高中數(shù)學(xué)算法的教學(xué)法處理1 新課標(biāo) 人教 必修3(A)

算法的教學(xué)法處理華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系吳躍忠2023/2/41.前言：算法解讀一、解題步驟與算法1．兩種不同的解題方法2．算法的基本性質(zhì)二、算法的要素與結(jié)構(gòu)1．三個(gè)不同的例子2．算法的要素三、偽代碼1.賦值語(yǔ)句2.輸入、輸出語(yǔ)句3.條件語(yǔ)句4.循環(huán)語(yǔ)句四、算法小結(jié)2023/2/42.前言:算法的教育價(jià)值1．有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn)，同時(shí)又有高度抽象性、概括性和精確性．對(duì)于一個(gè)具體算法而言，從算法分析到算法語(yǔ)言的實(shí)現(xiàn)，任何一個(gè)疏漏或錯(cuò)誤都將導(dǎo)致算法的失?。惴ㄊ撬季S的條理化、邏輯化！算法所體現(xiàn)出來(lái)的邏輯化特點(diǎn)被有些學(xué)者看成是邏輯學(xué)繼形式邏輯和數(shù)理邏輯之后邏輯學(xué)發(fā)展的第三個(gè)階段．因此，培養(yǎng)邏輯思維能力，不僅可以通過(guò)平面幾何的論證，代數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)密演繹等手段進(jìn)行培養(yǎng)，還可以通過(guò)算法設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)來(lái)達(dá)到．2023/2/43.2．有利于培養(yǎng)學(xué)生理性精神和實(shí)踐能力算法既重視“算則”，更重視“算理”．對(duì)于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但這些步驟的依據(jù)，即“算理”有著更基本的作用，“算理”是“算則”的基礎(chǔ)，“算則”是“算理”的表現(xiàn)．算法思想可以有很豐富的層次遞進(jìn)的素材，應(yīng)該貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容之中．由于算法的具體實(shí)現(xiàn)可以和信息技術(shù)相聯(lián)系，因而，算法有利于培養(yǎng)學(xué)生理性精神和實(shí)踐能力，也是實(shí)施探究性學(xué)習(xí)的良好素材．2023/2/44.3．有利于學(xué)生理解構(gòu)造性數(shù)學(xué)算法是一般意義上解決問(wèn)題策略的具體化，即有限遞歸構(gòu)造和有限非遞歸構(gòu)造，這兩點(diǎn)也恰恰構(gòu)成了算法的核心（如下圖所示）．

構(gòu)造性地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅是重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，在數(shù)學(xué)哲學(xué)上也有著重要的意義．構(gòu)造性數(shù)學(xué)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派，

他們只承認(rèn)能夠構(gòu)造出來(lái)的數(shù)學(xué)．這種觀念有其特定的真理性．

當(dāng)然排斥了許多無(wú)限推理的數(shù)學(xué)，

也具有局限性．

有限遞歸構(gòu)造有限非遞歸構(gòu)造

輸入輸出2023/2/45.4．算法內(nèi)容反映了時(shí)代的特點(diǎn)，同時(shí)也是中國(guó)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的新特色

中國(guó)古代數(shù)學(xué)以算法為主要特征，取得了舉世公認(rèn)的偉大成就．現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使算法重新?lián)Q發(fā)了前所未有的生機(jī)和活力，算法進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程，既反映了時(shí)代的要求，也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)思想在一個(gè)新的層次上復(fù)興，毫無(wú)疑問(wèn)，也就成為中國(guó)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)新的特色．我國(guó)吳文俊在繼承中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的算法特征的基礎(chǔ)上，

創(chuàng)造性地發(fā)展了機(jī)器證明，

于2000年獲得國(guó)家科學(xué)最高獎(jiǎng)．

這是將我國(guó)傳統(tǒng)特色與信息技術(shù)創(chuàng)造性結(jié)合的典范．

2023/2/46.二、設(shè)置算法的依據(jù)

1．計(jì)算機(jī)與算法在現(xiàn)代社會(huì)里，計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ鞑豢扇鄙俚墓ぞ撸?tīng)音樂(lè)、看電影、玩游戲、畫(huà)卡通畫(huà)、處理數(shù)據(jù)…計(jì)算機(jī)幾乎可以是一個(gè)全能的助手，你可以用它來(lái)做你想做的任何事情．那么，計(jì)算機(jī)是怎樣工作呢？要想弄清楚這個(gè)問(wèn)題，就需要學(xué)習(xí)算法．

2023/2/47.2．算法小史（1）人類最早關(guān)于算法的記錄是在兩河流域發(fā)現(xiàn)的公元前兩三千年的黏土板，其中的一個(gè)典型例子就是計(jì)算利息何時(shí)能夠等于本金．

（2）算法早期發(fā)展中一個(gè)成果應(yīng)歸功于古希臘的歐幾里德，他提出的計(jì)算最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法（又稱歐幾里德算法）

（3）用我國(guó)傳統(tǒng)的開(kāi)方術(shù)求高次方程的近似根，

是算法上的一大成就．

（4）在社會(huì)上得到廣泛使用的珠算口訣就可以看作是典型的算法，它把復(fù)雜的計(jì)算（例如除法）描述為一系列按口訣執(zhí)行的簡(jiǎn)單的算珠撥動(dòng)操作，

