2021-2022學(xué)年河北省邢臺八中高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知是函數(shù)圖象上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（）A． B． C．0 D．3．設(shè)為坐標(biāo)原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為（）A．1 B． C． D．4．設(shè)是虛數(shù)單位，，，則（）A． B． C．1 D．25．已知m為實數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．77．若，，則的值為（）A． B． C． D．8．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．9．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個坐位的寬度()，每個座位寬度為，估計彎管的長度，下面的結(jié)果中最接近真實值的是（）A． B． C． D．10．已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時，的最大值為（）A． B． C． D．111．若圓錐軸截面面積為，母線與底面所成角為60°，則體積為()A． B． C． D．12．函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列說法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點成中心對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的最小正周期為________.14．在中，內(nèi)角的對邊長分別為，已知，且，則_________．15．如圖，在中，已知，為邊的中點．若，垂足為，則的值為__．16．已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為，此時橢圓的方程是____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明時，.18．（12分）對于給定的正整數(shù)k，若各項均不為0的數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）證明：等比數(shù)列是“數(shù)列”；（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.19．（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)20．（12分）已知曲線，直線：（為參數(shù)）.（I）寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（II）過曲線上任意一點作與夾角為的直線，交于點，的最大值與最小值．21．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.22．（10分）十八大以來，黨中央提出要在2020年實現(xiàn)全面脫貧，為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，國家對“新農(nóng)合”（新型農(nóng)村合作醫(yī)療）推出了新政，各級財政提高了對“新農(nóng)合”的補助標(biāo)準(zhǔn)．提高了各項報銷的比例，其中門診報銷比例如下：表1：新農(nóng)合門診報銷比例醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院門診報銷比例60%40%30%20%根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，李村一個結(jié)算年度門診就診人次情況如下：表2：李村一個結(jié)算年度門診就診情況統(tǒng)計表醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院一個結(jié)算年度內(nèi)各門診就診人次占李村總就診人次的比例70%10%15%5%如果一個結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門診平均費用分別為50元、100元、200元、500元．若李村一個結(jié)算年度內(nèi)去門診就診人次為2000人次．（Ⅰ）李村在這個結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%，從去三甲醫(yī)院門診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果將李村這個結(jié)算年度內(nèi)門診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率，求李村這個結(jié)算年度每人次用于門診實付費用（報銷后個人應(yīng)承擔(dān)部分）的分布列與期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

函數(shù)的零點就是方程的解，設(shè)，方程可化為，即或，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或．因為，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力．2．C【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓，可知，若設(shè)，則，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若設(shè)圓的圓心為，則，所以只要取得最小值，若設(shè)，則，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為，設(shè)，則，設(shè)，記，則，令，因為在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以（當(dāng)時等號成立）.故選：C【點睛】此題考查的是兩個向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于難題.3．A【解析】

設(shè)，因為，得到，利用直線的斜率公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)，因為，即線段的中點，所以，所以直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以直線的斜率的最大值為1.故選：A.【點睛】本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.4．C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題，易錯點是把當(dāng)成進行運算.5．A【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】當(dāng)m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當(dāng)m≠0時，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.6．B【解析】

根據(jù)題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計算能力.7．A【解析】

取，得到，取，則，計算得到答案.【詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，取和是解題的關(guān)鍵.8．B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得．9．B【解析】

為彎管，為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認(rèn)為，即于是，長所以是最接近的，其中選項A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．B【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.11．D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由軸截面面積為可得半徑，再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，由已知，，解得，所以圓錐的體積.故選：D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.12．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點的橫坐標(biāo)為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當(dāng)時，，即函數(shù)的一個對稱中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱．故選B．【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)圖象利用，先求出的值，結(jié)合求出，然后利用周期公式進行求解即可．【詳解】解：由，得，，，則，，，即，則函數(shù)的最小正周期，故答案為：8【點睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解，結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．14．4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即∵∴∵∴故答案為415．【解析】

，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點睛：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用．本題中存在垂直關(guān)系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關(guān)系，得到，所以本題轉(zhuǎn)化為求長度，利用余弦定理和面積公式求解即可．16．【解析】

根據(jù)題意設(shè)為橢圓上任意一點,表達(dá)出,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與求解的關(guān)系分析最值求解即可.【詳解】因為橢圓的離心率是,,所以,故橢圓方程為.因為以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為,所以橢圓上的點到點的距離的最大值為.設(shè)為橢圓上任意一點,則.所以因為的對稱軸為.(i)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.此時,解得.(ii)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減.此時,解得舍去.綜上,橢圓方程為.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓上的點到定點的距離最值問題,需要根據(jù)題意設(shè)橢圓上的點,再求出距離,根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系分析最值的取值點分類討論求解.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1);函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.【解析】

試題分析：（1）由題得，根據(jù)曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得根據(jù)由，整理得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，即可作出證明.試題解析：（1）由題得，函數(shù)的定義域為，，因為曲線在點處的切線方程為，所以解得.令，得，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）得，.由，得，即.要證，需證，即證，設(shè)，則要證，等價于證：.令，則，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，,即，故.18．（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】

（1）由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：即可證明.（2）既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，，則對于任意都成立，則成等比數(shù)列，設(shè)公比為，驗證得答案.【詳解】（1）證明：由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：等比數(shù)列是“數(shù)列”.（2）證明：既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，（）（），（）可得：對于任意都成立，即成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，（）數(shù)列是“數(shù)列”時，由（）可得：時，由（）可得：，可得，同理可證成等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列【點睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式等基本知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力，屬于難題.19．(Ⅰ)萬；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在分以上的有人，故人數(shù)為：萬人.(Ⅱ)8名男生中，測試成績在70分以上的有人，的可能取值為：.，，.故分布列為：.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，故.故的最小值為.【點睛】本題考查了樣本估計總體，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20．（I）；（II）最大值為，最小值為.【解析】試題分析：（I）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，得橢圓的參數(shù)方程為，消去參數(shù)即得直線的普通方程為；（II）關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系．過點作與垂直的直線，垂足為，則在中，，故將的最大值與最小值問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點，到定直線的最大值與最小值問題處理．試題解析：（I）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．直線的普通方程為．（II）曲線C上任意一點到的距離為．則．其中為銳角，且．當(dāng)時，取到最大值，最大值為．當(dāng)時，取到最小值，最小值為．【考點定位】1、橢圓和直線的參數(shù)方程；2