guò)定點(diǎn)，如圖過(guò)A、B分別作于M，于N，由，則，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，則，∴，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把代入直線，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題.2．C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．3．B【解析】

把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，然后驗(yàn)證各選項(xiàng)．【詳解】由題意，，或，，不妨取或，若，則函數(shù)為，四個(gè)選項(xiàng)都不合題意，若，則函數(shù)為，只有時(shí)，，即是對(duì)稱(chēng)軸．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．B【解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型，屬于基礎(chǔ)題5．C【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當(dāng)時(shí)，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴的值是1或0.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.6．B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長(zhǎng)為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．7．B【解析】

根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解，通常先求解模長(zhǎng)的平方，再開(kāi)平方求得結(jié)果；解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析，得到的最小值.8．D【解析】

圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱(chēng)．9．B【解析】

由值域?yàn)榇_定的值，得，利用對(duì)稱(chēng)中心列方程求解即可【詳解】因?yàn)椋忠李}意知的值域?yàn)?，所以得，，所以，令，得，則的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，重點(diǎn)考查值域的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫(xiě)為010．D【解析】

先計(jì)算集合，再計(jì)算，最后計(jì)算．【詳解】解：，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交，補(bǔ)混合運(yùn)算，注意分清集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．11．B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型，定積分的計(jì)算以及幾何意義，屬于中檔題．12．A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿(mǎn)足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

先求出向量和夾角的余弦值，再由公式即得.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，那么向量和夾角為，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積，解題關(guān)鍵是找到向量和的夾角.15．【解析】

根據(jù)均值不等式得到，，根據(jù)等號(hào)成立條件得到直線的傾斜角為，計(jì)算得到直線方程.【詳解】由橢圓，可知，，，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立），，，，，直線的傾斜角為，直線的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線，橢圓，直線的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.16．4【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，求得，，，進(jìn)而得到，再利用放縮法和取整函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，且，，可得，，又由，可得為常數(shù)列，且，數(shù)列表示首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，其中數(shù)列滿(mǎn)足，所以，所以，又由，可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，所以，即，又由表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）；時(shí)，取得最小值【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，結(jié)合已知，聯(lián)立方程組，即可求得答案.（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由及，得解得數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知時(shí)，取得最小值.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）分別取的中點(diǎn)為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計(jì)算即可；（2）求出，利用計(jì)算即可.【詳解】（1）分別取的中點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)椤?，所以?因?yàn)?，所?因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以?xún)蓛纱怪?以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.取，則，所以.又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則，所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.（2）由（1）得，平面的法向量為，所以成.又直線與平面所成角為，所以，即，即，化簡(jiǎn)得，所以，符合題意.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量坐標(biāo)法求面面角、線面角，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，做好此類(lèi)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.19．（1）（2）【解析】

（1）由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果；（2）先解得不等式,由集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為；當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:（1）因?yàn)?所以,當(dāng),即時(shí),；當(dāng),即時(shí),；當(dāng),即時(shí),.（2）由得,當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即；當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即；綜上,滿(mǎn)足題意的k的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類(lèi)討論思想與運(yùn)算能力.20．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，證明,則平面平面，則可證平面.（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，則點(diǎn)到平面的距離可求.【詳解】解：（1）如圖：取的中點(diǎn)，連接、.在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平面平面,故平面在直角梯形中，，且，∴四邊形是平行四邊形，，同理平面又,故平面平面，又平面平面.（2）是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的一點(diǎn)，又∵平面平面，平面平面平面，可得是三棱錐的高線.在直角梯形中，.設(shè)到平面的距離為，則，即由已知得，由余弦定理易知：，則解得，即點(diǎn)到平面的距離為故答案為：.【點(diǎn)睛】考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法，是中檔題.21．（1）（2）①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析【解析】

（1）首先根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構(gòu)造函數(shù)，利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí)，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得，由此得到，即，化簡(jiǎn)后得到.【詳解】（1）由解得必過(guò)與的交點(diǎn).在上取點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，即為直線，所以的方程為，即，其斜率為.又因?yàn)?，所以，，由題意，解得.（2）因?yàn)?，所?①令，則，則，且，，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，因?yàn)椋源嬖?，使時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，，即，所以，即成立.②由①知成立，即有成立.令，即.所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)?，所以，所以時(shí)，，即時(shí)，.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，推理與