口訣就是算法．

2023/2/48.（5）文藝復(fù)興以后，隨著近代數(shù)學(xué)的開(kāi)拓和蓬勃發(fā)展，算法研究也取得了許多成果．人們研究了許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程，提出了許多算法．但是，稍微復(fù)雜一點(diǎn)的算法，如果由人（即使借助于某些計(jì)算工具）來(lái)做，就可能耗費(fèi)成年累月的時(shí)間．如果沒(méi)有自動(dòng)化計(jì)算工具的出現(xiàn)，復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程實(shí)際上是無(wú)法完成的．

2023/2/49.（6）現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成．比如，我們非常熟悉的帶余除法、解線性方程組的消元法等，都是算法．

2023/2/410.3．中國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)其中最具代表性的就是《九章算術(shù)》．《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來(lái)說(shuō)，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著．其內(nèi)容按類分章，以數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式出現(xiàn)，包括分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、開(kāi)平方與開(kāi)立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等．其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上是遙遙領(lǐng)先的．就其特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它形成了一個(gè)以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系．

2023/2/411.在隨后11～14世紀(jì)約300年期間著名的數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)著作，如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》，李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》中，其中包括發(fā)展了一套求高次方程近似根的方法，

算法的特點(diǎn)得到了進(jìn)一步的強(qiáng)化和發(fā)展．

2023/2/412.一、解題步驟與算法

1．兩種不同的解題方法例1．求和1＋2＋3＋4解法一：逐步求和．第一步：計(jì)算1＋2，得到3；第二步：計(jì)算3＋3，得到6；第三步：計(jì)算6＋4，得到10．2023/2/413.解法二：根據(jù)計(jì)算公式第一步：??；第二步：計(jì)算；第三步：得出結(jié)果10.2023/2/414.例2．求．解：設(shè)數(shù)列，解法一：選代法第一步：設(shè)，計(jì)算,得；2023/2/415.第二步：代入，計(jì)算，

得；

第三步：代入，計(jì)算，得，約等于：；2023/2/416.第四步：代入，計(jì)算，得，約等于：（注：約等于：）等等，以至無(wú)窮步．可以逐步逼近，得到任意的精確值，這個(gè)求值的過(guò)程是無(wú)限的．2023/2/417.解法二：求極限

第一步：令，（則）；第二步：對(duì)于兩邊取極限，即：．

2023/2/418.第三步：解方程：

第四步：給出方程的解：

注：這種解法并沒(méi)有給出的值．

2023/2/419.2．算法的基本性質(zhì)

例1的兩個(gè)解答過(guò)程，就是算法．可觀察到如下的性質(zhì)：

有窮的步驟（例1和例2的差異主要是在于例1的步驟是有窮的，例2的步驟是無(wú)窮的）．存在初始步；每一步都跟著一個(gè)后繼步；最后一步，有解答或無(wú)解答．2023/2/420.

一般書(shū)上歸納算法的基本性質(zhì)有四條：A.有窮性；B.

唯一的初始動(dòng)作；C.每個(gè)動(dòng)作都有唯一的后繼動(dòng)作；D.動(dòng)作序列終止時(shí)，表示問(wèn)題得到解答或沒(méi)有解答．2023/2/421.二、

算法的要素與結(jié)構(gòu)1．1．三個(gè)不同的例子

例3．用框圖表述例1的算法．

2023/2/422.

2023/2/423.例4．給出一元二次方程

的一個(gè)算法，并用流程圖形表示．2023/2/424.

2023/2/425.例5．寫出計(jì)算下式的流程圖：2023/2/426.2023/2/427.2．算法的要素

（1）

操作

（2）

控制結(jié)構(gòu)

3．基本結(jié)構(gòu)

（1）順序結(jié)構(gòu)

（2）選擇結(jié)構(gòu)

（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)

2023/2/428.三、

偽代碼

1.賦值語(yǔ)句例6．寫出求多項(xiàng)式的算法．2023/2/429.解：算法一2023/2/430.

算法二

2023/2/431.2．輸入、輸出語(yǔ)句

例7．寫出方程組

一個(gè)算法．

2023/2/432.2023/2/433.偽代碼寫法：InputPrint2023/2/434.3.條件語(yǔ)句

例8．寫出函數(shù)的算法．2023/2/435.解：

（1）用條件語(yǔ)表示：InputIfthenElseifthenElse2023/2/436.（2）用流程圖表示：

2023/2/437.4．循環(huán)語(yǔ)句

ForIfrom“初值”to“終值”step“步長(zhǎng)”…Endfor.例9．設(shè)計(jì)計(jì)算的一個(gè)算法．2023/2/438.解：(1)算法步驟S1；S2；S3；S4；S5如果，那么轉(zhuǎn)S3；S6輸出．

2023/2/439.2023/2/440.（3）

用循環(huán)語(yǔ)句

ForIfrom3to99step2EndforPrint

EndforPrintEndforPrintEndforPrintEndforPrint2023/2/441.

例10．設(shè)計(jì)計(jì)算的一個(gè)算法．2023/2/442.(1)

算法步驟S1；S2；S3

；S4輸出．

2023/2/443.（2）

循環(huán)語(yǔ)句

2023/2/444.2023/2/445.五、算法的教學(xué)建議（1）在教學(xué)中，要注意不要把算法上成算法語(yǔ)言課或程序設(shè)計(jì)課．（2）在算法的教學(xué)中，應(yīng)通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明由數(shù)學(xué)的算法到計(jì)算機(jī)使用的算法的過(guò)渡過(guò)程，從而說(shuō)明學(xué)習(xí)算法的必要性，理解算法各個(gè)基本內(nèi)容（結(jié)構(gòu)、框圖、語(yǔ)言等）的作用．（3）如果條件允許，盡可能的讓學(xué)生上機(jī)實(shí)現(xiàn)