高中數(shù)學直線與平面的位置關系

直線與平面的位置關系

(3).一線面成角相關概念

DD1C1CAA1BB1直線AA1和平面ABCD是什么關系?直線A1B.A1D.A1C和平面ABCD的位置關系?直線A1B.A1D.A1C與點B.C.D它們又如何命名呢？觀察如圖所示的長方體

ＡＢＣＤ－A1B1C1D1.1.抽象出它們的位置關系如圖一條直線與一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線斜線與平面交點叫做斜足斜線上一點與斜足間的線段叫做這個點到平面的斜線段過斜足和垂足的直線叫做斜在這個平面上的正投影(簡稱射影)平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線與這個平面所成的角∠ＰＱＰ１.斜線斜線段PP1αQ斜足射影.當一條直線和一個平面垂直時,稱這條直線和這個平面成900的角,當一條直線和一個平面平行時,稱這條直線和這個平面成00的角.注意.想一想？1.平面的斜線和平面所成的角的范圍是什么?直線和平面所成的角的范圍呢?2.若平面α的斜線l和平面所成的角為θ1,平面α的斜線l和平面內(nèi)任一直線所成的角為θ2,試比較θ1和θ2的大小關系,并給以證明..例1如圖,∠BAC在平面α內(nèi)，點P∈α∠PAB﹦

∠PAC求證：點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．αACBPEFO分析：要證明P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上，首先應作出點P在平面上的射影O，再證∠BAO﹦∠CAO即可．要證∠BAO﹦∠CAO，只需證明含這兩個角的三角形全等．.例２求證如果平面內(nèi)的一條直線與這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和這個平面內(nèi)的射影垂直．證明空間兩條直線垂直的方法有哪些？（１）定義法：若直線a和直線b所成的角為９００則a⊥b（２）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理：由“線面垂直推得線線垂直”．（３）“線線垂直＝＞線面垂直＝＞線線垂直“.AaOP

如圖：已知PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求證：a⊥PO在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直。二．三垂線定理.三垂線定理解題的關鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件思考APOaα.PAOaα三垂線定理包含的垂直關系②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直.PAOaαbcd三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：

①相交直線

②異面直線思考.直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b例如：當b⊥時，b⊥OA但

b不垂直于OP

思考.×⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑶若a是平面α的斜線，直線bα且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b（）⑵若a是平面α的斜線，平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）練習：1判斷下列命題是否正確：××.1．如圖，∠BAC＝900,PC⊥平面ABC，則在△ABC,△PAC的邊所在的直線中:（１）與PC垂直的直線（２）與PA垂直的直線

PABC2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AD1與平面ABCD所成的角是?３.若直線與平面不垂直，那么在平面內(nèi)與直線垂直的直線（）A.只有一條B.有無數(shù)條C.是平